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1. 已知三角形的两边长为4和9，则下列数据中，能作为第三边长的是（
A.3
B.4
C.5
D.9
D
）.A.3
B.4
C.5
D.9
答案
1. D
解析
【分析】
解决本题的核心思路是利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再筛选符合条件的选项。首先回忆三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，因此第三边的长度需要介于已知两边的差和两边的和之间，求出范围后逐一核对选项即可得到答案。
【解析】
设该三角形的第三边长为$ x $，根据三角形三边关系可得：
$ 9 - 4 ＜ x ＜ 9 + 4 $
即$ 5 ＜ x ＜ 13 $
逐一核对选项：
A选项3＜5，不符合范围；
B选项4＜5，不符合范围；
C选项5不满足大于5的要求，不符合范围；
D选项9满足$ 5 ＜ 9 ＜13 $，符合要求。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是牢记三角形三边的取值要求，注意第三边的范围是严格大于两边之差、严格小于两边之和，等于的情况无法构成三角形，避免因边界判断错误丢分。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心思路是利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再筛选符合条件的选项。首先回忆三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，因此第三边的长度需要介于已知两边的差和两边的和之间，求出范围后逐一核对选项即可得到答案。
【解析】
设该三角形的第三边长为$ x $，根据三角形三边关系可得：
$ 9 - 4 ＜ x ＜ 9 + 4 $
即$ 5 ＜ x ＜ 13 $
逐一核对选项：
A选项3＜5，不符合范围；
B选项4＜5，不符合范围；
C选项5不满足大于5的要求，不符合范围；
D选项9满足$ 5 ＜ 9 ＜13 $，符合要求。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是牢记三角形三边的取值要求，注意第三边的范围是严格大于两边之差、严格小于两边之和，等于的情况无法构成三角形，避免因边界判断错误丢分。
【难度系数】
0.9
2. 下列生活中的实例利用到三角形的稳定性的是（
A.自行车的三角车架
B.用两颗钉子把木条固定在墙上
C.学校大门口的伸缩门
D.四条腿的方桌
A
）.A.自行车的三角车架
B.用两颗钉子把木条固定在墙上
C.学校大门口的伸缩门
D.四条腿的方桌
答案
2. A
解析
【分析】
要解决这道题，核心是明确三角形稳定性的应用场景，解题思路分为两步：第一步先回忆三角形稳定性的特征：三角形三边长度确定后，形状和大小就固定，不易发生形变；第二步逐一分析每个选项对应的几何原理，区分三角形稳定性和两点确定一条直线、四边形不稳定性等其他几何原理的差异，排除不符合的选项即可选出正确答案。
【解析】
三角形具有稳定性：当三角形的三条边长确定时，其形状、大小完全固定，不容易发生形变，我们逐个分析选项：
A选项：自行车的三角车架采用三角形结构，利用了三角形的稳定性，让车架在使用过程中不易变形、更加稳固，符合题意；
B选项：用两颗钉子把木条固定在墙上，利用的是“两点确定一条直线”的原理，和三角形稳定性无关，不符合题意；
C选项：学校大门口的伸缩门可以灵活伸缩，利用的是平行四边形（四边形）的不稳定性，不符合题意；
D选项：四条腿的方桌结构以四边形为主，没有应用三角形的稳定性，不符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的稳定性、两点确定一条直线、平行四边形的不稳定性
【点评】
这道题是几何性质结合生活实际的基础题，需要同学们准确区分不同几何性质的应用场景，平时多观察生活中的几何现象就能快速判断。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，核心是明确三角形稳定性的应用场景，解题思路分为两步：第一步先回忆三角形稳定性的特征：三角形三边长度确定后，形状和大小就固定，不易发生形变；第二步逐一分析每个选项对应的几何原理，区分三角形稳定性和两点确定一条直线、四边形不稳定性等其他几何原理的差异，排除不符合的选项即可选出正确答案。
【解析】
三角形具有稳定性：当三角形的三条边长确定时，其形状、大小完全固定，不容易发生形变，我们逐个分析选项：
A选项：自行车的三角车架采用三角形结构，利用了三角形的稳定性，让车架在使用过程中不易变形、更加稳固，符合题意；
B选项：用两颗钉子把木条固定在墙上，利用的是“两点确定一条直线”的原理，和三角形稳定性无关，不符合题意；
C选项：学校大门口的伸缩门可以灵活伸缩，利用的是平行四边形（四边形）的不稳定性，不符合题意；
D选项：四条腿的方桌结构以四边形为主，没有应用三角形的稳定性，不符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的稳定性、两点确定一条直线、平行四边形的不稳定性
【点评】
这道题是几何性质结合生活实际的基础题，需要同学们准确区分不同几何性质的应用场景，平时多观察生活中的几何现象就能快速判断。
【难度系数】
0.85
3. 如图1，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AD$为斜边上的高，$AE$是角平分线，$AF$是中线，则下列说法中错误的是（
A.$BF=CF$
B.$∠ C=∠ BAD$
C.$∠ BAE=∠ CAE$
D.$S_{△ ABE}=S_{△ ACF}$
D
）.A.$BF=CF$
B.$∠ C=∠ BAD$
C.$∠ BAE=∠ CAE$
D.$S_{△ ABE}=S_{△ ACF}$
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查直角三角形中特殊线段的性质应用，解题时先明确题干给出的斜边上的高、角平分线、中线三类特殊线段的定义与性质，逐一验证每个选项的正误，最终选出说法错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 对选项A：AF是$△ ABC$的中线，根据三角形中线的定义，中线是连接三角形顶点和对边中点的线段，因此F是BC的中点，可得$BF=CF$，该选项说法正确，不符合题意。
2. 对选项B：
∵AD是斜边上的高，$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ BAC=90°$，
∴$∠ C+∠ B=90°$，$∠ BAD+∠ B=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ C=∠ BAD$，该选项说法正确，不符合题意。
3. 对选项C：
∵AE是角平分线，根据角平分线的定义，角平分线将一个角分为两个相等的角，因此$∠ BAE=∠ CAE$，该选项说法正确，不符合题意。
4. 对选项D：题干没有给出边的长度关系，无法证明$△ ABE$和$△ ACF$的底与高的乘积相等，因此不能推出$S_{△ABE}=S_{△ACF}$，该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；三角形中线的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查直角三角形中特殊线段的基本性质，熟练掌握相关定义和性质就能快速判断选项正误，解题时注意审题，要求选出的是错误的说法。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形中特殊线段的性质应用，解题时先明确题干给出的斜边上的高、角平分线、中线三类特殊线段的定义与性质，逐一验证每个选项的正误，最终选出说法错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 对选项A：AF是$△ ABC$的中线，根据三角形中线的定义，中线是连接三角形顶点和对边中点的线段，因此F是BC的中点，可得$BF=CF$，该选项说法正确，不符合题意。
2. 对选项B：
∵AD是斜边上的高，$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ BAC=90°$，
∴$∠ C+∠ B=90°$，$∠ BAD+∠ B=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ C=∠ BAD$，该选项说法正确，不符合题意。
3. 对选项C：
∵AE是角平分线，根据角平分线的定义，角平分线将一个角分为两个相等的角，因此$∠ BAE=∠ CAE$，该选项说法正确，不符合题意。
4. 对选项D：题干没有给出边的长度关系，无法证明$△ ABE$和$△ ACF$的底与高的乘积相等，因此不能推出$S_{△ABE}=S_{△ACF}$，该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；三角形中线的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查直角三角形中特殊线段的基本性质，熟练掌握相关定义和性质就能快速判断选项正误，解题时注意审题，要求选出的是错误的说法。
【难度系数】
0.8
4. 如图，直角三角尺ABC的直角顶点C在直线l上，$∠ B=30°$，$∠α=110°$，则$∠ BCD$的度数为（
A.$30°$
B.$40°$
C.$35°$
D.$45°$
B
）。A.$30°$
B.$40°$
C.$35°$
D.$45°$
答案
4. B
解析
【分析】
解题时先从已知的直角三角尺性质入手，首先利用三角形内角和定理求出∠A的度数，再结合三角形外角的性质求出∠ACE的度数，最后根据平角为180°的性质，代入已知角度即可求出∠BCD的度数。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - ∠ ACB - ∠ B = 180° - 90° - 30° = 60°$
设AB与直线l交于点E，$∠ α$是△ACE的外角，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，可得：
$∠ α = ∠ A + ∠ ACE$
已知$∠ α=110°$，代入得$∠ ACE = 110° - 60° = 50°$
又因为点C在直线l上，平角为180°，所以：
$∠ ACE + ∠ ACB + ∠ BCD = 180°$
代入数值：$50° + 90° + ∠ BCD = 180°$
解得：$∠ BCD = 180° - 50° - 90° = 40°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角的性质，平角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是熟练掌握三角形相关角度性质，梳理清楚各角之间的数量关系，逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的直角三角尺性质入手，首先利用三角形内角和定理求出∠A的度数，再结合三角形外角的性质求出∠ACE的度数，最后根据平角为180°的性质，代入已知角度即可求出∠BCD的度数。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - ∠ ACB - ∠ B = 180° - 90° - 30° = 60°$
设AB与直线l交于点E，$∠ α$是△ACE的外角，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，可得：
$∠ α = ∠ A + ∠ ACE$
已知$∠ α=110°$，代入得$∠ ACE = 110° - 60° = 50°$
又因为点C在直线l上，平角为180°，所以：
$∠ ACE + ∠ ACB + ∠ BCD = 180°$
代入数值：$50° + 90° + ∠ BCD = 180°$
解得：$∠ BCD = 180° - 50° - 90° = 40°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角的性质，平角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是熟练掌握三角形相关角度性质，梳理清楚各角之间的数量关系，逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7
5. 如图 3，已知在$△ ABC$ 中，$DE // BC$，$CD$ 是$∠ ACB$ 的平分线，其中$∠ AED＝50°$，则$∠ EDC$ 的度数是（
A.$10°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
C
）。A.$10°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
5. C
解析
【分析】
解题时首先从已知的平行线条件入手，先利用“两直线平行，同位角相等”求出∠ACB的度数；再结合角平分线的定义，求出∠DCB的度数；最后再次利用平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，即可得到∠EDC的度数。
【解析】
解：
∵DE//BC，∠AED＝50°，
∴∠ACB＝∠AED＝50°（两直线平行，同位角相等）。
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠DCB＝$\frac{1}{2}$∠ACB＝$\frac{1}{2}$×50°＝25°。
又
∵DE//BC，
∴∠EDC＝∠DCB＝25°（两直线平行，内错角相等）。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心是将平行线的性质与角平分线的定义结合应用，解题的关键是借助平行线实现角之间的等量转化，掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的平行线条件入手，先利用“两直线平行，同位角相等”求出∠ACB的度数；再结合角平分线的定义，求出∠DCB的度数；最后再次利用平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，即可得到∠EDC的度数。
【解析】
解：
∵DE//BC，∠AED＝50°，
∴∠ACB＝∠AED＝50°（两直线平行，同位角相等）。
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠DCB＝$\frac{1}{2}$∠ACB＝$\frac{1}{2}$×50°＝25°。
又
∵DE//BC，
∴∠EDC＝∠DCB＝25°（两直线平行，内错角相等）。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心是将平行线的性质与角平分线的定义结合应用，解题的关键是借助平行线实现角之间的等量转化，掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
6. 如图4，在$△ ABC$中，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线$BE$，$CD$相交于点$F$，$∠ ABC=42°$，$∠ ACB=78°$，则$∠ BFC$的度数为（
A.$118°$
B.$119°$
C.$120°$
D.$121°$
C
）.A.$118°$
B.$119°$
C.$120°$
D.$121°$
答案
6. C
解析
【分析】
要求∠BFC的度数，首先观察到∠BFC是△BFC的内角，我们可以先求出△BFC另外两个内角∠FBC、∠FCB的度数，再利用三角形内角和定理计算。已知BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，根据角平分线的定义，可将已知的∠ABC=42°、∠ACB=78°平分，得到∠FBC和∠FCB的度数，最后代入三角形内角和公式计算即可。
【解析】
解：
∵ BE平分∠ABC，∠ABC=42°，
∴ $∠ FBC = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2}×42° = 21°$，
∵ CD平分∠ACB，∠ACB=78°，
∴ $∠ FCB = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}×78° = 39°$，
在△BFC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BFC = 180° - ∠ FBC - ∠ FCB = 180° - 21° - 39° = 120°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题的关键是结合角平分线的性质梳理清楚图形中角的数量关系，熟练运用三角形内角和定理进行计算。
【难度系数】
0.8
要求∠BFC的度数，首先观察到∠BFC是△BFC的内角，我们可以先求出△BFC另外两个内角∠FBC、∠FCB的度数，再利用三角形内角和定理计算。已知BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，根据角平分线的定义，可将已知的∠ABC=42°、∠ACB=78°平分，得到∠FBC和∠FCB的度数，最后代入三角形内角和公式计算即可。
【解析】
解：
∵ BE平分∠ABC，∠ABC=42°，
∴ $∠ FBC = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2}×42° = 21°$，
∵ CD平分∠ACB，∠ACB=78°，
∴ $∠ FCB = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}×78° = 39°$，
在△BFC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BFC = 180° - ∠ FBC - ∠ FCB = 180° - 21° - 39° = 120°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题的关键是结合角平分线的性质梳理清楚图形中角的数量关系，熟练运用三角形内角和定理进行计算。
【难度系数】
0.8
7. 如图5，已知直线$m// n$，$∠ 1=40°$，$∠ 2=30°$，则$∠ 3$的度数为（
A.$80°$
B.$70°$
C.$60°$
D.$50°$
B
）.A.$80°$
B.$70°$
C.$60°$
D.$50°$
答案
7. B
解析
【分析】
本题考查平行线性质的应用，要求∠3的度数，我们可以通过作辅助线建立已知角∠1、∠2和∠3的联系：过∠3的顶点作平行于直线m的直线，根据平行公理的推论，这条辅助线也平行于n，再利用两直线平行内错角相等的性质，可将∠3拆分为分别与∠1、∠2相等的两个角，求和即可得到∠3的度数。也可以结合平行线性质和三角形外角定理求解，本质都是将已知角和未知角建立关联。
【解析】
解：过∠3的顶点作直线$l // m$。
$\because m // n$，
$\therefore l // n$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
∠1与∠3的上半部分分角相等，∠2与∠3的下半部分分角相等，
$\therefore ∠ 3 = ∠ 1 + ∠ 2 = 40° + 30° = 70°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；角的和差计算；平行公理的推论
【点评】
本题属于基础几何题，核心是利用平行线的性质转化角度，解题的关键是合理作出辅助线或者结合三角形外角性质，将分散的已知角和待求角联系起来。
【难度系数】
0.7
本题考查平行线性质的应用，要求∠3的度数，我们可以通过作辅助线建立已知角∠1、∠2和∠3的联系：过∠3的顶点作平行于直线m的直线，根据平行公理的推论，这条辅助线也平行于n，再利用两直线平行内错角相等的性质，可将∠3拆分为分别与∠1、∠2相等的两个角，求和即可得到∠3的度数。也可以结合平行线性质和三角形外角定理求解，本质都是将已知角和未知角建立关联。
【解析】
解：过∠3的顶点作直线$l // m$。
$\because m // n$，
$\therefore l // n$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
∠1与∠3的上半部分分角相等，∠2与∠3的下半部分分角相等，
$\therefore ∠ 3 = ∠ 1 + ∠ 2 = 40° + 30° = 70°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；角的和差计算；平行公理的推论
【点评】
本题属于基础几何题，核心是利用平行线的性质转化角度，解题的关键是合理作出辅助线或者结合三角形外角性质，将分散的已知角和待求角联系起来。
【难度系数】
0.7
