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⑥ 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD ⊥ BC$于点$D$，点$E$为$AD$上一点，$∠ ABE = ∠ CBE$，若$△ ABC$的面积是12，$AC + CD = 8$，则$DE$的长是
$\frac{3}{2}$
。答案
6.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
首先根据等腰三角形三线合一的性质，可得AC=AB，CD=BD，AD平分∠BAC；结合已知BE平分∠ABC，可推出点E是△ABC的角平分线交点，根据角平分线的性质，点E到△ABC三边的距离相等，都等于DE（DE⊥BC）。接下来我们可以把△ABC的面积拆分为三个分别以AB、BC、AC为底，DE为高的小三角形的面积和，再结合AC+CD=8的条件化简周长表达式，代入面积即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，AD平分∠BAC，AB=AC。
∵∠ABE=∠CBE，
∴BE平分∠ABC，
∴点E是△ABC的内角平分线交点，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点E到AB、AC、BC三边的距离相等，均等于DE（DE⊥BC）。
△ABC的面积可拆分为三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ BCE}+S_{△ ACE}$
其中：
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB× DE$，
$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}× BC× DE$，
$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}× AC× DE$，
代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× DE×(AB+BC+AC)$
∵AB=AC，BC=2CD，
∴$AB+BC+AC=2AC+2CD=2(AC+CD)$，
已知$AC+CD=8$，代入得$AB+BC+AC=2×8=16$，
又
∵$S_{△ ABC}=12$，
∴$12=\frac{1}{2}× DE×16$，
化简得$8DE=12$，
解得$DE=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
等腰三角形性质，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题将等腰三角形、角平分线的性质与三角形面积计算结合考察，解题的关键是通过角平分线的性质得到点E到三边距离相等，再用分割法表示三角形总面积，结合已知条件化简求解，对综合运用知识点的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先根据等腰三角形三线合一的性质，可得AC=AB，CD=BD，AD平分∠BAC；结合已知BE平分∠ABC，可推出点E是△ABC的角平分线交点，根据角平分线的性质，点E到△ABC三边的距离相等，都等于DE（DE⊥BC）。接下来我们可以把△ABC的面积拆分为三个分别以AB、BC、AC为底，DE为高的小三角形的面积和，再结合AC+CD=8的条件化简周长表达式，代入面积即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，AD平分∠BAC，AB=AC。
∵∠ABE=∠CBE，
∴BE平分∠ABC，
∴点E是△ABC的内角平分线交点，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点E到AB、AC、BC三边的距离相等，均等于DE（DE⊥BC）。
△ABC的面积可拆分为三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ BCE}+S_{△ ACE}$
其中：
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB× DE$，
$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}× BC× DE$，
$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}× AC× DE$，
代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× DE×(AB+BC+AC)$
∵AB=AC，BC=2CD，
∴$AB+BC+AC=2AC+2CD=2(AC+CD)$，
已知$AC+CD=8$，代入得$AB+BC+AC=2×8=16$，
又
∵$S_{△ ABC}=12$，
∴$12=\frac{1}{2}× DE×16$，
化简得$8DE=12$，
解得$DE=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
等腰三角形性质，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题将等腰三角形、角平分线的性质与三角形面积计算结合考察，解题的关键是通过角平分线的性质得到点E到三边距离相等，再用分割法表示三角形总面积，结合已知条件化简求解，对综合运用知识点的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
7 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ ABC$的平分线与$AC$交于点$D$，若$∠ BDC=75°$，则$∠ A$的度数为
$40°$
。答案
7.$40°$
解析
【分析】
首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，可得两底角∠ABC=∠ACB；BD是∠ABC的角平分线，可将∠DBC用底角的表达式表示；再结合△BDC内角和为180°、已知∠BDC=75°的条件，通过设未知数列方程的方式即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，
∴ △ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB。
设∠A的度数为$x$，根据三角形内角和定理可得：
$∠ ABC=∠ ACB=\frac{180° - x}{2}$
∵ BD是∠ABC的平分线，
∴ $∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{180° - x}{4}$
在△BDC中，内角和为180°，已知∠BDC=75°，代入角度得：
$\frac{180° - x}{4}+\frac{180° - x}{2}+75°=180°$
化简方程：
$\frac{180° - x + 360° - 2x}{4}=105°$
$540° - 3x=420°$
解得$x=40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础综合题，核心是梳理清楚各角之间的数量关系，通过设未知数列方程求解角度是这类题型的常用方法，掌握基础几何性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，可得两底角∠ABC=∠ACB；BD是∠ABC的角平分线，可将∠DBC用底角的表达式表示；再结合△BDC内角和为180°、已知∠BDC=75°的条件，通过设未知数列方程的方式即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，
∴ △ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB。
设∠A的度数为$x$，根据三角形内角和定理可得：
$∠ ABC=∠ ACB=\frac{180° - x}{2}$
∵ BD是∠ABC的平分线，
∴ $∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{180° - x}{4}$
在△BDC中，内角和为180°，已知∠BDC=75°，代入角度得：
$\frac{180° - x}{4}+\frac{180° - x}{2}+75°=180°$
化简方程：
$\frac{180° - x + 360° - 2x}{4}=105°$
$540° - 3x=420°$
解得$x=40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础综合题，核心是梳理清楚各角之间的数量关系，通过设未知数列方程求解角度是这类题型的常用方法，掌握基础几何性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
8 如图，已知$△ ABC$的周长为35，$∠ BAC$和$∠ ABC$的平分线AD和BE相交于点P，若点P到边AB的距离为6，则$△ ABC$的面积为
105
。答案
8.105
解析
【分析】
首先看到题目中给出两个角的平分线交于点P，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P是△ABC的内心，到三角形三边的距离均相等。要求△ABC的面积，可将其拆分为△PAB、△PBC、△PCA三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高都是点P到对应边的距离，底之和就是△ABC的周长，代入计算即可。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，AD与BE交于点P
∴点P是△ABC的内心，根据角平分线的性质可得：点P到AB、BC、AC三边的距离相等
已知点P到AB的距离为6，因此点P到BC、AC的距离也均为6
△ABC的面积可表示为三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ PAB}+S_{△ PBC}+S_{△ PCA}$
代入三角形面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB×6 + \frac{1}{2}× BC×6 + \frac{1}{2}× AC×6$
提取公因式化简：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6×(AB+BC+AC)$
已知△ABC的周长为35，即$AB+BC+AC=35$，代入得：
$S_{△ ABC}=3×35=105$
【答案】
105
【知识点】
角平分线的性质，三角形内心的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用三角形内心到三边距离相等的性质，将大三角形面积拆分为三个等高的小三角形面积之和，结合周长条件简化计算，避免了分别求各边长度的复杂步骤，是三角形角平分线相关面积计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
首先看到题目中给出两个角的平分线交于点P，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P是△ABC的内心，到三角形三边的距离均相等。要求△ABC的面积，可将其拆分为△PAB、△PBC、△PCA三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高都是点P到对应边的距离，底之和就是△ABC的周长，代入计算即可。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，AD与BE交于点P
∴点P是△ABC的内心，根据角平分线的性质可得：点P到AB、BC、AC三边的距离相等
已知点P到AB的距离为6，因此点P到BC、AC的距离也均为6
△ABC的面积可表示为三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ PAB}+S_{△ PBC}+S_{△ PCA}$
代入三角形面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB×6 + \frac{1}{2}× BC×6 + \frac{1}{2}× AC×6$
提取公因式化简：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6×(AB+BC+AC)$
已知△ABC的周长为35，即$AB+BC+AC=35$，代入得：
$S_{△ ABC}=3×35=105$
【答案】
105
【知识点】
角平分线的性质，三角形内心的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用三角形内心到三边距离相等的性质，将大三角形面积拆分为三个等高的小三角形面积之和，结合周长条件简化计算，避免了分别求各边长度的复杂步骤，是三角形角平分线相关面积计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
如图，已知BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，$S_{△ PBC}=2\mathrm{cm}^2$，则$S_{△ ABC}=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$。
答案
9.4
⑩ 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$和$∠ ACB$的外角平分线$BP$、$CP$交于点$P$，$PE ⊥ AC$于点$E$，若$△ ABC$的周长为$12$，$PE=2$，$S_{△ BPC}=3$，则$S_{△ ABC}=$
6
。答案
10.6 [提示:作$PF ⊥ BC$于点F,$PG ⊥ AB$于点G,连接PA。因为PC是$∠ACB$的外角平分线,$PE ⊥ AC$,$PF ⊥ BC$,所以$PE=PF$。同理,$PF=PG$,所以$PF=PG=PE=2$。因为$S_{△BPC}=\frac{1}{2}BC·PF=3$,所以$BC=3$。因为$△ABC$的周长为12,即$AB+AC+BC=12$,所以$AB+AC=12-BC=12-3=9$,所以$S_{△PAB}+S_{△PAC}=\frac{1}{2}×AB×PG+\frac{1}{2}×AC×PE=9$,所以$S_{△ABC}=S_{△PAB}+S_{△PAC}-S_{△BPC}=9-3=6$。]
解析
【分析】
遇到角平分线相关的几何题，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中BP、CP是外角平分线，因此过P作BC、AB延长线、AC的垂线，可得三条垂线段长度相等，均等于PE=2。接下来先利用△BPC的面积求出BC的长度，再结合△ABC的周长得到AB+AC的和，计算△PAB和△PAC的面积之和，最后通过面积的和差关系求出△ABC的面积即可。
【解析】
解：过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB交AB的延长线于点G，连接PA。
1. 由角平分线的性质推导垂线段相等：
∵ PC是∠ACB的外角平分线，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴ PE=PF=2。
同理，BP是∠ABC的外角平分线，PG⊥AB，PF⊥BC，
∴ PF=PG=2，
即PE=PF=PG=2。
2. 求BC的长度：
已知$S_{△BPC}=\frac{1}{2} × BC × PF=3$，代入PF=2，
得$\frac{1}{2} × BC × 2 = 3$，解得BC=3。
3. 求AB与AC的长度和：
∵ △ABC的周长为12，即AB+AC+BC=12，
∴ AB+AC=12-BC=12-3=9。
4. 计算△PAB与△PAC的面积和：
$S_{△PAB}+S_{△PAC}=\frac{1}{2} × AB × PG + \frac{1}{2} × AC × PE$
代入PG=PE=2，得：
$S_{△PAB}+S_{△PAC}=AB + AC = 9$。
5. 利用面积和差求△ABC的面积：
根据图形的面积关系：$S_{△PAB}+S_{△PAC}=S_{△ABC}+S_{△BPC}$，
∴ $S_{△ABC}=9 - S_{△BPC}=9-3=6$。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积公式，周长的定义
【点评】
本题重点考查角平分线性质的灵活应用，解题的突破口是作辅助线得到点P到三角形三边所在直线的距离相等，再结合周长、面积公式通过和差转换求解，需要具备一定的图形观察能力和面积转换思维。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线相关的几何题，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中BP、CP是外角平分线，因此过P作BC、AB延长线、AC的垂线，可得三条垂线段长度相等，均等于PE=2。接下来先利用△BPC的面积求出BC的长度，再结合△ABC的周长得到AB+AC的和，计算△PAB和△PAC的面积之和，最后通过面积的和差关系求出△ABC的面积即可。
【解析】
解：过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB交AB的延长线于点G，连接PA。
1. 由角平分线的性质推导垂线段相等：
∵ PC是∠ACB的外角平分线，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴ PE=PF=2。
同理，BP是∠ABC的外角平分线，PG⊥AB，PF⊥BC，
∴ PF=PG=2，
即PE=PF=PG=2。
2. 求BC的长度：
已知$S_{△BPC}=\frac{1}{2} × BC × PF=3$，代入PF=2，
得$\frac{1}{2} × BC × 2 = 3$，解得BC=3。
3. 求AB与AC的长度和：
∵ △ABC的周长为12，即AB+AC+BC=12，
∴ AB+AC=12-BC=12-3=9。
4. 计算△PAB与△PAC的面积和：
$S_{△PAB}+S_{△PAC}=\frac{1}{2} × AB × PG + \frac{1}{2} × AC × PE$
代入PG=PE=2，得：
$S_{△PAB}+S_{△PAC}=AB + AC = 9$。
5. 利用面积和差求△ABC的面积：
根据图形的面积关系：$S_{△PAB}+S_{△PAC}=S_{△ABC}+S_{△BPC}$，
∴ $S_{△ABC}=9 - S_{△BPC}=9-3=6$。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积公式，周长的定义
【点评】
本题重点考查角平分线性质的灵活应用，解题的突破口是作辅助线得到点P到三角形三边所在直线的距离相等，再结合周长、面积公式通过和差转换求解，需要具备一定的图形观察能力和面积转换思维。
【难度系数】
0.6
11 如图，在$△ ABC$中，点D、E分别在边AC、AB上，且$ED=CD$，BD平分$∠ ABC$，过D点作$DF ⊥ BC$于点F，作$DG ⊥ AB$于点G，$∠ ACB = 60°$。
(1) 求$∠ GED$的度数；
(2) 若$BC - BE = 6$，求CD的长。
(1) 求$∠ GED$的度数；
(2) 若$BC - BE = 6$，求CD的长。
答案
11 (1) 因为$DF ⊥ BC$,$DG ⊥ AB$,BD平分$∠ABC$,所以$DG=DF$,$∠DFB=∠DGB=90°$。 因为$ED=CD$,所以$Rt△EDG ≌ Rt△CDF(HL)$,所以$∠GED=∠ACB=60°$。 (2) 如图,在BC上取一点H,使得$BH=BE$。由题意可得$∠EBD=∠DBH$,在$△BED$和$△BHD$中,因为$\begin{cases} BH=BE, \\ ∠EBD=∠DBH, \\ BD=BD, \end{cases}$所以$△BED ≌ △BHD(SAS)$,所以$ED=HD$。因为$ED=CD$,所以$CD=HD$。又因为$∠ACB=60°$,所以$△CHD$是等边三角形,所以$CD=HC=BC-BH=BC-BE=6$。
解析
【分析】
(1) 求解∠GED的度数：首先看到BD平分∠ABC，且DG⊥AB、DF⊥BC，根据角平分线的性质可得DG=DF，此时△EDG和△CDF都是直角三角形，又已知ED=CD，可通过HL判定两个直角三角形全等，利用全等三角形对应角相等即可得到∠GED=∠ACB，从而求出度数。
(2) 求解CD的长：已知BC-BE=6，需要将BE转化到BC边上，采用截长补短的思路，在BC上截取BH=BE，结合BD平分∠ABC、BD为公共边，通过SAS证明△BED≌△BHD，得到ED=HD，结合ED=CD推出HD=CD，再结合∠ACB=60°，可判定△HDC是等边三角形，因此CD=HC=BC-BH=BC-BE，代入数值即可得到CD的长。
【解析】
(1)
∵DF⊥BC，DG⊥AB，BD平分∠ABC，
∴DG=DF，∠DGE=∠DFC=90°。
在Rt△EDG和Rt△CDF中，
$\begin{cases} ED=CD \\ DG=DF \end{cases}$
∴Rt△EDG ≌ Rt△CDF(HL)，
∴∠GED=∠ACB=60°。
(2) 如图，在BC上取一点H，使得$BH=BE$。
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBH。
在△BED和△BHD中，
$\begin{cases} BH=BE \\ ∠EBD=∠DBH \\ BD=BD \end{cases}$
∴△BED ≌ △BHD(SAS)，
∴ED=HD。
∵ED=CD，
∴CD=HD。
又
∵∠ACB=60°，
∴△CHD是等边三角形，
∴CD=HC=BC-BH=BC-BE=6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$；(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质，灵活运用全等三角形转化边角关系，第二问中截长补短构造全等是解决线段和差问题的常用方法，这类方法是几何证明的高频考点，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠GED的度数：首先看到BD平分∠ABC，且DG⊥AB、DF⊥BC，根据角平分线的性质可得DG=DF，此时△EDG和△CDF都是直角三角形，又已知ED=CD，可通过HL判定两个直角三角形全等，利用全等三角形对应角相等即可得到∠GED=∠ACB，从而求出度数。
(2) 求解CD的长：已知BC-BE=6，需要将BE转化到BC边上，采用截长补短的思路，在BC上截取BH=BE，结合BD平分∠ABC、BD为公共边，通过SAS证明△BED≌△BHD，得到ED=HD，结合ED=CD推出HD=CD，再结合∠ACB=60°，可判定△HDC是等边三角形，因此CD=HC=BC-BH=BC-BE，代入数值即可得到CD的长。
【解析】
(1)
∵DF⊥BC，DG⊥AB，BD平分∠ABC，
∴DG=DF，∠DGE=∠DFC=90°。
在Rt△EDG和Rt△CDF中，
$\begin{cases} ED=CD \\ DG=DF \end{cases}$
∴Rt△EDG ≌ Rt△CDF(HL)，
∴∠GED=∠ACB=60°。
(2) 如图，在BC上取一点H，使得$BH=BE$。
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBH。
在△BED和△BHD中，
$\begin{cases} BH=BE \\ ∠EBD=∠DBH \\ BD=BD \end{cases}$
∴△BED ≌ △BHD(SAS)，
∴ED=HD。
∵ED=CD，
∴CD=HD。
又
∵∠ACB=60°，
∴△CHD是等边三角形，
∴CD=HC=BC-BH=BC-BE=6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$；(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质，灵活运用全等三角形转化边角关系，第二问中截长补短构造全等是解决线段和差问题的常用方法，这类方法是几何证明的高频考点，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
