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10 如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=8，AB=CD=17。点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD'E关于直线AE对称，当△AD'B为直角三角形时，DE的长为
2或32
。答案
2或32 [提示:如图①
,当点$D'$在线段$BE$上时,$∠ AD'B=90°$。因为$△ ADE$与$△ AD'E$关于直线AE对称,所以$△ AD'E ≌ △ ADE$,所以$∠ AD'E=∠ D=90°$,$∠ AED=∠ AED'$,$AD'=AD=BC=8$。因为$∠ AD'B=90°$,所以$∠ AD'E+∠ AD'B=180°$,所以B、$D'$、E三点共线。因为$DC // AB$,所以$∠ DEA=∠ EAB$,所以$∠ AEB=∠ EAB$,所以$BE=AB=17$。在$\mathrm{Rt}△ AD'B$中,$BD'=\sqrt{AB^2-AD'^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15$,所以$DE=D'E=BE-BD'=17-15=2$。如图②
,当点$D'$在EB延长线上时,$∠ AD'B=90°$。同理可得,$AB=BE=17$,$BD'=\sqrt{AB^2-AD'^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15$,所以$DE=D'E=D'B+BE=17+15=32$。综上所述,DE的长为2或32。]解析
【分析】
本题为矩形中的折叠类问题，解题首先利用折叠的性质：折叠前后对应三角形全等，对应边、对应角均相等。题目要求△AD'B为直角三角形，首先分析直角位置：由AD'=AD=8＜AB=17，可知直角只能为∠AD'B=90°，接下来分两种情况讨论：①点D'在线段BE上；②点D'在EB的延长线上。两种情况均先结合折叠性质得到AD'的长度，再用勾股定理计算BD'的长度，最后结合矩形对边平行的性质推导出BE=AB，即可求出DE的长度。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点D'在线段BE上时（如图①）：
∵△ADE与△AD'E关于直线AE对称，
∴△AD'E≌△ADE，
∴∠AD'E=∠D=90°，AD'=AD=8，DE=D'E。
∵∠AD'B=90°，
∴∠AD'E+∠AD'B=180°，即B、D'、E三点共线。
∵四边形ABCD是矩形，DC//AB，
∴∠DEA=∠EAB，
由折叠性质得∠AED=∠AED'，
∴∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB=17。
在Rt△AD'B中，由勾股定理得：
$BD'=\sqrt{AB^2-AD'^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15$，
∴DE=D'E=BE-BD'=17-15=2。
2. 当点D'在EB延长线上时（如图②）：
同理可得△AD'E≌△ADE，AD'=AD=8，∠AD'E=∠D=90°，DE=D'E，且BE=AB=17。
在Rt△AD'B中，由勾股定理得：
$BD'=\sqrt{AB^2-AD'^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15$，
∴DE=D'E=BD'+BE=15+17=32。
综上所述，DE的长为2或32。
【答案】
2或32
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何折叠问题中的应用，解题核心是抓住折叠前后的不变量，结合勾股定理、矩形的性质进行计算，易错点是容易遗漏点D'在EB延长线上的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.6
本题为矩形中的折叠类问题，解题首先利用折叠的性质：折叠前后对应三角形全等，对应边、对应角均相等。题目要求△AD'B为直角三角形，首先分析直角位置：由AD'=AD=8＜AB=17，可知直角只能为∠AD'B=90°，接下来分两种情况讨论：①点D'在线段BE上；②点D'在EB的延长线上。两种情况均先结合折叠性质得到AD'的长度，再用勾股定理计算BD'的长度，最后结合矩形对边平行的性质推导出BE=AB，即可求出DE的长度。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点D'在线段BE上时（如图①
）：∵△ADE与△AD'E关于直线AE对称，
∴△AD'E≌△ADE，
∴∠AD'E=∠D=90°，AD'=AD=8，DE=D'E。
∵∠AD'B=90°，
∴∠AD'E+∠AD'B=180°，即B、D'、E三点共线。
∵四边形ABCD是矩形，DC//AB，
∴∠DEA=∠EAB，
由折叠性质得∠AED=∠AED'，
∴∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB=17。
在Rt△AD'B中，由勾股定理得：
$BD'=\sqrt{AB^2-AD'^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15$，
∴DE=D'E=BE-BD'=17-15=2。
2. 当点D'在EB延长线上时（如图②
）：同理可得△AD'E≌△ADE，AD'=AD=8，∠AD'E=∠D=90°，DE=D'E，且BE=AB=17。
在Rt△AD'B中，由勾股定理得：
$BD'=\sqrt{AB^2-AD'^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15$，
∴DE=D'E=BD'+BE=15+17=32。
综上所述，DE的长为2或32。
【答案】
2或32
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何折叠问题中的应用，解题核心是抓住折叠前后的不变量，结合勾股定理、矩形的性质进行计算，易错点是容易遗漏点D'在EB延长线上的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.6
11 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$△ ABC$的高$BH$、$CM$交于点$P$。
（1）求证：$PB=PC$；
（2）若$PB=5$，$PH=3$，求$AB$。
（1）求证：$PB=PC$；
（2）若$PB=5$，$PH=3$，求$AB$。
答案
(1) 因为BH、CM是$△ ABC$的高,所以$∠ BMC=∠ CHB=90°$。因为$AB=AC$,所以$∠ ABC=∠ ACB$。在$△ MBC$和$△ HCB$中,因为$\begin{cases}∠ BMC=∠ CHB,\\∠ MBC=∠ HCB,\\BC=CB,\end{cases}$所以$△ MBC ≌ △ HCB(\mathrm{AAS})$,所以$∠ MCB=∠ HBC$,所以$PB=PC$。
(2) 因为$PB=PC=5$,$PH=3$,在$\mathrm{Rt}△ PHC$中,$∠ PHC=90°$,所以$CH=\sqrt{CP^2-PH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。设$AH=x$,则$AC=AB=x+4$。在$\mathrm{Rt}△ ABH$中,$∠ AHB=90°$,所以$AB^2=AH^2+BH^2$,所以$(x+4)^2=x^2+8^2$,解得$x=6$。所以$AB=6+4=10$。
(2) 因为$PB=PC=5$,$PH=3$,在$\mathrm{Rt}△ PHC$中,$∠ PHC=90°$,所以$CH=\sqrt{CP^2-PH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。设$AH=x$,则$AC=AB=x+4$。在$\mathrm{Rt}△ ABH$中,$∠ AHB=90°$,所以$AB^2=AH^2+BH^2$,所以$(x+4)^2=x^2+8^2$,解得$x=6$。所以$AB=6+4=10$。
解析
【分析】
（1）要证明PB=PC，可通过“等角对等边”证∠PBC=∠PCB。已知AB=AC可得△ABC两底角∠ABC=∠ACB，结合BH、CM是高得到一组直角，再加公共边BC，可证△MBC和△HCB全等，得到∠MCB=∠HBC，即可推得PB=PC。
（2）由（1）的结论先得PC=PB=5，在Rt△PHC中用勾股定理算出CH的长度；再设AH=x，用含x的式子表示AC（即AB）的长度，结合BH=BP+PH=8，在Rt△ABH中利用勾股定理列方程求解x，即可算出AB的长。
【解析】
(1) 证明：
∵BH、CM是△ABC的高，
∴∠BMC=∠CHB=90°。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
在△MBC和△HCB中：
$\begin{cases}∠BMC=∠CHB \\∠MBC=∠HCB \\BC=CB\end{cases}$
∴△MBC ≌ △HCB（AAS），
∴∠MCB=∠HBC，
∴PB=PC。
(2) 解：由(1)得PB=PC=5，
在Rt△PHC中，∠PHC=90°，PH=3，
由勾股定理得：$CH=\sqrt{CP^2-PH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
设$AH=x$，则$AC=AB=AH+CH=x+4$，
又
∵$BH=BP+PH=5+3=8$，
在Rt△ABH中，∠AHB=90°，由勾股定理得：
$AB^2=AH^2+BH^2$，
代入得$(x+4)^2=x^2+8^2$，
展开得$x^2+8x+16=x^2+64$，
化简得$8x=48$，解得$x=6$，
∴$AB=6+4=10$。
【答案】
(1) PB=PC得证；
(2) $AB=10$
【知识点】
等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，第一问通过全等三角形实现角的等量转化，结合等腰三角形判定证明线段相等；第二问运用方程思想结合勾股定理求解线段长度，能有效考查对几何基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明PB=PC，可通过“等角对等边”证∠PBC=∠PCB。已知AB=AC可得△ABC两底角∠ABC=∠ACB，结合BH、CM是高得到一组直角，再加公共边BC，可证△MBC和△HCB全等，得到∠MCB=∠HBC，即可推得PB=PC。
（2）由（1）的结论先得PC=PB=5，在Rt△PHC中用勾股定理算出CH的长度；再设AH=x，用含x的式子表示AC（即AB）的长度，结合BH=BP+PH=8，在Rt△ABH中利用勾股定理列方程求解x，即可算出AB的长。
【解析】
(1) 证明：
∵BH、CM是△ABC的高，
∴∠BMC=∠CHB=90°。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
在△MBC和△HCB中：
$\begin{cases}∠BMC=∠CHB \\∠MBC=∠HCB \\BC=CB\end{cases}$
∴△MBC ≌ △HCB（AAS），
∴∠MCB=∠HBC，
∴PB=PC。
(2) 解：由(1)得PB=PC=5，
在Rt△PHC中，∠PHC=90°，PH=3，
由勾股定理得：$CH=\sqrt{CP^2-PH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
设$AH=x$，则$AC=AB=AH+CH=x+4$，
又
∵$BH=BP+PH=5+3=8$，
在Rt△ABH中，∠AHB=90°，由勾股定理得：
$AB^2=AH^2+BH^2$，
代入得$(x+4)^2=x^2+8^2$，
展开得$x^2+8x+16=x^2+64$，
化简得$8x=48$，解得$x=6$，
∴$AB=6+4=10$。
【答案】
(1) PB=PC得证；
(2) $AB=10$
【知识点】
等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，第一问通过全等三角形实现角的等量转化，结合等腰三角形判定证明线段相等；第二问运用方程思想结合勾股定理求解线段长度，能有效考查对几何基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
12 我们新定义一种三角形:两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫“可爱三角形”。
（1）根据“可爱三角形”的定义，等边三角形一定是“可爱三角形”吗？
（2）若三角形的三边长分别是4、$2\sqrt{6}$、$2\sqrt{5}$，则该三角形是“可爱三角形”吗？说明理由。
（3）若$\mathrm{Rt}△ ABC$是“可爱三角形”，$∠ C=90°$，$AC=5$。求$AB$的长。
（1）根据“可爱三角形”的定义，等边三角形一定是“可爱三角形”吗？
（2）若三角形的三边长分别是4、$2\sqrt{6}$、$2\sqrt{5}$，则该三角形是“可爱三角形”吗？说明理由。
（3）若$\mathrm{Rt}△ ABC$是“可爱三角形”，$∠ C=90°$，$AC=5$。求$AB$的长。
答案
(1) 是
(2) 是
(3) 由勾股定理可得:$AC^2+BC^2=AB^2$,由它是“可爱三角形”,可分两种情况:①$AC^2+AB^2=2BC^2$,即$AC^2+AB^2=2(AB^2-AC^2)$,解得$AB=5\sqrt{3}$(负值舍去);②$AB^2+BC^2=2AC^2$,即$AB^2+AB^2-AC^2=2AC^2$,所以$2AB^2=3AC^2$,解得$AB=\frac{5\sqrt{6}}{2}$(负值舍去)。综上所述,$AB$的长为$5\sqrt{3}$或$\frac{5\sqrt{6}}{2}$。
(2) 是
(3) 由勾股定理可得:$AC^2+BC^2=AB^2$,由它是“可爱三角形”,可分两种情况:①$AC^2+AB^2=2BC^2$,即$AC^2+AB^2=2(AB^2-AC^2)$,解得$AB=5\sqrt{3}$(负值舍去);②$AB^2+BC^2=2AC^2$,即$AB^2+AB^2-AC^2=2AC^2$,所以$2AB^2=3AC^2$,解得$AB=\frac{5\sqrt{6}}{2}$(负值舍去)。综上所述,$AB$的长为$5\sqrt{3}$或$\frac{5\sqrt{6}}{2}$。
解析
【分析】
（1）判断等边三角形是否符合“可爱三角形”定义，可设等边三角形边长为a，根据定义验证两边平方和是否等于第三边平方的2倍即可；
（2）先分别计算三个边长的平方，再验证是否存在两边平方和等于第三边平方的2倍，符合条件即为“可爱三角形”；
（3）Rt△ABC中∠C=90°，先由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2$，再结合“可爱三角形”定义分类讨论：AB是斜边，排除$AC^2+BC^2=2AB^2$的矛盾情况，仅讨论剩余两种符合实际的情况，代入关系式求解后舍去负根即可。
【解析】
（1）设等边三角形的边长为a，
则任意两边的平方和为$a^2+a^2=2a^2$，恰好等于第三边平方的2倍，满足“可爱三角形”的定义，因此等边三角形一定是“可爱三角形”。
（2）该三角形是“可爱三角形”，理由如下：
计算三边的平方：$4^2=16$，$(2\sqrt{6})^2=24$，$(2\sqrt{5})^2=20$，
可得$16+24=40=2×20$，即$4^2+(2\sqrt{6})^2=2×(2\sqrt{5})^2$，符合“可爱三角形”的定义。
（3）
∵$Rt△ABC$中$∠C=90°$，$AC=5$，
∴由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2$，即$BC^2=AB^2-25$，
结合“可爱三角形”定义分两种情况讨论：
①若$AC^2+AB^2=2BC^2$，代入$BC^2=AB^2-25$得：
$25+AB^2=2(AB^2-25)$，
化简得$AB^2=75$，解得$AB=5\sqrt{3}$（边长为正，舍去负根）；
②若$AB^2+BC^2=2AC^2$，代入$BC^2=AB^2-25$得：
$AB^2+AB^2-25=2×25$，
化简得$2AB^2=75$，解得$AB=\frac{5\sqrt{6}}{2}$（边长为正，舍去负根）；
若$AC^2+BC^2=2AB^2$，代入勾股定理可得$AB^2=2AB^2$，即$AB=0$，不符合实际，舍去。
【答案】
（1）是
（2）是
（3）$5\sqrt{3}$或$\frac{5\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
新定义理解，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题结合新定义考查三角形性质的应用，解题核心是准确理解“可爱三角形”的定义，第三问需要结合直角三角形的性质合理分类，避免漏解。
【难度系数】
0.65
（1）判断等边三角形是否符合“可爱三角形”定义，可设等边三角形边长为a，根据定义验证两边平方和是否等于第三边平方的2倍即可；
（2）先分别计算三个边长的平方，再验证是否存在两边平方和等于第三边平方的2倍，符合条件即为“可爱三角形”；
（3）Rt△ABC中∠C=90°，先由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2$，再结合“可爱三角形”定义分类讨论：AB是斜边，排除$AC^2+BC^2=2AB^2$的矛盾情况，仅讨论剩余两种符合实际的情况，代入关系式求解后舍去负根即可。
【解析】
（1）设等边三角形的边长为a，
则任意两边的平方和为$a^2+a^2=2a^2$，恰好等于第三边平方的2倍，满足“可爱三角形”的定义，因此等边三角形一定是“可爱三角形”。
（2）该三角形是“可爱三角形”，理由如下：
计算三边的平方：$4^2=16$，$(2\sqrt{6})^2=24$，$(2\sqrt{5})^2=20$，
可得$16+24=40=2×20$，即$4^2+(2\sqrt{6})^2=2×(2\sqrt{5})^2$，符合“可爱三角形”的定义。
（3）
∵$Rt△ABC$中$∠C=90°$，$AC=5$，
∴由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2$，即$BC^2=AB^2-25$，
结合“可爱三角形”定义分两种情况讨论：
①若$AC^2+AB^2=2BC^2$，代入$BC^2=AB^2-25$得：
$25+AB^2=2(AB^2-25)$，
化简得$AB^2=75$，解得$AB=5\sqrt{3}$（边长为正，舍去负根）；
②若$AB^2+BC^2=2AC^2$，代入$BC^2=AB^2-25$得：
$AB^2+AB^2-25=2×25$，
化简得$2AB^2=75$，解得$AB=\frac{5\sqrt{6}}{2}$（边长为正，舍去负根）；
若$AC^2+BC^2=2AB^2$，代入勾股定理可得$AB^2=2AB^2$，即$AB=0$，不符合实际，舍去。
【答案】
（1）是
（2）是
（3）$5\sqrt{3}$或$\frac{5\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
新定义理解，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题结合新定义考查三角形性质的应用，解题核心是准确理解“可爱三角形”的定义，第三问需要结合直角三角形的性质合理分类，避免漏解。
【难度系数】
0.65
