⑩ 在三角形ABC中，$AB=2\sqrt{5}$，$AC=4$，$BC=2$，以AB为边作等腰直角三角形ABD，点D与点C在直线AB的两侧，则$CD=$。

10 $2\sqrt{10}或2\sqrt{13}或3\sqrt{2}$ [提示:共有3种情况。因为$AC=4$,$BC=2$,$AB=2\sqrt{5}$,所以$AC^2+BC^2=AB^2$,所以$△ACB$为直角三角形,$∠ACB=90°$。如图①,过点D作$DE ⊥ CB$,交CB的延长线于点E。因为$DE ⊥ CB$,所以$∠BED=∠ACB=90°$,所以$∠CAB+∠CBA=90°$,因为$△ABD$为等腰直角三角形,所以$AB=BD$,$∠ABD=90°$,所以$∠CBA+∠DBE=90°$,所以$∠CAB=∠EBD$,所以$△ACB ≅ △BED$,所以$BE=AC=4$,$DE=CB=2$。在$Rt△CED$中,$CD=\sqrt{CE^2+ED^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$。如图②,过点D作$DE ⊥ CA$,交CA的延长线于点E。同理可得$△ACB ≅ △DEA$,所以$DE=AC=4$,$AE=BC=2$。在$Rt△ECD$中,$CD=\sqrt{DE^2+EC^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$。如图③,过点D作$DE ⊥ CB$,交CB的延长线于点E,过点A作$AF ⊥ DE$,交ED的延长线于点F。同理可得$△AFD ≅ △DEB$,所以$ED=AF$,$DF=BE$。设$DF=BE=x$,则$EC=2+x$,$AF=DE=4-x$,所以$2+x=4-x$,解得$x=1$。所以$EC=DE=3$,所以$CD=3\sqrt{2}$。综上所述,$CD=2\sqrt{10}$或$2\sqrt{13}$或$3\sqrt{2}$。]

【分析】
首先根据△ABC的三边长度，利用勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形，∠ACB=90°；由于等腰直角三角形ABD的直角顶点未明确，需分三类讨论：①B为直角顶点，AB为直角边；②A为直角顶点，AB为直角边；③D为直角顶点，AB为斜边。每类情况通过作垂线构造全等三角形，将已知边长转化到含CD的直角三角形中，最后用勾股定理计算CD长度即可。
【解析】
首先判断△ABC的形状：
∵AC=4，BC=2，AB=2√5，
∴AC²+BC²=4²+2²=20，AB²=(2√5)²=20，
∴AC²+BC²=AB²，即△ACB是直角三角形，∠ACB=90°。
分三种情况计算CD：
情况1：如图①，AB为等腰直角△ABD的直角边，点B为直角顶点，AB=BD，∠ABD=90°。
过点D作DE⊥CB，交CB的延长线于点E，则∠BED=∠ACB=90°。
∵∠CAB+∠CBA=90°，∠CBA+∠DBE=180°-∠ABD=90°，
∴∠CAB=∠EBD。
在△ACB和△BED中：
$\{\begin{array}{l}∠ ACB=∠ BED\\ ∠ CAB=∠ EBD\\ AB=BD\end{array} $
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BE=AC=4，DE=BC=2，
∴CE=CB+BE=2+4=6，
在Rt△CED中，由勾股定理得：$CD=\sqrt{CE^2+DE^2}=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
情况2：如图②，AB为等腰直角△ABD的直角边，点A为直角顶点，AB=AD，∠BAD=90°。
过点D作DE⊥CA，交CA的延长线于点E，则∠DEA=∠ACB=90°。
∵∠CAB+∠CBA=90°，∠CAB+∠DAE=180°-∠BAD=90°，
∴∠CBA=∠DAE。
在△ACB和△DEA中：
$\{\begin{array}{l}∠ ACB=∠ DEA\\ ∠ CBA=∠ DAE\\ AB=AD\end{array} $
∴△ACB≌△DEA（AAS），
∴AE=BC=2，DE=AC=4，
∴CE=AC+AE=4+2=6，
在Rt△ECD中，由勾股定理得：$CD=\sqrt{CE^2+DE^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
情况3：如图③，AB为等腰直角△ABD的斜边，点D为直角顶点，AD=BD，∠ADB=90°。
过点D作DE⊥CB，交CB的延长线于点E，过点A作AF⊥DE，交ED的延长线于点F，则∠F=∠E=∠ACB=90°，可得AF//CE，AC//FE，因此AF=CE，AC=FE=4。
∵∠ADF+∠BDE=90°，∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠BDE。
在△AFD和△DEB中：
$\{\begin{array}{l}∠ F=∠ E\\ ∠ DAF=∠ BDE\\ AD=BD\end{array} $
∴△AFD≌△DEB（AAS），
∴AF=DE，DF=BE。
设DF=BE=x，则DE=FE-DF=4-x，CE=CB+BE=2+x，
∵AF=CE，AF=DE，
∴2+x=4-x，解得x=1，
∴CE=2+1=3，DE=4-1=3，即△CED为等腰直角三角形，
∴$CD=\sqrt{CE^2+DE^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
综上，CD的长为$2\sqrt{10}$或$2\sqrt{13}$或$3\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{10}或2\sqrt{13}或3\sqrt{2}$

【知识点】
勾股定理及逆定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题需要结合分类讨论思想解题，解题关键是明确等腰直角三角形的直角顶点存在三种情况，通过构造全等三角形转化边长，再结合勾股定理计算线段长度，易错点是容易遗漏直角顶点的情况导致漏解。
【难度系数】
0.4

11 已知正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，$CF=\frac{1}{3}DF$。求证：△AEF是直角三角形。

11 提示:由题意可得,$EB=EC=2$,$FC=1$,$DF=3$,$AD=AB=4$,所以$AE^2=AB^2+BE^2=20$,$EF^2=FC^2+CE^2=5$,$AF^2=AD^2+DF^2=25$,所以$AF^2=EF^2+AE^2$,所以$△AEF$是直角三角形。

【分析】
要证明△AEF是直角三角形，可采用勾股定理的逆定理：若三角形三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。首先结合正方形的边长和E、F的位置条件，计算出各相关线段的长度，再分别在三个直角三角形中用勾股定理求出AE、EF、AF的平方，最后验证三边平方的数量关系即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，边长为4
∴ AB=BC=CD=DA=4，∠B=∠C=∠D=90°
∵ E为BC的中点
∴ $BE=EC=\frac{1}{2}BC=2$
∵ $CF=\frac{1}{3}DF$，且$CF+DF=CD=4$
∴ $CF+3CF=4$，解得$CF=1$，$DF=3$
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE^2=AB^2+BE^2=4^2+2^2=20$
在$Rt△ ECF$中，由勾股定理得：
$EF^2=EC^2+CF^2=2^2+1^2=5$
在$Rt△ ADF$中，由勾股定理得：
$AF^2=AD^2+DF^2=4^2+3^2=25$
∵ $20+5=25$，即$AE^2+EF^2=AF^2$
∴ 根据勾股定理的逆定理，△AEF是直角三角形。
【答案】
△AEF是直角三角形
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理相关知识的典型应用题型，结合正方形性质计算线段长度，通过边长平方的数量关系判断三角形形状，是几何中证明直角的常用方法，属于基础类习题。
【难度系数】
0.8

12 台风登陆某沿海地区。如图，台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且AC=300 km，BC=400 km，AB=500 km。经测量，距离台风中心260 km及以内的地区会受到影响。
（1）海港C会受到台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为25 km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？

12 （1）海港C会受台风影响,理由如下:因为AC=300km,BC=400km,AB=500km,所以$AC^2+BC^2=AB^2$,所以$△ABC$是直角三角形,$∠ACB=90°$。如图,过点C作$CD ⊥ AB$于点D。因为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}CD·AB$,所以$300×400=500×CD$,所以$CD=240km$,因为以台风中心为圆心周围260 km以内为受影响区域,所以海港C会受到台风影响。
（2）如图,分别在AB上取点E和点F,使$EC=FC=260km$。当台风中心在点E和点F时,正好影响海港C。在$Rt△CDE$中,$∠CDE=90°$,所以$ED=\sqrt{EC^2-CD^2}=\sqrt{260^2-240^2}=100(km)$,同理可得$DF=100km$,所以$EF=200km$。因为台风的速度为25 km/h,$200÷25=8(h)$,所以台风影响该海港持续的时间为8小时。

【分析】
要解决这道题可分两步思考：
(1) 判断海港C是否受台风影响，核心是比较点C到台风移动路线AB的最短距离（即垂线段长度）和受影响半径260km的大小。首先可通过三边长度用勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，再用三角形面积的两种计算方式求出AB边上的高，最后将高和260km对比即可得出结论。
(2) 求台风影响海港的持续时间，首先要确定台风中心在AB上移动时，到C的距离≤260km的路段长度：在AB上取E、F两点，使EC=FC=260km，EF就是受影响的路段，用勾股定理算出单段路段长度后得到EF总长，再用路程除以台风移动速度即可求出持续时间。
【解析】
（1）海港C会受到台风影响，理由如下：
已知AC=300km，BC=400km，AB=500km，
因为$AC^2+BC^2=300^2+400^2=250000$，$AB^2=500^2=250000$，
所以$AC^2+BC^2=AB^2$，由勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
过点C作$CD ⊥ AB$于点D，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}CD·AB$，
代入数值得$300×400=500×CD$，解得$CD=240km$。
由于240km＜260km，因此海港C会受到台风影响。
（2）在AB上取点E、F，使$EC=FC=260km$，即台风中心到E点时开始影响C，到F点时结束影响。
在$Rt△ CDE$中，$∠ CDE=90°$，由勾股定理得：
$ED=\sqrt{EC^2-CD^2}=\sqrt{260^2-240^2}=100(km)$，
同理可得$DF=100km$，因此受影响路段总长$EF=ED+DF=200km$。
已知台风移动速度为25km/h，所以影响持续时间为$200÷25=8(h)$。
【答案】
（1）海港C会受到台风影响，理由见解析；
（2）台风影响该海港持续的时间为8小时。

【知识点】
勾股定理的逆定理、勾股定理的应用、垂线段最短
【点评】
本题结合实际生活场景考查勾股定理相关知识的应用，解题关键是将实际问题转化为几何问题求解，需要学生熟练掌握勾股定理及其逆定理的使用方法，能通过面积法求三角形的高，对数学建模能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.7