登录
1 在$△ ABC$中，若$AC=b$，$AB=c$，$BC=a$，则下列条件中，不能判定$△ ABC$是直角三角形的是（
A.$a^2 = c^2 - b^2$
B.$∠ B - ∠ C = ∠ A$
C.$a=1, b=\sqrt{3}, c=4$
D.$∠ B = 45°, ∠ C = 45°$
C
）。A.$a^2 = c^2 - b^2$
B.$∠ B - ∠ C = ∠ A$
C.$a=1, b=\sqrt{3}, c=4$
D.$∠ B = 45°, ∠ C = 45°$
答案
1 C
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，可从两个角度入手：①利用三角形内角和定理验证是否存在90°的内角；②利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。我们逐个分析四个选项，找出不能判定为直角三角形的选项即可。
【解析】
我们逐一判断各选项：
选项A：已知$a^2 = c^2 - b^2$，移项可得$a^2 + b^2 = c^2$，符合勾股定理的逆定理，可判定△ABC是直角三角形。
选项B：已知$∠B - ∠C = ∠A$，整理得$∠B = ∠A + ∠C$。根据三角形内角和为$180°$，即$∠A + ∠B + ∠C = 180°$，将$∠B = ∠A + ∠C$代入得$2∠B = 180°$，解得$∠B=90°$，可判定△ABC是直角三角形。
选项C：三条边中最长边为$c=4$，计算两条短边的平方和：$a^2 + b^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$，而最长边的平方$c^2 = 4^2 = 16$，$4≠16$，不满足勾股定理的逆定理，无法判定△ABC是直角三角形。
选项D：已知$∠B=45°$，$∠C=45°$，根据三角形内角和得$∠A = 180° - 45° - 45° = 90°$，可判定△ABC是直角三角形。
综上，只有选项C不能判定△ABC为直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理
【点评】
本题考查直角三角形的两类判定方法，既可以通过角的数量关系推导是否有直角，也可以通过边的平方关系利用勾股定理逆定理判断，应用勾股定理逆定理时要注意先确定最长边再计算验证，避免出错。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC是否为直角三角形，可从两个角度入手：①利用三角形内角和定理验证是否存在90°的内角；②利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。我们逐个分析四个选项，找出不能判定为直角三角形的选项即可。
【解析】
我们逐一判断各选项：
选项A：已知$a^2 = c^2 - b^2$，移项可得$a^2 + b^2 = c^2$，符合勾股定理的逆定理，可判定△ABC是直角三角形。
选项B：已知$∠B - ∠C = ∠A$，整理得$∠B = ∠A + ∠C$。根据三角形内角和为$180°$，即$∠A + ∠B + ∠C = 180°$，将$∠B = ∠A + ∠C$代入得$2∠B = 180°$，解得$∠B=90°$，可判定△ABC是直角三角形。
选项C：三条边中最长边为$c=4$，计算两条短边的平方和：$a^2 + b^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$，而最长边的平方$c^2 = 4^2 = 16$，$4≠16$，不满足勾股定理的逆定理，无法判定△ABC是直角三角形。
选项D：已知$∠B=45°$，$∠C=45°$，根据三角形内角和得$∠A = 180° - 45° - 45° = 90°$，可判定△ABC是直角三角形。
综上，只有选项C不能判定△ABC为直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理
【点评】
本题考查直角三角形的两类判定方法，既可以通过角的数量关系推导是否有直角，也可以通过边的平方关系利用勾股定理逆定理判断，应用勾股定理逆定理时要注意先确定最长边再计算验证，避免出错。
【难度系数】
0.8
2 下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，能构成直角三角形的有（
①1.5、2.5、2；②$\sqrt{2}$、$\sqrt{2}$、2；③12、16、20；④0.5、1.2、1.3。
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
D
）。①1.5、2.5、2；②$\sqrt{2}$、$\sqrt{2}$、2；③12、16、20；④0.5、1.2、1.3。
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
答案
2 D
解析
【分析】
本题考查勾股定理逆定理的应用，判断三边能否构成直角三角形的思路为：第一步先找出每组中的最长边，第二步分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方，第三步对比两个结果，若相等则能构成直角三角形，反之则不能，只需依次对4组数据逐一验证即可。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形三边$a、b、c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形，逐一验证：
① 最长边为2.5，计算得：$1.5^2+2^2=2.25+4=6.25$，$2.5^2=6.25$，满足$1.5^2+2^2=2.5^2$，能构成直角三角形；
② 最长边为2，计算得：$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=2+2=4$，$2^2=4$，满足$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=2^2$，能构成直角三角形；
③ 最长边为20，计算得：$12^2+16^2=144+256=400$，$20^2=400$，满足$12^2+16^2=20^2$，能构成直角三角形；
④ 最长边为1.3，计算得：$0.5^2+1.2^2=0.25+1.44=1.69$，$1.3^2=1.69$，满足$0.5^2+1.2^2=1.3^2$，能构成直角三角形。
综上，4组都能构成直角三角形，故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理、平方运算
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心是掌握勾股定理逆定理的判定规则，解题时注意先确定最长边再验证平方关系，计算小数、带根号的数的平方时要仔细，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
本题考查勾股定理逆定理的应用，判断三边能否构成直角三角形的思路为：第一步先找出每组中的最长边，第二步分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方，第三步对比两个结果，若相等则能构成直角三角形，反之则不能，只需依次对4组数据逐一验证即可。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形三边$a、b、c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形，逐一验证：
① 最长边为2.5，计算得：$1.5^2+2^2=2.25+4=6.25$，$2.5^2=6.25$，满足$1.5^2+2^2=2.5^2$，能构成直角三角形；
② 最长边为2，计算得：$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=2+2=4$，$2^2=4$，满足$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=2^2$，能构成直角三角形；
③ 最长边为20，计算得：$12^2+16^2=144+256=400$，$20^2=400$，满足$12^2+16^2=20^2$，能构成直角三角形；
④ 最长边为1.3，计算得：$0.5^2+1.2^2=0.25+1.44=1.69$，$1.3^2=1.69$，满足$0.5^2+1.2^2=1.3^2$，能构成直角三角形。
综上，4组都能构成直角三角形，故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理、平方运算
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心是掌握勾股定理逆定理的判定规则，解题时注意先确定最长边再验证平方关系，计算小数、带根号的数的平方时要仔细，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
3 如图，在$5×7$的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，AD为$△ ABC$的中线，则AD的长为（
A.$\frac{5\sqrt{2}}{4}$
B.$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{5\sqrt{10}}{4}$
D.$\frac{5\sqrt{10}}{2}$
B
）。A.$\frac{5\sqrt{2}}{4}$
B.$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{5\sqrt{10}}{4}$
D.$\frac{5\sqrt{10}}{2}$
答案
3 B
解析
【分析】
要求中线AD的长，首先可借助网格用勾股定理计算△ABC三边的长度，再通过勾股定理的逆定理判断△ABC的形状。若能判定△ABC为直角三角形，即可利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质直接求出AD的长度，无需额外计算中点坐标，解题更简便。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算△ABC三边的平方：
1. 计算AB²：点A到点B的横向距离为6，纵向距离为2，因此$AB^2=6^2+2^2=36+4=40$；
2. 计算AC²：点A到点C的横向距离为1，纵向距离为3，因此$AC^2=1^2+3^2=1+9=10$；
3. 计算BC²：点B到点C的横向距离为7，纵向距离为1，因此$BC^2=7^2+1^2=49+1=50$。
由$AB^2+AC^2=40+10=50=BC^2$，根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形，且$∠ BAC=90°$，BC为斜边。
因为AD是△ABC的中线，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此：
$AD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×\sqrt{50}=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题结合网格考查勾股定理相关知识的应用，解题时优先判断三角形形状可简化计算，能有效考查学生对勾股定理逆定理和直角三角形性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要求中线AD的长，首先可借助网格用勾股定理计算△ABC三边的长度，再通过勾股定理的逆定理判断△ABC的形状。若能判定△ABC为直角三角形，即可利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质直接求出AD的长度，无需额外计算中点坐标，解题更简便。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算△ABC三边的平方：
1. 计算AB²：点A到点B的横向距离为6，纵向距离为2，因此$AB^2=6^2+2^2=36+4=40$；
2. 计算AC²：点A到点C的横向距离为1，纵向距离为3，因此$AC^2=1^2+3^2=1+9=10$；
3. 计算BC²：点B到点C的横向距离为7，纵向距离为1，因此$BC^2=7^2+1^2=49+1=50$。
由$AB^2+AC^2=40+10=50=BC^2$，根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形，且$∠ BAC=90°$，BC为斜边。
因为AD是△ABC的中线，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此：
$AD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×\sqrt{50}=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题结合网格考查勾股定理相关知识的应用，解题时优先判断三角形形状可简化计算，能有效考查学生对勾股定理逆定理和直角三角形性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
④如果一个直角三角形的三边长是三个连续偶数，那么这个三角形斜边上的高为
$\frac{24}{5}$
。答案
4 $\frac{24}{5}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按照以下思路思考：
1. 先明确连续偶数的特征：相邻两个偶数相差2，且直角三角形中斜边为最长边；
2. 设最短的边长为x，用含x的式子表示另外两条边，再根据勾股定理列方程求出三边长，注意舍去不符合实际意义的负根；
3. 最后利用直角三角形面积的两种计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），通过面积相等求出斜边上的高。
【解析】
设这个直角三角形的三边长分别为$ x $、$ x+2 $、$ x+4 $（$ x $为正偶数），因为斜边是最长边，所以斜边长为$ x+4 $，两直角边长分别为$ x $和$ x+2 $。
根据勾股定理可得：
$x^2 + (x+2)^2 = (x+4)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + x^2 + 4x + 4 = x^2 + 8x + 16$
$x^2 - 4x - 12 = 0$
因式分解得：
$(x-6)(x+2) = 0$
解得$ x=6 $或$ x=-2 $，因为边长为正数，所以舍去$ x=-2 $。
因此三角形的三边长分别为$ 6 $、$ 8 $、$ 10 $，斜边长为$ 10 $。
设斜边上的高为$ h $，根据直角三角形面积相等可得：
$\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × h$
解得：
$h = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
勾股定理，一元二次方程求解，面积法求高
【点评】
本题结合连续偶数的性质考查勾股定理的应用，解题时要注意先确定斜边为最长边，求出边长后舍去不符合实际意义的负根，再用面积法快速求出斜边上的高，是勾股定理的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按照以下思路思考：
1. 先明确连续偶数的特征：相邻两个偶数相差2，且直角三角形中斜边为最长边；
2. 设最短的边长为x，用含x的式子表示另外两条边，再根据勾股定理列方程求出三边长，注意舍去不符合实际意义的负根；
3. 最后利用直角三角形面积的两种计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），通过面积相等求出斜边上的高。
【解析】
设这个直角三角形的三边长分别为$ x $、$ x+2 $、$ x+4 $（$ x $为正偶数），因为斜边是最长边，所以斜边长为$ x+4 $，两直角边长分别为$ x $和$ x+2 $。
根据勾股定理可得：
$x^2 + (x+2)^2 = (x+4)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + x^2 + 4x + 4 = x^2 + 8x + 16$
$x^2 - 4x - 12 = 0$
因式分解得：
$(x-6)(x+2) = 0$
解得$ x=6 $或$ x=-2 $，因为边长为正数，所以舍去$ x=-2 $。
因此三角形的三边长分别为$ 6 $、$ 8 $、$ 10 $，斜边长为$ 10 $。
设斜边上的高为$ h $，根据直角三角形面积相等可得：
$\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × h$
解得：
$h = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
勾股定理，一元二次方程求解，面积法求高
【点评】
本题结合连续偶数的性质考查勾股定理的应用，解题时要注意先确定斜边为最长边，求出边长后舍去不符合实际意义的负根，再用面积法快速求出斜边上的高，是勾股定理的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
$\sqrt{17}$，$∠ ADC = 90°$，那么四边形ABCD的面积为
$30+\sqrt{34}$
。答案
5 $30+\sqrt{34}$
解析
【分析】
求不规则四边形的面积通常采用分割法，本题可连接辅助线AC，将四边形ABCD分割为△ADC和△ABC两个三角形。首先在已知的Rt△ADC中，利用勾股定理求出斜边AC的长度；再通过勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形，若为直角三角形，分别计算两个三角形的面积后相加，即可得到四边形的总面积。
【解析】
连接AC：
1. 在Rt△ADC中，∠ADC=90°，由勾股定理可得：$ AC^2 = AD^2 + CD^2 $，代入对应边长得$ AC=\sqrt{34} $，则$ S_{△ ADC}=\sqrt{34} $；
2. 对△ABC，结合已知边长验证得$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $，由勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，且直角位于点C，因此$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 5 × 12=30 $；
3. 四边形ABCD的面积为两个三角形面积之和，即$ S_{ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=30+\sqrt{34} $。
【答案】
$ 30+\sqrt{34} $
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的典型应用题型，核心解题思路是通过构造辅助线将不规则图形转化为可直接计算面积的直角三角形，需熟练掌握勾股定理及逆定理的适用条件，灵活运用割补法处理不规则图形的面积计算问题。
【难度系数】
0.65
求不规则四边形的面积通常采用分割法，本题可连接辅助线AC，将四边形ABCD分割为△ADC和△ABC两个三角形。首先在已知的Rt△ADC中，利用勾股定理求出斜边AC的长度；再通过勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形，若为直角三角形，分别计算两个三角形的面积后相加，即可得到四边形的总面积。
【解析】
连接AC：
1. 在Rt△ADC中，∠ADC=90°，由勾股定理可得：$ AC^2 = AD^2 + CD^2 $，代入对应边长得$ AC=\sqrt{34} $，则$ S_{△ ADC}=\sqrt{34} $；
2. 对△ABC，结合已知边长验证得$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $，由勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，且直角位于点C，因此$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 5 × 12=30 $；
3. 四边形ABCD的面积为两个三角形面积之和，即$ S_{ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=30+\sqrt{34} $。
【答案】
$ 30+\sqrt{34} $
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的典型应用题型，核心解题思路是通过构造辅助线将不规则图形转化为可直接计算面积的直角三角形，需熟练掌握勾股定理及逆定理的适用条件，灵活运用割补法处理不规则图形的面积计算问题。
【难度系数】
0.65
6 已知a、b、c是△ABC的三条边长，若关于x的方程$(a+b)x^2 - 2cx - (a - b) = 0$有两个相等的实数根，则△ABC的形状一定是
直角三角形
。答案
6 直角三角形
解析
【分析】
已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，首先回忆一元二次方程根的判别式的性质：当Δ=0时方程有两个相等的实数根。我们先确定方程对应的各项系数，代入判别式公式得到关于a、b、c的等式，化简等式得到三边的数量关系，最后用勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状。
【解析】
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta=B^2-4AC=0$。
本题中方程$(a+b)x^2 - 2cx - (a - b) = 0$的二次项系数$A=a+b$，一次项系数$B=-2c$，常数项$C=-(a-b)$，且$a、b$是三角形边长，故$a+b＞0$，方程为一元二次方程。
将系数代入判别式得：
$\Delta=(-2c)^2 - 4×(a+b)×[-(a-b)] = 0$
化简得：
$4c^2 + 4(a+b)(a-b) = 0$
两边同时除以4，结合平方差公式得：
$c^2 + a^2 - b^2 = 0$，即$a^2 + c^2 = b^2$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
一元二次方程根的判别式，平方差公式，勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于方程与几何的综合基础题，将一元二次方程根的情况和三角形边长关系结合，核心是熟练运用判别式建立边长的等式，再结合勾股定理逆定理判断形状，掌握基础知识点即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，首先回忆一元二次方程根的判别式的性质：当Δ=0时方程有两个相等的实数根。我们先确定方程对应的各项系数，代入判别式公式得到关于a、b、c的等式，化简等式得到三边的数量关系，最后用勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状。
【解析】
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta=B^2-4AC=0$。
本题中方程$(a+b)x^2 - 2cx - (a - b) = 0$的二次项系数$A=a+b$，一次项系数$B=-2c$，常数项$C=-(a-b)$，且$a、b$是三角形边长，故$a+b＞0$，方程为一元二次方程。
将系数代入判别式得：
$\Delta=(-2c)^2 - 4×(a+b)×[-(a-b)] = 0$
化简得：
$4c^2 + 4(a+b)(a-b) = 0$
两边同时除以4，结合平方差公式得：
$c^2 + a^2 - b^2 = 0$，即$a^2 + c^2 = b^2$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
一元二次方程根的判别式，平方差公式，勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于方程与几何的综合基础题，将一元二次方程根的情况和三角形边长关系结合，核心是熟练运用判别式建立边长的等式，再结合勾股定理逆定理判断形状，掌握基础知识点即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
7 如图，在$△ ABC$中，$AC=8$，$BC=6$，$AB=10$，$D$为$BC$延长线上一点，$BE ⊥ AD$。若$CD=6$，则$BE$的长为
$\frac{48}{5}$
。答案
7 $\frac{48}{5}$
解析
【分析】
首先根据△ABC的三边长，利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，得到AC垂直于BD；接下来在Rt△ACD中利用勾股定理求出AD的长度；最后通过两种方式计算△ABD的面积，建立等量关系即可求出BE的长度。
【解析】
1. 判定△ABC为直角三角形：
已知$AC=8$，$BC=6$，$AB=10$，
则$BC^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得$∠ ACB = 90°$，即$AC ⊥ BD$。
2. 求AD的长度：
因为D在BC延长线上，所以$∠ ACD = 90°$，又$CD=6$，
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD^2 = AC^2 + CD^2 = 8^2 + 6^2 = 100$，所以$AD=10$。
3. 用面积法求BE：
$△ ABD$的面积有两种计算方式：
方式1：以BD为底，AC为高，$BD = BC + CD = 6 + 6 = 12$，
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × BD × AC = \frac{1}{2} × 12 × 8 = 48$。
方式2：以AD为底，BE为高，
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AD × BE = \frac{1}{2} × 10 × BE = 5BE$。
因为两种方式计算的面积相等，所以$5BE = 48$，解得$BE = \frac{48}{5}$。
【答案】
$\frac{48}{5}$
【知识点】
勾股定理逆定理，勾股定理，面积法求线段长
【点评】
本题是几何求线段长度的典型题，解题的突破口是先利用勾股定理逆定理判定直角，再灵活运用等面积法建立等式，既考查了基础定理的应用，也体现了转化思想在几何计算中的作用。
【难度系数】
0.7
首先根据△ABC的三边长，利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，得到AC垂直于BD；接下来在Rt△ACD中利用勾股定理求出AD的长度；最后通过两种方式计算△ABD的面积，建立等量关系即可求出BE的长度。
【解析】
1. 判定△ABC为直角三角形：
已知$AC=8$，$BC=6$，$AB=10$，
则$BC^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得$∠ ACB = 90°$，即$AC ⊥ BD$。
2. 求AD的长度：
因为D在BC延长线上，所以$∠ ACD = 90°$，又$CD=6$，
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD^2 = AC^2 + CD^2 = 8^2 + 6^2 = 100$，所以$AD=10$。
3. 用面积法求BE：
$△ ABD$的面积有两种计算方式：
方式1：以BD为底，AC为高，$BD = BC + CD = 6 + 6 = 12$，
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × BD × AC = \frac{1}{2} × 12 × 8 = 48$。
方式2：以AD为底，BE为高，
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AD × BE = \frac{1}{2} × 10 × BE = 5BE$。
因为两种方式计算的面积相等，所以$5BE = 48$，解得$BE = \frac{48}{5}$。
【答案】
$\frac{48}{5}$
【知识点】
勾股定理逆定理，勾股定理，面积法求线段长
【点评】
本题是几何求线段长度的典型题，解题的突破口是先利用勾股定理逆定理判定直角，再灵活运用等面积法建立等式，既考查了基础定理的应用，也体现了转化思想在几何计算中的作用。
【难度系数】
0.7
8 如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$AC=13$，$BC$边上的中线$AD=6$，则$△ ABD$的面积是
15
。答案
8 15 [提示:倍长中线,延长AD至点E,使AD=DE,连接CE。可得△BAD≌△CED,所以AD=DE=6,CE=AB=5,AE=6+6=12。因为$AE^2+EC^2=12^2+5^2=169$,$AC^2=13^2=169$,所以$AC^2=AE^2+EC^2$,所以$∠AEC=90°$,所以$∠BAD=90°$,所以$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·AD=\frac{1}{2}×5×6=15$。]
解析
【分析】
遇到三角形中线的问题，可优先考虑倍长中线的辅助线构造方法：延长中线至两倍长度，构造全等三角形，将分散的已知边（AB、AD、AC）转化到同一个三角形中，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，最后计算目标三角形的面积。
【解析】
延长AD至点E，使DE=AD，连接CE。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ABD和△ECD中：
$\{\begin{array}{l} BD=CD\\ ∠ ADB=∠ EDC\\ AD=ED\end{array} $
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB=5，∠BAD=∠E，AE=AD+DE=6+6=12。
在△AEC中，$AE^2+CE^2=12^2+5^2=144+25=169$，$AC^2=13^2=169$，
∴$AE^2+CE^2=AC^2$，
由勾股定理的逆定理可得△AEC是直角三角形，且∠E=90°，
∴∠BAD=∠E=90°，即△ABD是直角三角形，直角顶点为A。
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× AD=\frac{1}{2}×5×6=15$。
【答案】
15
【知识点】
倍长中线法；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是三角形中线相关计算的典型题型，通过倍长中线构造全等三角形实现边的转移，将分散的条件集中到同一三角形中，再结合勾股定理的逆定理判断直角，进而求解面积，掌握常见辅助线的构造方法是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.6
遇到三角形中线的问题，可优先考虑倍长中线的辅助线构造方法：延长中线至两倍长度，构造全等三角形，将分散的已知边（AB、AD、AC）转化到同一个三角形中，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，最后计算目标三角形的面积。
【解析】
延长AD至点E，使DE=AD，连接CE。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ABD和△ECD中：
$\{\begin{array}{l} BD=CD\\ ∠ ADB=∠ EDC\\ AD=ED\end{array} $
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB=5，∠BAD=∠E，AE=AD+DE=6+6=12。
在△AEC中，$AE^2+CE^2=12^2+5^2=144+25=169$，$AC^2=13^2=169$，
∴$AE^2+CE^2=AC^2$，
由勾股定理的逆定理可得△AEC是直角三角形，且∠E=90°，
∴∠BAD=∠E=90°，即△ABD是直角三角形，直角顶点为A。
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× AD=\frac{1}{2}×5×6=15$。
【答案】
15
【知识点】
倍长中线法；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是三角形中线相关计算的典型题型，通过倍长中线构造全等三角形实现边的转移，将分散的条件集中到同一三角形中，再结合勾股定理的逆定理判断直角，进而求解面积，掌握常见辅助线的构造方法是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.6
9 如图，P是正方形ABCD内一点，且$PA=1$，$PB=\sqrt{2}$，$PC=\sqrt{5}$，以B为旋转中心，将$△ ABP$按顺时针方向旋转至$△ CBE$，AB边与CB边重合，则正方形ABCD的面积为
5
。答案
9 5 [提示:因为$∠ABP=∠CBE$,且$∠ABC=90°$,所以$∠ABC=∠ABP+∠CBP=∠CBP+∠CBE=∠PBE=90°$。又因为$BP=BE$,所以$△BPE$是等腰直角三角形,所以$∠BEP=∠BPE=45°$。因为$PB=\sqrt{2}$,所以$PE=\sqrt{BP^2+BE^2}=2$。因为$CE=AP=1$,$PC=\sqrt{5}$,所以$CE^2+PE^2=PC^2$,所以$∠PEC=90°$,所以$∠BEC=∠APB=∠BEP+∠PEC=135°$,所以$∠APE=∠APB+∠BPE=180°$,所以A、P、E三点在同一直线上。如图,过点B作$BF ⊥ PE$,所以$BF=PF=\frac{1}{2}PE=1$,所以$AF=AP+PF=2$,所以$AB^2=BF^2+AF^2=5$,所以正方形ABCD的面积为5。]
解析
【分析】
解题时先利用旋转的性质得到对应边、对应角相等，结合正方形的内角为90°推导出△PBE是等腰直角三角形，求出PE的长度；再通过勾股定理的逆定理判断△PEC是直角三角形，得到∠BEC的度数，进而推出A、P、E三点共线；最后作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出AB的平方，也就是正方形的面积。
【解析】
解：由旋转的性质可得$△ ABP ≌ △ CBE$，
$\therefore AP=CE=1$，$BP=BE=\sqrt{2}$，$∠ ABP=∠ CBE$，$∠ APB=∠ CEB$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$\therefore ∠ ABC=90°$，即$∠ ABP+∠ PBC=90°$，
$\therefore ∠ CBE+∠ PBC=∠ PBE=90°$，即$△ PBE$是等腰直角三角形，
$\therefore PE=\sqrt{BP^2+BE^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，$∠ BPE=∠ BEP=45°$。
在$△ PEC$中，$CE=1$，$PE=2$，$PC=\sqrt{5}$，
$\because CE^2+PE^2=1^2+2^2=5$，$PC^2=(\sqrt{5})^2=5$，
$\therefore CE^2+PE^2=PC^2$，由勾股定理的逆定理得$∠ PEC=90°$，
$\therefore ∠ BEC=∠ BEP+∠ PEC=45°+90°=135°$，
$\therefore ∠ APB=∠ BEC=135°$，
$\therefore ∠ APB+∠ BPE=135°+45°=180°$，即$A$、$P$、$E$三点共线。
过点$B$作$BF ⊥ PE$于点$F$，
$\because △ PBE$是等腰直角三角形，$\therefore BF$是斜边$PE$的中线，
$\therefore BF=PF=\frac{1}{2}PE=1$，
$\therefore AF=AP+PF=1+1=2$，
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB^2=AF^2+BF^2=2^2+1^2=5$，
$\therefore$ 正方形$ABCD$的面积为$AB^2=5$。
【答案】
5
【知识点】
旋转的性质；勾股定理及逆定理；正方形的性质
【点评】
本题是几何综合类题型，核心是通过旋转构造全等三角形和特殊直角三角形，将分散的线段条件集中到同一个三角形中，结合勾股定理及其逆定理完成边长的推导，对几何图形的转化思想有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先利用旋转的性质得到对应边、对应角相等，结合正方形的内角为90°推导出△PBE是等腰直角三角形，求出PE的长度；再通过勾股定理的逆定理判断△PEC是直角三角形，得到∠BEC的度数，进而推出A、P、E三点共线；最后作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出AB的平方，也就是正方形的面积。
【解析】
解：由旋转的性质可得$△ ABP ≌ △ CBE$，
$\therefore AP=CE=1$，$BP=BE=\sqrt{2}$，$∠ ABP=∠ CBE$，$∠ APB=∠ CEB$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$\therefore ∠ ABC=90°$，即$∠ ABP+∠ PBC=90°$，
$\therefore ∠ CBE+∠ PBC=∠ PBE=90°$，即$△ PBE$是等腰直角三角形，
$\therefore PE=\sqrt{BP^2+BE^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，$∠ BPE=∠ BEP=45°$。
在$△ PEC$中，$CE=1$，$PE=2$，$PC=\sqrt{5}$，
$\because CE^2+PE^2=1^2+2^2=5$，$PC^2=(\sqrt{5})^2=5$，
$\therefore CE^2+PE^2=PC^2$，由勾股定理的逆定理得$∠ PEC=90°$，
$\therefore ∠ BEC=∠ BEP+∠ PEC=45°+90°=135°$，
$\therefore ∠ APB=∠ BEC=135°$，
$\therefore ∠ APB+∠ BPE=135°+45°=180°$，即$A$、$P$、$E$三点共线。
过点$B$作$BF ⊥ PE$于点$F$，
$\because △ PBE$是等腰直角三角形，$\therefore BF$是斜边$PE$的中线，
$\therefore BF=PF=\frac{1}{2}PE=1$，
$\therefore AF=AP+PF=1+1=2$，
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB^2=AF^2+BF^2=2^2+1^2=5$，
$\therefore$ 正方形$ABCD$的面积为$AB^2=5$。
【答案】
5
【知识点】
旋转的性质；勾股定理及逆定理；正方形的性质
【点评】
本题是几何综合类题型，核心是通过旋转构造全等三角形和特殊直角三角形，将分散的线段条件集中到同一个三角形中，结合勾股定理及其逆定理完成边长的推导，对几何图形的转化思想有一定要求。
【难度系数】
0.6
