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1 如果直角三角形的两条直角边分别为8和15，那么这个三角形斜边上的中线长为（
A.$\frac{23}{2}$
B.$\frac{17}{2}$
C.8
D.9
B
）。A.$\frac{23}{2}$
B.$\frac{17}{2}$
C.8
D.9
答案
B
解析
【分析】
首先明确题目给出的是直角三角形，已知两条直角边长，要求斜边上的中线长，我们可以分两步思考：第一步，直角三角形中已知两条直角边，可通过勾股定理求出斜边的长度；第二步，根据直角三角形的性质“斜边上的中线等于斜边的一半”，代入斜边长度就能算出中线长，再对应选项选择即可。
【解析】
解：已知直角三角形的两条直角边分别为8和15，根据勾股定理，斜边的长度为：
$\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得斜边上的中线长为：
$\frac{1}{2} × 17 = \frac{17}{2}$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考察勾股定理和直角三角形斜边中线性质的结合应用，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先明确题目给出的是直角三角形，已知两条直角边长，要求斜边上的中线长，我们可以分两步思考：第一步，直角三角形中已知两条直角边，可通过勾股定理求出斜边的长度；第二步，根据直角三角形的性质“斜边上的中线等于斜边的一半”，代入斜边长度就能算出中线长，再对应选项选择即可。
【解析】
解：已知直角三角形的两条直角边分别为8和15，根据勾股定理，斜边的长度为：
$\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得斜边上的中线长为：
$\frac{1}{2} × 17 = \frac{17}{2}$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考察勾股定理和直角三角形斜边中线性质的结合应用，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2 如图，在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$∠ OAB=90°$，$OA=2$，$AB=1$。在$OB$上截取$BC=AB$，在$AO$上截取$OP=OC$，则$OP=(\quad)$。
A.$\sqrt{5}-1$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
A.$\sqrt{5}-1$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
答案
A
解析
【分析】
解题时先从已知的直角三角形入手，已知两条直角边的长度，首先利用勾股定理求出斜边OB的长度；再根据BC=AB的条件，计算出线段OC的长度；最后结合OP=OC的等量关系，即可求出OP的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△OAB$中，$∠ OAB=90°$，$OA=2$，$AB=1$，根据勾股定理可得：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
由题意可知$BC=AB=1$，因此：
$OC=OB-BC=\sqrt{5}-1$
又因为$OP=OC$，所以$OP=\sqrt{5}-1$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题关键是先通过勾股定理求出斜边长度，再结合线段等量关系推导所求线段，考查对勾股定理的掌握程度和基础的线段运算能力。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的直角三角形入手，已知两条直角边的长度，首先利用勾股定理求出斜边OB的长度；再根据BC=AB的条件，计算出线段OC的长度；最后结合OP=OC的等量关系，即可求出OP的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△OAB$中，$∠ OAB=90°$，$OA=2$，$AB=1$，根据勾股定理可得：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
由题意可知$BC=AB=1$，因此：
$OC=OB-BC=\sqrt{5}-1$
又因为$OP=OC$，所以$OP=\sqrt{5}-1$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题关键是先通过勾股定理求出斜边长度，再结合线段等量关系推导所求线段，考查对勾股定理的掌握程度和基础的线段运算能力。
【难度系数】
0.8
3 如图，正方形ABCD边长为4，E为CD边上一点，DE=1，连接AE，过A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，连接EF，过A作AG⊥EF，垂足为点G，连接CG。则线段CG的长为(
A.3
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{\sqrt{34}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{30}}{2}$
C
)。A.3
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{\sqrt{34}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{30}}{2}$
答案
C [提示:由$∠ FAE=∠ BAD=90°$,可得$∠ FAB=∠ EAD$,进而可得$△ ABF ≌ △ ADE$,所以$AF=AE$。又因为$AG ⊥ FE$,所以G是FE的中点。因为$∠ FCE=90°$,所以$CG=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}\sqrt{EC^2+FC^2}=\frac{1}{2}\sqrt{3^2+5^2}=\frac{\sqrt{34}}{2}$。]
解析
【分析】
首先结合正方形的性质寻找等角和等边，通过同角的余角相等得到∠FAB=∠EAD，证明△ABF与△ADE全等，得到BF的长度和AF=AE的关系；再由等腰三角形三线合一得出G是EF的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可知CG等于EF的一半；最后利用勾股定理计算EF的长度，即可求出CG的长。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴AB=AD=BC=CD=4，∠BAD=∠ABC=∠D=∠C=90°，
∴∠ABF=180°-∠ABC=90°。
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAB + ∠BAE = 90°，
又
∵∠EAD + ∠BAE = ∠BAD=90°，
∴∠FAB=∠EAD。
在△ABF和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}∠ABF=∠D=90° \\AB=AD \\∠FAB=∠EAD\end{array} $
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴BF=DE=1，AF=AE，即△AFE是等腰直角三角形。
∵AG⊥EF，根据等腰三角形三线合一，G为EF的中点。
在Rt△FCE中，∠C=90°，G是斜边EF的中点，
∴CG=$\frac{1}{2}$EF（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
又
∵FC=BC+BF=4+1=5，EC=CD-DE=4-1=3，
在Rt△FCE中，由勾股定理得：
EF=$\sqrt{FC^2+EC^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$，
∴CG=$\frac{1}{2}×\sqrt{34}=\frac{\sqrt{34}}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合类基础题，解题的核心是通过全等三角形转化边的关系，结合特殊三角形的中点性质简化线段计算，熟练掌握正方形、全等三角形、直角三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
首先结合正方形的性质寻找等角和等边，通过同角的余角相等得到∠FAB=∠EAD，证明△ABF与△ADE全等，得到BF的长度和AF=AE的关系；再由等腰三角形三线合一得出G是EF的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可知CG等于EF的一半；最后利用勾股定理计算EF的长度，即可求出CG的长。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴AB=AD=BC=CD=4，∠BAD=∠ABC=∠D=∠C=90°，
∴∠ABF=180°-∠ABC=90°。
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAB + ∠BAE = 90°，
又
∵∠EAD + ∠BAE = ∠BAD=90°，
∴∠FAB=∠EAD。
在△ABF和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}∠ABF=∠D=90° \\AB=AD \\∠FAB=∠EAD\end{array} $
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴BF=DE=1，AF=AE，即△AFE是等腰直角三角形。
∵AG⊥EF，根据等腰三角形三线合一，G为EF的中点。
在Rt△FCE中，∠C=90°，G是斜边EF的中点，
∴CG=$\frac{1}{2}$EF（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
又
∵FC=BC+BF=4+1=5，EC=CD-DE=4-1=3，
在Rt△FCE中，由勾股定理得：
EF=$\sqrt{FC^2+EC^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$，
∴CG=$\frac{1}{2}×\sqrt{34}=\frac{\sqrt{34}}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合类基础题，解题的核心是通过全等三角形转化边的关系，结合特殊三角形的中点性质简化线段计算，熟练掌握正方形、全等三角形、直角三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
4 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°。
(1)若a=12, b=5,则c=
(2)若a=9, c=41,则b=
(3)若b=8, c=17,则a=
(4)若c=15, a:b=3:4,则a=
(1)若a=12, b=5,则c=
13
;(2)若a=9, c=41,则b=
40
;(3)若b=8, c=17,则a=
15
;(4)若c=15, a:b=3:4,则a=
9
, b=12
。答案
(1) 13 (2) 40 (3) 15 (4) 9, 12
解析
【分析】
本题考查直角三角形勾股定理的应用，解题思路如下：首先明确Rt△ABC中∠C=90°，因此a、b为直角边，c为斜边，满足勾股定理$a^2+b^2=c^2$。前3小问已知任意两条边长，直接代入勾股定理或其变形公式即可求解第三条边长；第(4)小问已知直角边的比例和斜边长度，先根据比例设未知数，再代入勾股定理列方程求解即可。
【解析】
在Rt△ABC中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$。
(1) 将$a=12$，$b=5$代入公式，得$c^2=12^2+5^2=144+25=169$，因边长为正数，故$c=\sqrt{169}=13$；
(2) 将$a=9$，$c=41$代入变形公式$b^2=c^2-a^2$，得$b^2=41^2-9^2=1681-81=1600$，故$b=\sqrt{1600}=40$；
(3) 将$b=8$，$c=17$代入变形公式$a^2=c^2-b^2$，得$a^2=17^2-8^2=289-64=225$，故$a=\sqrt{225}=15$；
(4) 由$a:b=3:4$，设$a=3k$，$b=4k$（$k＞0$），将$c=15$、$a=3k$、$b=4k$代入勾股定理，得$(3k)^2+(4k)^2=15^2$，整理得$25k^2=225$，即$k^2=9$，解得$k=3$（舍去负根），因此$a=3×3=9$，$b=4×3=12$。
【答案】
(1) 13 (2) 40 (3) 15 (4) 9，12
【知识点】
勾股定理；方程思想应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，重点考查勾股定理及其变形公式的掌握，结合比例设未知数是解决边长比例类问题的常用技巧，掌握好该类题型可为后续复杂几何计算打下基础。
【难度系数】
0.85
本题考查直角三角形勾股定理的应用，解题思路如下：首先明确Rt△ABC中∠C=90°，因此a、b为直角边，c为斜边，满足勾股定理$a^2+b^2=c^2$。前3小问已知任意两条边长，直接代入勾股定理或其变形公式即可求解第三条边长；第(4)小问已知直角边的比例和斜边长度，先根据比例设未知数，再代入勾股定理列方程求解即可。
【解析】
在Rt△ABC中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$。
(1) 将$a=12$，$b=5$代入公式，得$c^2=12^2+5^2=144+25=169$，因边长为正数，故$c=\sqrt{169}=13$；
(2) 将$a=9$，$c=41$代入变形公式$b^2=c^2-a^2$，得$b^2=41^2-9^2=1681-81=1600$，故$b=\sqrt{1600}=40$；
(3) 将$b=8$，$c=17$代入变形公式$a^2=c^2-b^2$，得$a^2=17^2-8^2=289-64=225$，故$a=\sqrt{225}=15$；
(4) 由$a:b=3:4$，设$a=3k$，$b=4k$（$k＞0$），将$c=15$、$a=3k$、$b=4k$代入勾股定理，得$(3k)^2+(4k)^2=15^2$，整理得$25k^2=225$，即$k^2=9$，解得$k=3$（舍去负根），因此$a=3×3=9$，$b=4×3=12$。
【答案】
(1) 13 (2) 40 (3) 15 (4) 9，12
【知识点】
勾股定理；方程思想应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，重点考查勾股定理及其变形公式的掌握，结合比例设未知数是解决边长比例类问题的常用技巧，掌握好该类题型可为后续复杂几何计算打下基础。
【难度系数】
0.85
5 在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:1:2，则BC:AC:AB=
$1:1:\sqrt{2}$
。答案
$1:1:\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先根据三角形内角和为180°，结合已知的角度比例计算出三个内角的度数，判断三角形的形状；再根据等角对等边的性质得到两条直角边的数量关系，最后利用勾股定理求出斜边与直角边的比值，即可得到三边的比。
【解析】
解：设∠A=x，∠B=x，∠C=2x。
根据三角形内角和定理，得：
$x + x + 2x = 180°$
解得$x=45°$
∴$∠ A=∠ B=45°$，$∠ C=90°$，即$△ ABC$是等腰直角三角形
∴$BC=AC$（等角对等边）
设$BC=AC=a$，由勾股定理可得：
$AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$
∴$BC:AC:AB = a : a : \sqrt{2}a = 1:1:\sqrt{2}$
【答案】
$1:1:\sqrt{2}$
【知识点】
三角形内角和定理；等角对等边；勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题的关键是先通过角度比例确定三角形为等腰直角三角形，再结合三角形边角关系和勾股定理求解边长比，整体考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据三角形内角和为180°，结合已知的角度比例计算出三个内角的度数，判断三角形的形状；再根据等角对等边的性质得到两条直角边的数量关系，最后利用勾股定理求出斜边与直角边的比值，即可得到三边的比。
【解析】
解：设∠A=x，∠B=x，∠C=2x。
根据三角形内角和定理，得：
$x + x + 2x = 180°$
解得$x=45°$
∴$∠ A=∠ B=45°$，$∠ C=90°$，即$△ ABC$是等腰直角三角形
∴$BC=AC$（等角对等边）
设$BC=AC=a$，由勾股定理可得：
$AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$
∴$BC:AC:AB = a : a : \sqrt{2}a = 1:1:\sqrt{2}$
【答案】
$1:1:\sqrt{2}$
【知识点】
三角形内角和定理；等角对等边；勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题的关键是先通过角度比例确定三角形为等腰直角三角形，再结合三角形边角关系和勾股定理求解边长比，整体考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
6 已知直角三角形的两边长为5和12，则它斜边上的中线长为
$6或\frac{13}{2}$
。答案
$6或\frac{13}{2}$
解析
【分析】
本题没有明确直角三角形的斜边，因此需要分类讨论已知两边的角色：①长为12的边是斜边；②长为5和12的边均为直角边。先根据不同情况求出斜边长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算中线长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当长为12的边是斜边时，直角三角形的斜边长为12，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得斜边上的中线长为：$\frac{1}{2}×12=6$；
2. 当长为5和12的边都是直角边时，
由勾股定理得，斜边长为$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$，
则斜边上的中线长为：$\frac{1}{2}×13=\frac{13}{2}$。
综上，斜边上的中线长为6或$\frac{13}{2}$。
【答案】
$6或\frac{13}{2}$
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中线性质，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略题中未明确斜边的条件，默认5和12都是直角边导致漏解，解题时遇到未明确边的属性的直角三角形问题，要注意分类讨论，避免思维定式。
【难度系数】
0.6
本题没有明确直角三角形的斜边，因此需要分类讨论已知两边的角色：①长为12的边是斜边；②长为5和12的边均为直角边。先根据不同情况求出斜边长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算中线长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当长为12的边是斜边时，直角三角形的斜边长为12，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得斜边上的中线长为：$\frac{1}{2}×12=6$；
2. 当长为5和12的边都是直角边时，
由勾股定理得，斜边长为$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$，
则斜边上的中线长为：$\frac{1}{2}×13=\frac{13}{2}$。
综上，斜边上的中线长为6或$\frac{13}{2}$。
【答案】
$6或\frac{13}{2}$
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中线性质，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略题中未明确斜边的条件，默认5和12都是直角边导致漏解，解题时遇到未明确边的属性的直角三角形问题，要注意分类讨论，避免思维定式。
【难度系数】
0.6
如图，在△ABC中，AB=20，AC=15，BC=7，点A到BC的距离是
12
答案
12
解析
【分析】
要求点A到BC的距离，本质是求BC边上的垂线段长度。首先过点A作BC所在直线的垂线，构造出两个共用同一条高的直角三角形；再设垂足到点B的距离为x，用含x的式子表示出垂足到点C的距离；接着根据勾股定理分别用两个直角三角形表示出高的平方，联立得到方程求解x，最后代入计算即可得到高的长度。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，AD即为点A到BC的距离。
设BD=x，已知BC=7，因此CD=x-7。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD^2=AB^2-BD^2=20^2-x^2$ ①
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AD^2=AC^2-CD^2=15^2-(x-7)^2$ ②
联立①②列等式：
$400 - x^2 = 225 - (x-7)^2$
展开化简：
$400 - x^2 = 225 - x^2 +14x -49$
消去两边的$-x^2$后解得：$14x=224$，$x=16$。
将x=16代入①式得：$AD^2=400-16^2=144$，由于长度为正，因此$AD=12$。
【答案】
12
【知识点】
勾股定理；点到直线的距离；方程思想
【点评】
本题属于勾股定理的典型应用题型，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用公共边的等量关系建立方程求解，需要注意钝角三角形的高可能落在边的延长线上，避免设未知数时出错。
【难度系数】
0.6
要求点A到BC的距离，本质是求BC边上的垂线段长度。首先过点A作BC所在直线的垂线，构造出两个共用同一条高的直角三角形；再设垂足到点B的距离为x，用含x的式子表示出垂足到点C的距离；接着根据勾股定理分别用两个直角三角形表示出高的平方，联立得到方程求解x，最后代入计算即可得到高的长度。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，AD即为点A到BC的距离。
设BD=x，已知BC=7，因此CD=x-7。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD^2=AB^2-BD^2=20^2-x^2$ ①
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AD^2=AC^2-CD^2=15^2-(x-7)^2$ ②
联立①②列等式：
$400 - x^2 = 225 - (x-7)^2$
展开化简：
$400 - x^2 = 225 - x^2 +14x -49$
消去两边的$-x^2$后解得：$14x=224$，$x=16$。
将x=16代入①式得：$AD^2=400-16^2=144$，由于长度为正，因此$AD=12$。
【答案】
12
【知识点】
勾股定理；点到直线的距离；方程思想
【点评】
本题属于勾股定理的典型应用题型，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用公共边的等量关系建立方程求解，需要注意钝角三角形的高可能落在边的延长线上，避免设未知数时出错。
【难度系数】
0.6
8 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，且$AB=9$，$AC=12$，若$∠ BAC$的平分线交斜边$BC$于点$D$，则$CD=$
$\frac{60}{7}$
。答案
$\frac{60}{7}$ [提示:如图
,作$DE ⊥ AC$于点E,$DF ⊥ AB$于点F。在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,所以$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=15$。因为AD平分$∠ BAC$,$DE ⊥ AC$,$DF ⊥ AB$,所以$DE=DF$。因为$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB · DF}{\frac{1}{2}AC · DE}=\frac{AB}{AC}$,又因为$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}$,所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$,所以$\frac{BD}{CD}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$。再结合$BC=BD+CD=15$,可得$CD=\frac{60}{7}$。]解析
【分析】
解题可按以下思路推进：首先，已知直角三角形两条直角边，可先用勾股定理算出斜边BC的总长度，为后续计算铺垫；其次，AD是角平分线，可利用角平分线的性质，过D向∠BAC的两边作垂线，得到两条垂线段长度相等；再分别以AB、AC为底，表示出△ABD和△ACD的面积，可得两个三角形的面积比等于AB与AC的比值；最后观察到△ABD和△ACD的底在同一直线BC上，共享从A到BC的高，因此面积比也等于BD与CD的比值，联立比例关系结合BC总长度即可求出CD。
【解析】
1. 求斜边$BC$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=9$，$AC=12$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$。
2. 利用角平分线性质得到等线段：
过$D$作$DE ⊥ AC$于$E$，$DF ⊥ AB$于$F$，
∵$AD$平分$∠ BAC$，且$DE ⊥ AC$，$DF ⊥ AB$，
∴根据角平分线的性质，得$DE=DF$。
3. 用面积法推导$BD$与$CD$的比例：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB · DF$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC · DE$，
∵$DE=DF$，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$。
又
∵△ABD和△ACD以$BD$、$CD$为底时，高均为点A到BC的垂线段长度，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}$，即$\frac{BD}{CD}=\frac{3}{4}$。
4. 计算$CD$的长度：
设$BD=3k$，$CD=4k$，由$BD+CD=BC=15$得：
$3k+4k=15$，解得$k=\frac{15}{7}$，
∴$CD=4k=4×\frac{15}{7}=\frac{60}{7}$。
【答案】
$\frac{60}{7}$ [提示:如图,作$DE ⊥ AC$于点E,$DF ⊥ AB$于点F。在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,所以$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=15$。因为AD平分$∠ BAC$,$DE ⊥ AC$,$DF ⊥ AB$,所以$DE=DF$。因为$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB · DF}{\frac{1}{2}AC · DE}=\frac{AB}{AC}$,又因为$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}$,所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$,所以$\frac{BD}{CD}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$。再结合$BC=BD+CD=15$,可得$CD=\frac{60}{7}$。]
【知识点】
勾股定理、角平分线的性质、面积法求线段比
【点评】
本题属于几何综合基础题，结合了勾股定理、角平分线性质的考查，核心是通过面积法建立线段的比例关系，相比全等、相似等方法可有效简化计算，掌握面积法的灵活运用是解题的关键。
【难度系数】
0.6
解题可按以下思路推进：首先，已知直角三角形两条直角边，可先用勾股定理算出斜边BC的总长度，为后续计算铺垫；其次，AD是角平分线，可利用角平分线的性质，过D向∠BAC的两边作垂线，得到两条垂线段长度相等；再分别以AB、AC为底，表示出△ABD和△ACD的面积，可得两个三角形的面积比等于AB与AC的比值；最后观察到△ABD和△ACD的底在同一直线BC上，共享从A到BC的高，因此面积比也等于BD与CD的比值，联立比例关系结合BC总长度即可求出CD。
【解析】
1. 求斜边$BC$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=9$，$AC=12$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$。
2. 利用角平分线性质得到等线段：
过$D$作$DE ⊥ AC$于$E$，$DF ⊥ AB$于$F$，
∵$AD$平分$∠ BAC$，且$DE ⊥ AC$，$DF ⊥ AB$，
∴根据角平分线的性质，得$DE=DF$。
3. 用面积法推导$BD$与$CD$的比例：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB · DF$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC · DE$，
∵$DE=DF$，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$。
又
∵△ABD和△ACD以$BD$、$CD$为底时，高均为点A到BC的垂线段长度，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}$，即$\frac{BD}{CD}=\frac{3}{4}$。
4. 计算$CD$的长度：
设$BD=3k$，$CD=4k$，由$BD+CD=BC=15$得：
$3k+4k=15$，解得$k=\frac{15}{7}$，
∴$CD=4k=4×\frac{15}{7}=\frac{60}{7}$。
【答案】
$\frac{60}{7}$ [提示:如图
,作$DE ⊥ AC$于点E,$DF ⊥ AB$于点F。在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,所以$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=15$。因为AD平分$∠ BAC$,$DE ⊥ AC$,$DF ⊥ AB$,所以$DE=DF$。因为$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB · DF}{\frac{1}{2}AC · DE}=\frac{AB}{AC}$,又因为$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}$,所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$,所以$\frac{BD}{CD}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$。再结合$BC=BD+CD=15$,可得$CD=\frac{60}{7}$。]【知识点】
勾股定理、角平分线的性质、面积法求线段比
【点评】
本题属于几何综合基础题，结合了勾股定理、角平分线性质的考查，核心是通过面积法建立线段的比例关系，相比全等、相似等方法可有效简化计算，掌握面积法的灵活运用是解题的关键。
【难度系数】
0.6
9 如图，$AB ⊥ BC$于点B，$AB ⊥ AD$于点A，点E是CD中点，若$BC=5$，$AD=10$，$BE=\dfrac{13}{2}$，则AB的长是
12
。答案
12 [提示:延长BE交AD于点F。因为$AB ⊥ BC$,$AB ⊥ AD$,所以$AD // CB$,所以$∠ C=∠ D$。又因为$∠ DEF=∠ BEC$,$CE=ED$,所以$△ EBC ≌ △ EFD(\mathrm{ASA})$,所以$BE=EF=\frac{1}{2}BF$,所以$BF=13$,$DF=BC=5$,所以$AF=AD-DF=10-5=5$。在$\mathrm{Rt}△ ABF$中,$∠ A=90°$,所以$AB=\sqrt{BF^2-AF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。]
解析
【分析】
首先观察题目条件，两组垂直可推出BC与AD互相平行，又已知E是CD的中点，遇到平行关系加中点的条件时，通常通过延长线段构造全等三角形，把已知的BE、BC长度转化到直角三角形中，再利用勾股定理计算AB的长度。具体思考路径：延长BE交AD于点F，先证明△EBC和△EFD全等，得到对应边相等，求出BF和AF的长度，最后在Rt△ABF中用勾股定理求解AB。
【解析】
解：延长BE交AD于点F。
∵ $AB⊥BC$，$AB⊥AD$，
∴ $∠A=∠ABC=90°$，
∴ $AD// BC$（同垂直于一条直线的两条直线互相平行），
∴ $∠C=∠D$（两直线平行，内错角相等）。
∵ 点E是CD中点，
∴ $CE=DE$。
在$△ EBC$和$△ EFD$中：
$\begin{cases}∠C=∠D \\CE=DE \\∠BEC=∠FED\end{cases}$
∴ $△ EBC≌△ EFD(\mathrm{ASA})$，
∴ $BE=EF$，$DF=BC=5$，
∴ $BF=2BE=2×\frac{13}{2}=13$，$AF=AD-DF=10-5=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$∠A=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BF^2-AF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
【答案】
12
【知识点】
平行线的性质，全等三角形判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是掌握中点类问题的常见辅助线构造方法，通过延长线段构造全等三角形，将分散的已知条件整合到同一个直角三角形中，结合勾股定理即可求出未知线段长度。
【难度系数】
0.7
首先观察题目条件，两组垂直可推出BC与AD互相平行，又已知E是CD的中点，遇到平行关系加中点的条件时，通常通过延长线段构造全等三角形，把已知的BE、BC长度转化到直角三角形中，再利用勾股定理计算AB的长度。具体思考路径：延长BE交AD于点F，先证明△EBC和△EFD全等，得到对应边相等，求出BF和AF的长度，最后在Rt△ABF中用勾股定理求解AB。
【解析】
解：延长BE交AD于点F。
∵ $AB⊥BC$，$AB⊥AD$，
∴ $∠A=∠ABC=90°$，
∴ $AD// BC$（同垂直于一条直线的两条直线互相平行），
∴ $∠C=∠D$（两直线平行，内错角相等）。
∵ 点E是CD中点，
∴ $CE=DE$。
在$△ EBC$和$△ EFD$中：
$\begin{cases}∠C=∠D \\CE=DE \\∠BEC=∠FED\end{cases}$
∴ $△ EBC≌△ EFD(\mathrm{ASA})$，
∴ $BE=EF$，$DF=BC=5$，
∴ $BF=2BE=2×\frac{13}{2}=13$，$AF=AD-DF=10-5=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$∠A=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BF^2-AF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
【答案】
12
【知识点】
平行线的性质，全等三角形判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是掌握中点类问题的常见辅助线构造方法，通过延长线段构造全等三角形，将分散的已知条件整合到同一个直角三角形中，结合勾股定理即可求出未知线段长度。
【难度系数】
0.7
