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13 图①、图②、图③均为$4×4$的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，按下列要求作图：
（1）在图①中，作线段$MN=\sqrt{10}$，点M、N均在格点上；
（2）在图②中，作正方形ABCD，使其面积为10，点A、B、C、D均在格点上；
（3）在图③中，作等腰直角三角形EFG，使其面积为$\frac{5}{2}$，点E、F、G均在格点上。
（1）在图①中，作线段$MN=\sqrt{10}$，点M、N均在格点上；
（2）在图②中，作正方形ABCD，使其面积为10，点A、B、C、D均在格点上；
（3）在图③中，作等腰直角三角形EFG，使其面积为$\frac{5}{2}$，点E、F、G均在格点上。
答案
(1) 如图①
,线段$MN=\sqrt{10}$。(2) 面积为10的正方形边长为$\sqrt{10}$,如图②
即为所求。(3) 等腰直角三角形EFG的直角边长为$\sqrt{5}$,如图③
即为所求。解析
【分析】
解决本题的核心是运用勾股定理，结合网格特点构造所需长度的线段：
1. 对于（1），要得到长度为$\sqrt{10}$的线段，根据勾股定理，只需找直角边长度的平方和为10的直角三角形，$1^2+3^2=10$，因此构造直角边为1和3的直角三角形，其斜边就是$\sqrt{10}$，端点取格点即可。
2. 对于（2），正方形面积为10，可得边长为$\sqrt{10}$，和（1）的线段长度一致，只需再构造3条与该线段等长、相邻线段互相垂直且端点都在格点上的线段，即可组成符合要求的正方形。
3. 对于（3），先根据等腰直角三角形面积公式计算直角边长度：由$\frac{1}{2}a^2=\frac{5}{2}$得$a^2=5$，即直角边长为$\sqrt{5}$，而$1^2+2^2=5$，因此构造两条互相垂直、长度为$\sqrt{5}$的线段作为直角边，端点均为格点，就能得到符合要求的等腰直角三角形。
【解析】
（1）根据勾股定理，若直角三角形的两条直角边长分别为1、3，则斜边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。在图①的格点中选取横向距离为1、纵向距离为3的两个格点标记为M、N，连接MN，所得线段长度即为$\sqrt{10}$。
（2）正方形面积为10，因此正方形的边长为$\sqrt{10}$。结合勾股定理，构造4条长度均为$\sqrt{10}$的线段，使相邻线段互相垂直，端点均落在格点上，依次连接四个端点得到正方形ABCD，其面积为$(\sqrt{10})^2=10$，符合要求。
（3）设等腰直角三角形的直角边长为$a$，由面积公式得：$\frac{1}{2}a^2=\frac{5}{2}$，解得$a^2=5$，即直角边长为$\sqrt{5}$。根据勾股定理，直角边为1、2的直角三角形斜边长为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，在图③中选取两条互相垂直、长度为$\sqrt{5}$的公共端点线段作为直角边，连接另外两个端点得到等腰直角三角形EFG，其面积为$\frac{5}{2}$，符合要求。
【答案】
(1) 如图①,线段$MN=\sqrt{10}$。
(2) 面积为10的正方形边长为$\sqrt{10}$,如图②即为所求。
(3) 等腰直角三角形EFG的直角边长为$\sqrt{5}$,如图③即为所求。
【知识点】
勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格作图题，将勾股定理与常见几何图形的性质结合考查，解题时先通过计算确定所需线段的长度，再利用网格的特点构造图形，能有效提升对勾股定理的应用能力和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是运用勾股定理，结合网格特点构造所需长度的线段：
1. 对于（1），要得到长度为$\sqrt{10}$的线段，根据勾股定理，只需找直角边长度的平方和为10的直角三角形，$1^2+3^2=10$，因此构造直角边为1和3的直角三角形，其斜边就是$\sqrt{10}$，端点取格点即可。
2. 对于（2），正方形面积为10，可得边长为$\sqrt{10}$，和（1）的线段长度一致，只需再构造3条与该线段等长、相邻线段互相垂直且端点都在格点上的线段，即可组成符合要求的正方形。
3. 对于（3），先根据等腰直角三角形面积公式计算直角边长度：由$\frac{1}{2}a^2=\frac{5}{2}$得$a^2=5$，即直角边长为$\sqrt{5}$，而$1^2+2^2=5$，因此构造两条互相垂直、长度为$\sqrt{5}$的线段作为直角边，端点均为格点，就能得到符合要求的等腰直角三角形。
【解析】
（1）根据勾股定理，若直角三角形的两条直角边长分别为1、3，则斜边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。在图①的格点中选取横向距离为1、纵向距离为3的两个格点标记为M、N，连接MN，所得线段长度即为$\sqrt{10}$。
（2）正方形面积为10，因此正方形的边长为$\sqrt{10}$。结合勾股定理，构造4条长度均为$\sqrt{10}$的线段，使相邻线段互相垂直，端点均落在格点上，依次连接四个端点得到正方形ABCD，其面积为$(\sqrt{10})^2=10$，符合要求。
（3）设等腰直角三角形的直角边长为$a$，由面积公式得：$\frac{1}{2}a^2=\frac{5}{2}$，解得$a^2=5$，即直角边长为$\sqrt{5}$。根据勾股定理，直角边为1、2的直角三角形斜边长为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，在图③中选取两条互相垂直、长度为$\sqrt{5}$的公共端点线段作为直角边，连接另外两个端点得到等腰直角三角形EFG，其面积为$\frac{5}{2}$，符合要求。
【答案】
(1) 如图①
,线段$MN=\sqrt{10}$。(2) 面积为10的正方形边长为$\sqrt{10}$,如图②
即为所求。(3) 等腰直角三角形EFG的直角边长为$\sqrt{5}$,如图③
即为所求。【知识点】
勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格作图题，将勾股定理与常见几何图形的性质结合考查，解题时先通过计算确定所需线段的长度，再利用网格的特点构造图形，能有效提升对勾股定理的应用能力和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
14 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,求 BC:AC:AB。
第14题图
第14题图答案
在AB上取中点D,连接CD。因为$∠ ACB=90°$,D是AB的中点,所以$CD=BD=\frac{1}{2}AB$。因为$∠ A=30°$,所以$∠ B=90°-∠ A=60°$,所以$△ CDB$是等边三角形,所以$BC=BD=\frac{1}{2}AB$。设$BC=x$,则$AB=2x$。在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$∠ ACB=90°$,所以$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4x^2-x^2}=\sqrt{3}x$,所以$BC:AC:AB=1:\sqrt{3}:2$。
解析
【分析】
要求Rt△ABC的三边比值，我们可以先结合直角三角形的性质推导BC与AB的数量关系，再利用勾股定理求出AC的长度表达式，最后化简得到三边的比值。首先，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合∠A=30°可推出∠B=60°，进而得到等边三角形，得出$BC=\frac{1}{2}AB$；再设BC的长度为x，即可表示出AB的长度，代入勾股定理求出AC的长度，最后作比消去参数x即可。
【解析】
在AB上取中点D，连接CD。
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴$CD=BD=\frac{1}{2}AB$。
∵∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=60°，
∴△CDB是等边三角形，
∴$BC=BD=\frac{1}{2}AB$。
设$BC=x$，则$AB=2x$。
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{4x^2-x^2}=\sqrt{3}x$，
∴$BC:AC:AB=x:\sqrt{3}x:2x=1:\sqrt{3}:2$。
【答案】
$1:\sqrt{3}:2$
【知识点】
直角三角形的性质；勾股定理；等边三角形的判定
【点评】
本题属于特殊直角三角形边长关系的基础推导题，解题核心是结合直角三角形的角度、线段性质与勾股定理进行推导，熟练掌握该三边比值可以大幅提升含30°角直角三角形相关计算的解题效率。
【难度系数】
0.7
要求Rt△ABC的三边比值，我们可以先结合直角三角形的性质推导BC与AB的数量关系，再利用勾股定理求出AC的长度表达式，最后化简得到三边的比值。首先，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合∠A=30°可推出∠B=60°，进而得到等边三角形，得出$BC=\frac{1}{2}AB$；再设BC的长度为x，即可表示出AB的长度，代入勾股定理求出AC的长度，最后作比消去参数x即可。
【解析】
在AB上取中点D，连接CD。
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴$CD=BD=\frac{1}{2}AB$。
∵∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=60°，
∴△CDB是等边三角形，
∴$BC=BD=\frac{1}{2}AB$。
设$BC=x$，则$AB=2x$。
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{4x^2-x^2}=\sqrt{3}x$，
∴$BC:AC:AB=x:\sqrt{3}x:2x=1:\sqrt{3}:2$。
【答案】
$1:\sqrt{3}:2$
【知识点】
直角三角形的性质；勾股定理；等边三角形的判定
【点评】
本题属于特殊直角三角形边长关系的基础推导题，解题核心是结合直角三角形的角度、线段性质与勾股定理进行推导，熟练掌握该三边比值可以大幅提升含30°角直角三角形相关计算的解题效率。
【难度系数】
0.7
