三、解答题
15. 如图11，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线.
（1）若∠ABC=30°，∠ACB=50°，求∠DAE的度数.
（2）写出∠DAE与∠C－∠B的数量关系，并证明你的结论.

15. (1) 10°
(2) $∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$

【分析】
（1）求解∠DAE的度数时，首先利用三角形内角和定理算出△ABC的顶角∠BAC，再结合角平分线的性质得到∠EAC的度数；接着根据高的定义，在直角△ADC中求出∠DAC的度数，最后通过两个角的差即可得到∠DAE的大小。
（2）推导∠DAE和∠C-∠B的数量关系时，将第一问的具体角度替换为∠B、∠C，沿用相同的角度推导逻辑，把各角用∠B和∠C表示后化简，就能得到通用的数量关系。
【解析】
（1）在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-30°-50°=100°$
∵AE是△ABC的角平分线
∴$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×100°=50°$
∵AD是△ABC的高，
∴$∠ ADC=90°$
在Rt△ADC中，$∠ DAC=90°-∠ C=90°-50°=40°$
∴$∠ DAE=∠ EAC-∠ DAC=50°-40°=10°$
（2）数量关系：$∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$，证明如下：
在△ABC中，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C$
∵AE是△ABC的角平分线
∴$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C)=90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C$
∵AD是△ABC的高，
∴$∠ ADC=90°$
在Rt△ADC中，$∠ DAC=90°-∠ C$
∴$∠ DAE=∠ EAC-∠ DAC$
$=(90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C)-(90°-∠ C)$
$=\frac{1}{2}∠ C-\frac{1}{2}∠ B$
$=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$
【答案】
（1）$10°$；（2）$∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$
【知识点】
三角形内角和，角平分线定义，三角形的高
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，综合考查了三角形相关线段的性质和内角和定理的应用，从特殊值计算到一般规律推导，能有效锻炼逻辑推理能力和代数式化简能力。
【难度系数】
0.7

16. 如图12，在△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。
（1）求证：∠ACD=∠B。
（2）若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF=∠CFE。

证明：(1)$\because∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，$\therefore∠ ACD+∠ BCD=90°$，$∠ B+∠ BCD=90°$，$\therefore∠ ACD=∠ B$
(2) 在$\mathrm{Rt}△ AFC$中，$∠ CFA=90°-∠ CAF$，同理在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ AED=90°-∠ DAE$，又$\because AF$平分$∠ CAB$，$\therefore∠ CAF=∠ DAE$，$\therefore∠ AED = ∠ CFE$. 又 $\because∠ CEF = ∠ AED$，$\therefore∠ CEF=∠ CFE$

【分析】
（1）要证明∠ACD=∠B，可从两角的互余关系入手：已知∠ACB=90°，可得∠ACD与∠BCD的和为90°；又CD⊥AB，可得∠B与∠BCD的和也为90°，根据同角的余角相等即可推出两个角相等。
（2）要证明∠CEF=∠CFE，可通过等量代换推导：首先由AF平分∠CAB可得∠CAF=∠DAE，再结合直角三角形两锐角互余的性质，分别推出∠CFE和∠AED都等于90°减去角平分线分出的等角，因此∠CFE=∠AED；最后根据对顶角相等可知∠CEF=∠AED，代换后即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴ ∠ACD + ∠BCD = 90°，∠B + ∠BCD = 90°，
∴ ∠ACD = ∠B。
(2) 证明：
在Rt△AFC中，∠CFA=90°-∠CAF，即∠CFE=90°-∠CAF；
同理在Rt△AED中，∠AED=90°-∠DAE。
∵ AF平分∠CAB，
∴ ∠CAF=∠DAE，
∴ ∠AED = ∠CFE。
又
∵ ∠CEF = ∠AED，
∴ ∠CEF=∠CFE。
【答案】
(1) ∠ACD=∠B，证明成立；
(2) ∠CEF=∠CFE，证明成立。
【知识点】
1. 余角的性质
2. 角平分线的定义
3. 对顶角的性质
【点评】
本题属于基础的几何角度证明题，核心考察角的等量代换方法，解题关键是找准互余的角、相等的角，熟练掌握余角性质、角平分线和对顶角的相关性质即可快速求解，是三角形角度关系类题型的基础代表。
【难度系数】
0.85

17. 如图13，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=40°$，$△ ABC$的外角$∠ CBD$的平分线$BE$交$AC$的延长线于点$E$。
（1）求$∠ CBE$的度数。
（2）过点$D$作$DF// BE$，交$AC$的延长线于点$F$，求$∠ F$的度数。

(1) 65°
(2) 25°

【分析】
（1）要求∠CBE的度数，首先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数，再利用邻补角的性质求出外角∠CBD的度数，最后结合角平分线的定义即可计算出∠CBE。
（2）要求∠F的度数，先在Rt△CBE中求出∠CEB的度数，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，即可得到∠F和∠CEB相等，从而求出∠F。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=40°$，
根据直角三角形两锐角互余，得$∠ ABC=90°-∠ A=90°-40°=50°$，
因为$∠ CBD$是$△ABC$的外角，所以$∠ CBD=180°-∠ ABC=180°-50°=130°$，
又因为$BE$平分$∠ CBD$，所以$∠ CBE=\frac{1}{2}∠ CBD=\frac{1}{2}×130°=65°$。
（2）因为$∠ ACB=90°$，所以$∠ ECB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△CBE$中，$∠ CEB=90°-∠ CBE=90°-65°=25°$，
因为$DF// BE$，根据两直线平行，内错角相等，得$∠ F=∠ CEB=25°$。
【答案】
（1）$\boxed{65°}$；（2）$\boxed{25°}$
【知识点】
直角三角形的性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是基础的角度计算类几何题，解题的关键是理清各个角之间的数量关系，熟练运用三角形、角平分线、平行线的相关性质逐步推导即可。
【难度系数】
0.7