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12 如图，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$，$∠ BAC$和$∠ ABC$的平分线交于点$O$，过$O$作$OD ⊥ AB$于点$D$，$OE ⊥ BC$于点$E$，$OF ⊥ AC$于点$F$，求$OD$的长。
答案
12 如图,连接OC。因为$∠BAC$和$∠ABC$的平分线交于点O,$OD ⊥ AB$,$OE ⊥ BC$,$OF ⊥ AC$,所以$OD=OE=OF$。因为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}×3×4=6$,又因为$S_{△ABC}=S_{△AOB}+S_{△BOC}+S_{△AOC}=\frac{1}{2}AB·OD+\frac{1}{2}BC·OE+\frac{1}{2}AC·OF=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)·OD=6OD$,所以$6OD=6$,所以$OD=1$。
解析
【分析】
解题首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。观察题目条件，O是∠BAC和∠ABC的角平分线交点，且OD、OE、OF分别是O到三角形三边的垂线段，因此可推出OD=OE=OF。要求OD的长度，直接单独求解缺少条件，因此考虑等面积法：将△ABC的面积拆分为△AOB、△BOC、△AOC三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高恰好都是OD，结合已知的三边长，即可建立等式求出OD的长度。
【解析】
连接OC，
∵ AO平分∠BAC，BO平分∠ABC，且OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
根据角平分线的性质，可得 $ OD=OE=OF $。
先计算△ABC的面积：
$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}×3×4=6 $，
又因为△ABC的面积等于三个小三角形面积之和：
$ S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC} $
代入三角形面积公式得：
$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·OD+\frac{1}{2}BC·OE+\frac{1}{2}AC·OF $
由于OD=OE=OF，提取公因式得：
$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)·OD=\frac{1}{2}×(5+4+3)·OD=6OD $
因此有 $ 6OD=6 $，解得 $ OD=1 $。
【答案】
12 如图,连接OC。因为$∠BAC$和$∠ABC$的平分线交于点O,$OD ⊥ AB$,$OE ⊥ BC$,$OF ⊥ AC$,所以$OD=OE=OF$。因为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}×3×4=6$,又因为$S_{△ABC}=S_{△AOB}+S_{△BOC}+S_{△AOC}=\frac{1}{2}AB·OD+\frac{1}{2}BC·OE+\frac{1}{2}AC·OF=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)·OD=6OD$,所以$6OD=6$,所以$OD=1$。
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题考查角平分线性质与等面积法的结合应用，解题核心是先通过角平分线性质得到三条垂线段长度相等，再利用整体面积等于各部分面积和的关系建立方程求解，是几何中求解垂线段长度的典型方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。观察题目条件，O是∠BAC和∠ABC的角平分线交点，且OD、OE、OF分别是O到三角形三边的垂线段，因此可推出OD=OE=OF。要求OD的长度，直接单独求解缺少条件，因此考虑等面积法：将△ABC的面积拆分为△AOB、△BOC、△AOC三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高恰好都是OD，结合已知的三边长，即可建立等式求出OD的长度。
【解析】
连接OC，
∵ AO平分∠BAC，BO平分∠ABC，且OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
根据角平分线的性质，可得 $ OD=OE=OF $。
先计算△ABC的面积：
$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}×3×4=6 $，
又因为△ABC的面积等于三个小三角形面积之和：
$ S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC} $
代入三角形面积公式得：
$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·OD+\frac{1}{2}BC·OE+\frac{1}{2}AC·OF $
由于OD=OE=OF，提取公因式得：
$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)·OD=\frac{1}{2}×(5+4+3)·OD=6OD $
因此有 $ 6OD=6 $，解得 $ OD=1 $。
【答案】
12 如图,连接OC。因为$∠BAC$和$∠ABC$的平分线交于点O,$OD ⊥ AB$,$OE ⊥ BC$,$OF ⊥ AC$,所以$OD=OE=OF$。因为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}×3×4=6$,又因为$S_{△ABC}=S_{△AOB}+S_{△BOC}+S_{△AOC}=\frac{1}{2}AB·OD+\frac{1}{2}BC·OE+\frac{1}{2}AC·OF=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)·OD=6OD$,所以$6OD=6$,所以$OD=1$。
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题考查角平分线性质与等面积法的结合应用，解题核心是先通过角平分线性质得到三条垂线段长度相等，再利用整体面积等于各部分面积和的关系建立方程求解，是几何中求解垂线段长度的典型方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
13 已知AD为等边$△ ABC$的角平分线，动点E在直线AD上（不与点A重合），连接BE。以BE为一边在BE的下方作等边$△ BEF$，连接CF。
（1）如图①，若点E在线段AD上，且$DE=BD$，则$∠ CBF=$
（2）如图②，若点E在AD的反向延长线上，且直线AE、CF交于点M。
① 求$∠ AMC$的度数；
② 若$△ ABC$的边长为8，P、Q为直线CF上的两个动点，且$PQ=10$。连接BP、BQ。判断$△ BPQ$的面积是否为定值。若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由。
（1）如图①，若点E在线段AD上，且$DE=BD$，则$∠ CBF=$
15
度。（2）如图②，若点E在AD的反向延长线上，且直线AE、CF交于点M。
① 求$∠ AMC$的度数；
② 若$△ ABC$的边长为8，P、Q为直线CF上的两个动点，且$PQ=10$。连接BP、BQ。判断$△ BPQ$的面积是否为定值。若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由。
答案
13 (1) 15 (2) ① 因为$△ABC$和$△BEF$均为等边三角形,所以$AB=CB$,$EB=FB$,$∠EBF=∠ABC=60°$,所以$∠EBA=∠FBC$。在$△ABE$和$△CBF$中,因为$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABE=∠CBF, \\ EB=FB, \end{cases}$所以$△ABE ≌ △CBF(SAS)$,所以$∠AEB=∠CFB$。又因为$∠AEB+∠EBF=∠CFB+∠AMC$,所以$∠AMC=∠EBF=60°$。② 过B作$BN ⊥ CM$于点N,连接DN。由①可知,$∠AMC=60°$,所以$∠BCN=30°$,$∠CBN=60°$。因为AD平分$∠BAC$,$AB=AC$,所以D是BC的中点,所以$BD=DN=\frac{1}{2}BC$,所以$△BDN$是等边三角形,所以$BN=BD=\frac{1}{2}BC=4$。因为$PQ=10$,所以$S_{△BPQ}=\frac{1}{2}×4×10=20$,所以$△BPQ$的面积为定值20。
解析
【分析】
（1）先利用等边三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，结合DE=BD得到△BDE是等腰直角三角形，求出∠DBE的度数，再根据等边△BEF的内角为60°，作差即可得到∠CBF的度数。
（2）①先根据等边三角形的边、角性质推导得到∠ABE=∠CBF，通过SAS证明△ABE≌△CBF，得到对应角相等，再结合对顶角相等和三角形内角和即可求出∠AMC的度数；②判断△BPQ面积是否为定值，只需要判断点B到直线CF的距离是否为定值，过B作CF的垂线，结合角度关系求出垂线段的长度，再结合固定的PQ长度，代入面积公式即可得到定值。
【解析】
（1）
∵△ABC是等边三角形，AD为角平分线，由三线合一得$AD⊥BC$，即$∠ BDE=90°$，
又
∵$DE=BD$，
∴△BDE是等腰直角三角形，$∠ DBE=45°$，
∵△BEF是等边三角形，
∴$∠ EBF=60°$，
∴$∠ CBF=∠ EBF-∠ DBE=60°-45°=15°$。
（2）①
∵△ABC和△BEF均为等边三角形，
∴$AB=CB$，$EB=FB$，$∠ ABC=∠ EBF=60°$，
∴$∠ ABC+∠ CBE=∠ EBF+∠ CBE$，即$∠ ABE=∠ CBF$，
在△ABE和△CBF中：
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ ABE=∠ CBF, \\ EB=FB, \end{cases}$
∴$△ABE ≌ △CBF(SAS)$，
∴$∠ AEB=∠ CFB$，
设BE、CF交于点O，
∵$∠ EOM=∠ BOF$（对顶角相等），
∴$180°-∠ AEB-∠ EOM=180°-∠ CFB-∠ BOF$，即$∠ EMO=∠ OBF=60°$，
∴$∠ AMC=60°$。
②过B作$BN ⊥ CM$于点N，
由①得$∠ AMC=60°$，AD为等边△ABC的角平分线，故$AD⊥BC$，D为BC中点，$BC=8$，
∴$∠ BCN=30°$，
在Rt△BNC中，$BN=\frac{1}{2}BC=4$，即点B到直线CF的距离恒为4，
∵$PQ=10$，
∴$S_{△BPQ}=\frac{1}{2}×PQ×BN=\frac{1}{2}×10×4=20$，即△BPQ的面积为定值。
【答案】
（1）$\boldsymbol{15}$
（2）①$\boldsymbol{60°}$；②是，定值为$\boldsymbol{20}$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定方法，对于动点类面积定值问题，通常转化为判断定点到定直线的距离是否为定值求解。
【难度系数】
0.65
（1）先利用等边三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，结合DE=BD得到△BDE是等腰直角三角形，求出∠DBE的度数，再根据等边△BEF的内角为60°，作差即可得到∠CBF的度数。
（2）①先根据等边三角形的边、角性质推导得到∠ABE=∠CBF，通过SAS证明△ABE≌△CBF，得到对应角相等，再结合对顶角相等和三角形内角和即可求出∠AMC的度数；②判断△BPQ面积是否为定值，只需要判断点B到直线CF的距离是否为定值，过B作CF的垂线，结合角度关系求出垂线段的长度，再结合固定的PQ长度，代入面积公式即可得到定值。
【解析】
（1）
∵△ABC是等边三角形，AD为角平分线，由三线合一得$AD⊥BC$，即$∠ BDE=90°$，
又
∵$DE=BD$，
∴△BDE是等腰直角三角形，$∠ DBE=45°$，
∵△BEF是等边三角形，
∴$∠ EBF=60°$，
∴$∠ CBF=∠ EBF-∠ DBE=60°-45°=15°$。
（2）①
∵△ABC和△BEF均为等边三角形，
∴$AB=CB$，$EB=FB$，$∠ ABC=∠ EBF=60°$，
∴$∠ ABC+∠ CBE=∠ EBF+∠ CBE$，即$∠ ABE=∠ CBF$，
在△ABE和△CBF中：
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ ABE=∠ CBF, \\ EB=FB, \end{cases}$
∴$△ABE ≌ △CBF(SAS)$，
∴$∠ AEB=∠ CFB$，
设BE、CF交于点O，
∵$∠ EOM=∠ BOF$（对顶角相等），
∴$180°-∠ AEB-∠ EOM=180°-∠ CFB-∠ BOF$，即$∠ EMO=∠ OBF=60°$，
∴$∠ AMC=60°$。
②过B作$BN ⊥ CM$于点N，
由①得$∠ AMC=60°$，AD为等边△ABC的角平分线，故$AD⊥BC$，D为BC中点，$BC=8$，
∴$∠ BCN=30°$，
在Rt△BNC中，$BN=\frac{1}{2}BC=4$，即点B到直线CF的距离恒为4，
∵$PQ=10$，
∴$S_{△BPQ}=\frac{1}{2}×PQ×BN=\frac{1}{2}×10×4=20$，即△BPQ的面积为定值。
【答案】
（1）$\boldsymbol{15}$
（2）①$\boldsymbol{60°}$；②是，定值为$\boldsymbol{20}$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定方法，对于动点类面积定值问题，通常转化为判断定点到定直线的距离是否为定值求解。
【难度系数】
0.65
