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8. 将一副三角尺按图6所示位置摆放，点F在AC上，其中$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=60°$，$∠ EFD=90°$，$∠ DEF=45°$，$AB// DE$，则$∠ AFD$的度数是（
A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
A
）。A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
8. A
解析
【分析】
解题时首先结合三角尺的已知角度特性，按步骤推导：第一步先利用三角形内角和定理分别求出△ABC中∠A的度数、△DEF中∠EDF的度数；第二步根据AB//DE的平行线性质，得到对应同位角相等；第三步利用三角形外角的性质，即可求出∠AFD的度数。
【解析】
1. 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=60°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC=180° - 90° - 60°=30°$
2. 在$△ DEF$中，$∠ EFD=90°$，$∠ DEF=45°$，同理可得：
$∠ EDF=180° - 90° - 45°=45°$
3. 设$AB$与$DF$交于点$M$，因为$AB// DE$，根据“两直线平行，同位角相等”，得$∠ AMF=∠ EDF=45°$。
4. $∠ AMF$是$△ AFM$的外角，根据三角形外角性质“外角等于不相邻两个内角的和”，得$∠ AMF=∠ BAC + ∠ AFD$，因此：
$∠ AFD=∠ AMF - ∠ BAC=45° - 30°=15°$
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合常见三角尺的摆放场景，考查基础的几何角度计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形角度的相关计算规则，找准角度之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合三角尺的已知角度特性，按步骤推导：第一步先利用三角形内角和定理分别求出△ABC中∠A的度数、△DEF中∠EDF的度数；第二步根据AB//DE的平行线性质，得到对应同位角相等；第三步利用三角形外角的性质，即可求出∠AFD的度数。
【解析】
1. 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=60°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC=180° - 90° - 60°=30°$
2. 在$△ DEF$中，$∠ EFD=90°$，$∠ DEF=45°$，同理可得：
$∠ EDF=180° - 90° - 45°=45°$
3. 设$AB$与$DF$交于点$M$，因为$AB// DE$，根据“两直线平行，同位角相等”，得$∠ AMF=∠ EDF=45°$。
4. $∠ AMF$是$△ AFM$的外角，根据三角形外角性质“外角等于不相邻两个内角的和”，得$∠ AMF=∠ BAC + ∠ AFD$，因此：
$∠ AFD=∠ AMF - ∠ BAC=45° - 30°=15°$
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合常见三角尺的摆放场景，考查基础的几何角度计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形角度的相关计算规则，找准角度之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9. 如图7，已知BD，CE是$△ ABC$的高，BD与CE相交于点F，则$∠ BFC$与$∠ A$之间的数量关系是（
A.$∠ BFC=2∠ A$
B.$∠ BFC+∠ A=90°$
C.$∠ BFC+∠ A=180°$
D.不能确定
C
）。A.$∠ BFC=2∠ A$
B.$∠ BFC+∠ A=90°$
C.$∠ BFC+∠ A=180°$
D.不能确定
答案
9. C
解析
【分析】
解题时首先根据“BD、CE是△ABC的高”得到两个直角，再观察图形找到包含∠A的四边形AEFD，利用四边形内角和为360°推导∠EFD与∠A的数量关系，最后结合对顶角相等的性质，将∠EFD替换为∠BFC，即可得到∠BFC与∠A的关系。
【解析】
∵BD、CE是△ABC的高
∴∠ADB=90°，∠AEC=90°
在四边形AEFD中，内角和为360°，即：
∠A + ∠AEC + ∠ADB + ∠EFD = 360°
将∠AEC=90°、∠ADB=90°代入得：
∠A + 90° + 90° + ∠EFD = 360°
化简得：∠A + ∠EFD = 180°
又
∵∠EFD与∠BFC是对顶角，根据对顶角相等可得∠EFD=∠BFC
∴∠BFC + ∠A = 180°
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的定义；四边形内角和；对顶角的性质
【点评】
本题是角的数量关系推导类基础题，解题的关键是结合高的性质找到角之间的关联，既可以用四边形内角和求解，也可以通过三角形外角或同角的余角相等的性质推导，方法灵活，是几何中角的关系推导的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据“BD、CE是△ABC的高”得到两个直角，再观察图形找到包含∠A的四边形AEFD，利用四边形内角和为360°推导∠EFD与∠A的数量关系，最后结合对顶角相等的性质，将∠EFD替换为∠BFC，即可得到∠BFC与∠A的关系。
【解析】
∵BD、CE是△ABC的高
∴∠ADB=90°，∠AEC=90°
在四边形AEFD中，内角和为360°，即：
∠A + ∠AEC + ∠ADB + ∠EFD = 360°
将∠AEC=90°、∠ADB=90°代入得：
∠A + 90° + 90° + ∠EFD = 360°
化简得：∠A + ∠EFD = 180°
又
∵∠EFD与∠BFC是对顶角，根据对顶角相等可得∠EFD=∠BFC
∴∠BFC + ∠A = 180°
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的定义；四边形内角和；对顶角的性质
【点评】
本题是角的数量关系推导类基础题，解题的关键是结合高的性质找到角之间的关联，既可以用四边形内角和求解，也可以通过三角形外角或同角的余角相等的性质推导，方法灵活，是几何中角的关系推导的常见题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图8，将$△ ABC$沿着$DE$剪去一个角后得到四边形$BCED$，若$∠ BDE$和$∠ DEC$的平分线交于点$F$，$∠ DFE=α$，则$∠ A$的度数是（
A.$180°-α$
B.$180°-2α$
C.$360°-α$
D.$360°-2α$
B
）。A.$180°-α$
B.$180°-2α$
C.$360°-α$
D.$360°-2α$
答案
10. B
解析
【分析】
解题时先从△DFE的内角和入手，先求出角平分线分出来的两个小角的和，再利用角平分线的性质得到∠BDE和∠DEC的和，最后结合邻补角的性质和△ABC的内角和，推导∠A和α的关系即可。
【解析】
解：在△DFE中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ FDE + ∠ FED = 180° - ∠ DFE = 180° - α$
∵DF平分∠BDE，EF平分∠DEC
∴$∠ BDE = 2∠ FDE$，$∠ DEC = 2∠ FED$
∴$∠ BDE + ∠ DEC = 2(∠ FDE + ∠ FED) = 2(180° - α) = 360° - 2α$
又
∵$∠ BDE + ∠ ADE = 180°$，$∠ DEC + ∠ AED = 180°$（邻补角的和为180°）
∴$∠ BDE + ∠ DEC = 360° - (∠ ADE + ∠ AED)$
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得$∠ ADE + ∠ AED = 180° - ∠ A$，代入上式得：
$∠ BDE + ∠ DEC = 360° - (180° - ∠ A) = 180° + ∠ A$
联立两个$∠ BDE + ∠ DEC$的表达式：
$180° + ∠ A = 360° - 2α$
解得：$∠ A = 180° - 2α$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的性质，邻补角的定义
【点评】
本题是三角形内角和与角平分线的综合应用题，解题关键是找准角之间的等量关系，通过中间量建立待求角与已知角的联系，属于常规几何基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先从△DFE的内角和入手，先求出角平分线分出来的两个小角的和，再利用角平分线的性质得到∠BDE和∠DEC的和，最后结合邻补角的性质和△ABC的内角和，推导∠A和α的关系即可。
【解析】
解：在△DFE中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ FDE + ∠ FED = 180° - ∠ DFE = 180° - α$
∵DF平分∠BDE，EF平分∠DEC
∴$∠ BDE = 2∠ FDE$，$∠ DEC = 2∠ FED$
∴$∠ BDE + ∠ DEC = 2(∠ FDE + ∠ FED) = 2(180° - α) = 360° - 2α$
又
∵$∠ BDE + ∠ ADE = 180°$，$∠ DEC + ∠ AED = 180°$（邻补角的和为180°）
∴$∠ BDE + ∠ DEC = 360° - (∠ ADE + ∠ AED)$
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得$∠ ADE + ∠ AED = 180° - ∠ A$，代入上式得：
$∠ BDE + ∠ DEC = 360° - (180° - ∠ A) = 180° + ∠ A$
联立两个$∠ BDE + ∠ DEC$的表达式：
$180° + ∠ A = 360° - 2α$
解得：$∠ A = 180° - 2α$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的性质，邻补角的定义
【点评】
本题是三角形内角和与角平分线的综合应用题，解题关键是找准角之间的等量关系，通过中间量建立待求角与已知角的联系，属于常规几何基础题。
【难度系数】
0.7
二、填空题
11. 若等腰三角形的两边长是3 cm和9 cm，则此三角形的周长是
11. 若等腰三角形的两边长是3 cm和9 cm，则此三角形的周长是
21
cm.答案
11. 21
解析
【分析】
解题时首先结合等腰三角形两腰相等的性质，由于题目未明确说明3cm和9cm哪个是腰长哪个是底边长，所以需要分两种情况讨论。其次，所有三角形都要满足三边关系（任意两边之和大于第三边），因此分类后必须先判断对应的三边长能否构成三角形，排除不成立的情况，最后对成立的情况计算周长即可。
【解析】
已知等腰三角形的两边长为3cm和9cm，分以下两种情况讨论：
1. 若腰长为3cm，则三角形三边长为3cm、3cm、9cm。
此时$3+3=6＜9$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，该情况舍去。
2. 若腰长为9cm，则三角形三边长为9cm、9cm、3cm。
此时$9+3=12＞9$，$9+9=18＞3$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
周长为$9+9+3=21\mathrm{cm}$。
【答案】
21
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础易错题，核心考察分类讨论思想，解题的关键是分类讨论腰长后务必验证三边是否满足三角形构成条件，避免忽略验证直接计算得到错误结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合等腰三角形两腰相等的性质，由于题目未明确说明3cm和9cm哪个是腰长哪个是底边长，所以需要分两种情况讨论。其次，所有三角形都要满足三边关系（任意两边之和大于第三边），因此分类后必须先判断对应的三边长能否构成三角形，排除不成立的情况，最后对成立的情况计算周长即可。
【解析】
已知等腰三角形的两边长为3cm和9cm，分以下两种情况讨论：
1. 若腰长为3cm，则三角形三边长为3cm、3cm、9cm。
此时$3+3=6＜9$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，该情况舍去。
2. 若腰长为9cm，则三角形三边长为9cm、9cm、3cm。
此时$9+3=12＞9$，$9+9=18＞3$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
周长为$9+9+3=21\mathrm{cm}$。
【答案】
21
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础易错题，核心考察分类讨论思想，解题的关键是分类讨论腰长后务必验证三边是否满足三角形构成条件，避免忽略验证直接计算得到错误结果。
【难度系数】
0.7
12. 如图 9，$∠ ACD$ 是 $△ ABC$ 的外角，$CE$ 平分 $∠ ACD$，若 $∠ A = 60°$，$∠ B = 40°$，则 $∠ ECD$ 的度数为________。
答案
50°
解析
【分析】
要计算∠ECD的度数，首先已知CE平分∠ACD，因此只需要先求出∠ACD的度数即可。∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合已知的∠A和∠B的度数就能算出∠ACD，再利用角平分线的性质，即可求出∠ECD的大小。
【解析】
解：
∵∠ACD是△ABC的外角
∴根据三角形外角的性质可得：∠ACD = ∠A + ∠B
已知∠A=60°，∠B=40°，代入得：
∠ACD = 60° + 40° = 100°
又
∵CE平分∠ACD
∴根据角平分线的定义，∠ECD = $\frac{1}{2}$∠ACD = $\frac{1}{2}$×100° = 50°
【答案】
50°
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质以及角平分线的定义，按照先求外角度数、再求平分后角的度数的思路推导即可。
【难度系数】
0.9
要计算∠ECD的度数，首先已知CE平分∠ACD，因此只需要先求出∠ACD的度数即可。∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合已知的∠A和∠B的度数就能算出∠ACD，再利用角平分线的性质，即可求出∠ECD的大小。
【解析】
解：
∵∠ACD是△ABC的外角
∴根据三角形外角的性质可得：∠ACD = ∠A + ∠B
已知∠A=60°，∠B=40°，代入得：
∠ACD = 60° + 40° = 100°
又
∵CE平分∠ACD
∴根据角平分线的定义，∠ECD = $\frac{1}{2}$∠ACD = $\frac{1}{2}$×100° = 50°
【答案】
50°
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质以及角平分线的定义，按照先求外角度数、再求平分后角的度数的思路推导即可。
【难度系数】
0.9
13. 已知n为正整数，若一个三角形的三边长分别是$n+2$，$n+8$，$3n$，则满足条件的n值有
7
个.答案
13. 7
解析
【分析】
解题的核心依据是三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。我们首先针对三条边长列出所有符合三边关系的不等式，组成不等式组，求解得到n的取值范围，再结合n是正整数的限制条件，统计符合要求的n的个数即可。其中部分不等式因n为正整数会恒成立，只需解有效不等式就能快速得到取值范围。
【解析】
根据三角形“任意两边之和大于第三边”的性质，列出不等式：
1. $(n+2)+(n+8)＞3n$
化简得：$2n+10＞3n$，解得 $n＜10$
2. $(n+2)+3n＞n+8$
化简得：$4n+2＞n+8$，移项合并得 $3n＞6$，解得 $n＞2$
3. $(n+8)+3n＞n+2$
化简得：$4n+8＞n+2$，解得 $n＞-2$
因为n是正整数，所以第三个不等式恒成立，综合得n的取值范围为$2＜n＜10$。
符合条件的正整数n为3、4、5、6、7、8、9，共7个。
【答案】
7
【知识点】
三角形三边关系；一元一次不等式解法；正整数解求解
【点评】
本题考查三角形三边关系的实际应用，解题时要注意结合边长的正整数限制筛选解，避免漏算或多算，同时可以通过判断不等式是否恒成立简化计算过程。
【难度系数】
0.6
解题的核心依据是三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。我们首先针对三条边长列出所有符合三边关系的不等式，组成不等式组，求解得到n的取值范围，再结合n是正整数的限制条件，统计符合要求的n的个数即可。其中部分不等式因n为正整数会恒成立，只需解有效不等式就能快速得到取值范围。
【解析】
根据三角形“任意两边之和大于第三边”的性质，列出不等式：
1. $(n+2)+(n+8)＞3n$
化简得：$2n+10＞3n$，解得 $n＜10$
2. $(n+2)+3n＞n+8$
化简得：$4n+2＞n+8$，移项合并得 $3n＞6$，解得 $n＞2$
3. $(n+8)+3n＞n+2$
化简得：$4n+8＞n+2$，解得 $n＞-2$
因为n是正整数，所以第三个不等式恒成立，综合得n的取值范围为$2＜n＜10$。
符合条件的正整数n为3、4、5、6、7、8、9，共7个。
【答案】
7
【知识点】
三角形三边关系；一元一次不等式解法；正整数解求解
【点评】
本题考查三角形三边关系的实际应用，解题时要注意结合边长的正整数限制筛选解，避免漏算或多算，同时可以通过判断不等式是否恒成立简化计算过程。
【难度系数】
0.6
14. 将三角尺按如图10所示放置在一张长方形纸片上，$∠ EGF=90°$，$∠ FEG=30°$，$∠ 1=130°$，则$∠ BFG$的度数为
110°
。 答案
14. 110°
解析
【分析】
解题时先从已知的长方形特征入手，长方形对边平行，可利用平行线的性质求出和∠1互补的∠EFB的度数；再结合三角尺的已知角度，用三角形内角和定理算出∠EFG的度数；最后观察图形中∠BFG的组成，将两个求出的角度相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 长方形的对边互相平行，
∴ 两直线平行，同旁内角互补，可得∠1 + ∠EFB = 180°，
已知∠1=130°，
∴ ∠EFB = 180° - 130° = 50°，
在△EGF中，∠EGF=90°，∠FEG=30°，根据三角形内角和为180°，
∴ ∠EFG = 180° - 90° - 30° = 60°，
∴ ∠BFG = ∠EFB + ∠EFG = 50° + 60° = 110°。
【答案】
110°
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，长方形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将平行线的角关系和三角形内角和知识结合考查，解题的关键是准确识别图形中角的位置关系，结合已知条件逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的长方形特征入手，长方形对边平行，可利用平行线的性质求出和∠1互补的∠EFB的度数；再结合三角尺的已知角度，用三角形内角和定理算出∠EFG的度数；最后观察图形中∠BFG的组成，将两个求出的角度相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 长方形的对边互相平行，
∴ 两直线平行，同旁内角互补，可得∠1 + ∠EFB = 180°，
已知∠1=130°，
∴ ∠EFB = 180° - 130° = 50°，
在△EGF中，∠EGF=90°，∠FEG=30°，根据三角形内角和为180°，
∴ ∠EFG = 180° - 90° - 30° = 60°，
∴ ∠BFG = ∠EFB + ∠EFG = 50° + 60° = 110°。
【答案】
110°
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，长方形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将平行线的角关系和三角形内角和知识结合考查，解题的关键是准确识别图形中角的位置关系，结合已知条件逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
