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任务二
问题
阅读材料，完成下列探究.
如图，某校区改建一块长边靠墙的长方形停车场，为了保证师生的安全，其他三面用护栏围起来，其中停车场的长为$(3m+2n)\mathrm{m}$，宽为$(m+3n)\mathrm{m}$，门的宽度为$n\ \mathrm{m}$.
探究1：请用含$m$，$n$的代数式表示护栏的总长度.（门不需要护栏）
探究2：若$m=6$，$n=2$，每米护栏造价70元，求改建此停车场所需的费用.
归纳总结
应用整式加减解决实际问题的一般步骤：
(1)根据题意列代数式；
(2)去括号、合并同类项；
(3)得出最后结果.
问题
阅读材料，完成下列探究.
如图，某校区改建一块长边靠墙的长方形停车场，为了保证师生的安全，其他三面用护栏围起来，其中停车场的长为$(3m+2n)\mathrm{m}$，宽为$(m+3n)\mathrm{m}$，门的宽度为$n\ \mathrm{m}$.
探究1：请用含$m$，$n$的代数式表示护栏的总长度.（门不需要护栏）
探究2：若$m=6$，$n=2$，每米护栏造价70元，求改建此停车场所需的费用.
归纳总结
应用整式加减解决实际问题的一般步骤：
(1)根据题意列代数式；
(2)去括号、合并同类项；
(3)得出最后结果.
答案
探究1 解：$(3m+2n)-n+2(m+3n)=3m+2n -n +2m +6n=(5m+7n)\mathrm{m}.$
答：护栏的总长度为$(5m+7n)\mathrm{m}.$
探究2 解：当$m=6$，$n=2$时，
$(5m+7n)×70=(5×6+7×2)×70=3080(\mathrm{元}).$
答：改建此停车场所需的费用为3080元.
答：护栏的总长度为$(5m+7n)\mathrm{m}.$
探究2 解：当$m=6$，$n=2$时，
$(5m+7n)×70=(5×6+7×2)×70=3080(\mathrm{元}).$
答：改建此停车场所需的费用为3080元.
解析
【分析】
探究1：首先明确停车场长边靠墙，因此护栏仅需要围1条长边和2条宽边，同时门的位置不需要安装护栏，所以总护栏长度=长边长度-门的宽度+2条宽边的长度，根据这个关系列出代数式后，再通过去括号、合并同类项化简就能得到结果。
探究2：先将$m=6$、$n=2$代入探究1得到的护栏总长度的代数式，算出护栏的总长度，再乘每米护栏的造价，即可求出改建的总费用。
【解析】
探究1
解：根据护栏的构成，列代数式如下：
$\begin{aligned}&\phantom{=}(3m+2n)-n+2(m+3n)\\&=3m+2n-n+2m+6n\\&=5m+7n\end{aligned}$
探究2
解：当$m=6$，$n=2$时，护栏总长度为：
$5×6+7×2=30+14=44(\mathrm{m})$
总费用为：$44×70=3080(\mathrm{元})$
【答案】
探究1：护栏的总长度为$\boldsymbol{(5m+7n)\mathrm{m}}$；
探究2：改建此停车场所需的费用为$\boldsymbol{3080}$元。
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际考查整式的应用，解题关键是准确梳理护栏的组成部分，不要遗漏门不需要安装护栏的条件，代入数值计算时注意运算的准确性即可。
【难度系数】
0.85
探究1：首先明确停车场长边靠墙，因此护栏仅需要围1条长边和2条宽边，同时门的位置不需要安装护栏，所以总护栏长度=长边长度-门的宽度+2条宽边的长度，根据这个关系列出代数式后，再通过去括号、合并同类项化简就能得到结果。
探究2：先将$m=6$、$n=2$代入探究1得到的护栏总长度的代数式，算出护栏的总长度，再乘每米护栏的造价，即可求出改建的总费用。
【解析】
探究1
解：根据护栏的构成，列代数式如下：
$\begin{aligned}&\phantom{=}(3m+2n)-n+2(m+3n)\\&=3m+2n-n+2m+6n\\&=5m+7n\end{aligned}$
探究2
解：当$m=6$，$n=2$时，护栏总长度为：
$5×6+7×2=30+14=44(\mathrm{m})$
总费用为：$44×70=3080(\mathrm{元})$
【答案】
探究1：护栏的总长度为$\boldsymbol{(5m+7n)\mathrm{m}}$；
探究2：改建此停车场所需的费用为$\boldsymbol{3080}$元。
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际考查整式的应用，解题关键是准确梳理护栏的组成部分，不要遗漏门不需要安装护栏的条件，代入数值计算时注意运算的准确性即可。
【难度系数】
0.85
为筑牢防溺水安全屏障，有效减少溺水事故的发生，某市组建了雄鹰、蓝天和蓝豹三支救援队. 雄鹰队有$(4a + 5b)$人，蓝天队比雄鹰队少$a$人，蓝豹队比蓝天队人数的2倍少$(5a - b)$人.
(1)求蓝天救援队和蓝豹救援队各有多少人.
(2)三支救援队一共有多少人?
(1)求蓝天救援队和蓝豹救援队各有多少人.
(2)三支救援队一共有多少人?
答案
(1) 蓝天救援队有$(3a+5b)$人，蓝豹救援队有$(a+11b)$人.
(2) 三支救援队一共有$(8a+21b)$人.
(2) 三支救援队一共有$(8a+21b)$人.
解析
【分析】
本题是整式加减的实际应用类题目，解题思路如下：(1)先根据“蓝天队比雄鹰队少a人”的数量关系，用雄鹰队人数减去a即可得到蓝天队人数；再根据“蓝豹队比蓝天队人数的2倍少$(5a - b)$人”，用蓝天队人数乘2再减去$(5a - b)$，通过去括号、合并同类项得到蓝豹队人数。(2)将三支救援队的人数相加，合并同类项后即可得到总人数，计算时注意去括号的符号规则和同类项的合并方法。
【解析】
(1) 已知雄鹰队有$(4a + 5b)$人：
① 蓝天队人数 = 雄鹰队人数 - $a$，代入得：
$\begin{split}&(4a + 5b) - a\\=&4a + 5b - a\\=&3a + 5b\end{split}$
② 蓝豹队人数 = 蓝天队人数$× 2 - (5a - b)$，将蓝天队人数代入得：
$\begin{split}&2(3a + 5b) - (5a - b)\\=&6a + 10b - 5a + b\\=&(6a - 5a) + (10b + b)\\=&a + 11b\end{split}$
(2) 三支救援队总人数 = 雄鹰队人数 + 蓝天队人数 + 蓝豹队人数，代入得：
$\begin{split}&(4a + 5b) + (3a + 5b) + (a + 11b)\\=&4a + 5b + 3a + 5b + a + 11b\\=&(4a + 3a + a) + (5b + 5b + 11b)\\=&8a + 21b\end{split}$
【答案】
(1) 蓝天救援队有$(3a+5b)$人，蓝豹救援队有$(a+11b)$人；
(2) 三支救援队一共有$(8a+21b)$人。
【知识点】
列代数式；整式的加减；合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的基础应用题，解题核心是准确把握题干中的数量关系列出代数式，计算时要注意去括号时的符号变化，合并同类项时只需将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题是整式加减的实际应用类题目，解题思路如下：(1)先根据“蓝天队比雄鹰队少a人”的数量关系，用雄鹰队人数减去a即可得到蓝天队人数；再根据“蓝豹队比蓝天队人数的2倍少$(5a - b)$人”，用蓝天队人数乘2再减去$(5a - b)$，通过去括号、合并同类项得到蓝豹队人数。(2)将三支救援队的人数相加，合并同类项后即可得到总人数，计算时注意去括号的符号规则和同类项的合并方法。
【解析】
(1) 已知雄鹰队有$(4a + 5b)$人：
① 蓝天队人数 = 雄鹰队人数 - $a$，代入得：
$\begin{split}&(4a + 5b) - a\\=&4a + 5b - a\\=&3a + 5b\end{split}$
② 蓝豹队人数 = 蓝天队人数$× 2 - (5a - b)$，将蓝天队人数代入得：
$\begin{split}&2(3a + 5b) - (5a - b)\\=&6a + 10b - 5a + b\\=&(6a - 5a) + (10b + b)\\=&a + 11b\end{split}$
(2) 三支救援队总人数 = 雄鹰队人数 + 蓝天队人数 + 蓝豹队人数，代入得：
$\begin{split}&(4a + 5b) + (3a + 5b) + (a + 11b)\\=&4a + 5b + 3a + 5b + a + 11b\\=&(4a + 3a + a) + (5b + 5b + 11b)\\=&8a + 21b\end{split}$
【答案】
(1) 蓝天救援队有$(3a+5b)$人，蓝豹救援队有$(a+11b)$人；
(2) 三支救援队一共有$(8a+21b)$人。
【知识点】
列代数式；整式的加减；合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的基础应用题，解题核心是准确把握题干中的数量关系列出代数式，计算时要注意去括号时的符号变化，合并同类项时只需将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
例 先化简，再求值：$\frac{1}{2}a - 2(a - \frac{1}{3}b^2) - (\frac{3}{2}a - \frac{1}{3}b^2)$，其中 $a=-2$，$b=\frac{1}{3}$。
答案
解：原式$=\frac{1}{2}a - 2a + \frac{2}{3}b^2 - \frac{3}{2}a + \frac{1}{3}b^2 = -3a + b^2.$
当$a=-2$，$b=\frac{1}{3}$时，原式$=-3×(-2) + (\frac{1}{3})^2 =6 + \frac{1}{9}=6\frac{1}{9}.$
当$a=-2$，$b=\frac{1}{3}$时，原式$=-3×(-2) + (\frac{1}{3})^2 =6 + \frac{1}{9}=6\frac{1}{9}.$
解析
【分析】
这是整式化简求值类题目，解题思路分两步：第一步先化简整式，首先按照去括号法则去掉式子中的括号，注意括号前是负号时，去掉括号后括号内每一项都要变号，括号前的系数要乘遍括号内的所有项；之后合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式。第二步将给定的a、b的值代入化简后的整式计算即可，先化简再代入可以减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：先去括号：
原式$=\frac{1}{2}a - 2a + \frac{2}{3}b^2 - \frac{3}{2}a + \frac{1}{3}b^2$
再合并同类项：
含$a$的项合并：$\frac{1}{2}a - 2a - \frac{3}{2}a = (\frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 2)a = -3a$
含$b^2$的项合并：$\frac{2}{3}b^2 + \frac{1}{3}b^2 = b^2$
因此化简结果为$-3a + b^2$。
将$a=-2$，$b=\frac{1}{3}$代入化简后的式子：
原式$=-3×(-2) + (\frac{1}{3})^2 = 6 + \frac{1}{9} = 6\frac{1}{9}$
【答案】
$6\frac{1}{9}$（或$\frac{55}{9}$）
【知识点】
去括号法则，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的常规题型，核心考察去括号时的符号处理和同类项合并的运算能力，养成先化简再代入求值的习惯可以有效提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
这是整式化简求值类题目，解题思路分两步：第一步先化简整式，首先按照去括号法则去掉式子中的括号，注意括号前是负号时，去掉括号后括号内每一项都要变号，括号前的系数要乘遍括号内的所有项；之后合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式。第二步将给定的a、b的值代入化简后的整式计算即可，先化简再代入可以减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：先去括号：
原式$=\frac{1}{2}a - 2a + \frac{2}{3}b^2 - \frac{3}{2}a + \frac{1}{3}b^2$
再合并同类项：
含$a$的项合并：$\frac{1}{2}a - 2a - \frac{3}{2}a = (\frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 2)a = -3a$
含$b^2$的项合并：$\frac{2}{3}b^2 + \frac{1}{3}b^2 = b^2$
因此化简结果为$-3a + b^2$。
将$a=-2$，$b=\frac{1}{3}$代入化简后的式子：
原式$=-3×(-2) + (\frac{1}{3})^2 = 6 + \frac{1}{9} = 6\frac{1}{9}$
【答案】
$6\frac{1}{9}$（或$\frac{55}{9}$）
【知识点】
去括号法则，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的常规题型，核心考察去括号时的符号处理和同类项合并的运算能力，养成先化简再代入求值的习惯可以有效提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
已知$M=a^2+4ab-3$，$N=a^2-6ab+9$。
(1)化简：$2M-N$；
(2)若$|a+2|+(b-1)^2=0$，求$2M-N$的值。
(1)化简：$2M-N$；
(2)若$|a+2|+(b-1)^2=0$，求$2M-N$的值。
答案
解：(1)因为$M=a^2+4ab-3$，$N=a^2-6ab+9$，
所以$2M-N=2(a^2+4ab-3)-(a^2-6ab+9)$
$=2a^2+8ab-6 -a^2+6ab-9 =a^2+14ab-15.$
(2)因为$|a+2|+(b-1)^2=0$，且$|a+2|≥0$，$(b-1)^2≥0$，
所以$a+2=0$，$b-1=0.$
所以$a=-2$，$b=1.$
所以$2M-N=a^2+14ab-15=(-2)^2 +14×(-2)×1 -15=-39.$
所以$2M-N=2(a^2+4ab-3)-(a^2-6ab+9)$
$=2a^2+8ab-6 -a^2+6ab-9 =a^2+14ab-15.$
(2)因为$|a+2|+(b-1)^2=0$，且$|a+2|≥0$，$(b-1)^2≥0$，
所以$a+2=0$，$b-1=0.$
所以$a=-2$，$b=1.$
所以$2M-N=a^2+14ab-15=(-2)^2 +14×(-2)×1 -15=-39.$
解析
【分析】
（1）化简$2M-N$时，先将已知的$M$、$N$的表达式整体代入待化简式，再按照去括号法则去掉括号，最后合并同类项即可得到最简结果；（2）根据绝对值和平方的非负性，两个非负数的和为0时，两个非负数各自为0，据此求出$a$、$b$的取值，再代入第（1）问得到的化简结果计算即可。
【解析】
(1) 已知$M=a^2+4ab-3$，$N=a^2-6ab+9$，代入$2M-N$得：
$\begin{aligned}2M-N&=2(a^2+4ab-3)-(a^2-6ab+9)\\&=2a^2+8ab-6 -a^2+6ab-9\\&=a^2+14ab-15\end{aligned}$
(2) 因为$|a+2|≥0$，$(b-1)^2≥0$，且$|a+2|+(b-1)^2=0$，所以：
$a+2=0$，解得$a=-2$；
$b-1=0$，解得$b=1$。
将$a=-2$，$b=1$代入$a^2+14ab-15$得：
$\begin{aligned}2M-N&=(-2)^2 +14×(-2)×1 -15\\&=4-28-15\\&=-39\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^2+14ab-15$；(2) $-39$
【知识点】
整式的加减；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，解题时要注意去括号时的符号变化，牢记非负数的性质是求解第二问的核心，代入数值计算时要注意负数的运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
（1）化简$2M-N$时，先将已知的$M$、$N$的表达式整体代入待化简式，再按照去括号法则去掉括号，最后合并同类项即可得到最简结果；（2）根据绝对值和平方的非负性，两个非负数的和为0时，两个非负数各自为0，据此求出$a$、$b$的取值，再代入第（1）问得到的化简结果计算即可。
【解析】
(1) 已知$M=a^2+4ab-3$，$N=a^2-6ab+9$，代入$2M-N$得：
$\begin{aligned}2M-N&=2(a^2+4ab-3)-(a^2-6ab+9)\\&=2a^2+8ab-6 -a^2+6ab-9\\&=a^2+14ab-15\end{aligned}$
(2) 因为$|a+2|≥0$，$(b-1)^2≥0$，且$|a+2|+(b-1)^2=0$，所以：
$a+2=0$，解得$a=-2$；
$b-1=0$，解得$b=1$。
将$a=-2$，$b=1$代入$a^2+14ab-15$得：
$\begin{aligned}2M-N&=(-2)^2 +14×(-2)×1 -15\\&=4-28-15\\&=-39\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^2+14ab-15$；(2) $-39$
【知识点】
整式的加减；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，解题时要注意去括号时的符号变化，牢记非负数的性质是求解第二问的核心，代入数值计算时要注意负数的运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
请根据本课所学，构建知识体系.
整式的加减
步骤
①去括号
②
应用
②计算
化简求值
先
整式的加减
步骤
①去括号
②
合并同类项
应用
②计算
化简求值
先
化简
后求值
答案
② 合并同类项
先 化简
后 求值
先 化简
后 求值
解析
【分析】
本题考查整式加减的相关基础知识点，解题时可回忆整式加减的运算流程和化简求值的常规思路：首先整式加减运算时，去括号完成后下一步需要整理式子中的同类项；而化简求值类问题为了简化计算、减少错误，遵循先处理式子再代入数值的顺序，据此即可得出对应答案。
【解析】
1. 整式加减的运算步骤：首先根据去括号法则去掉式子中的括号，之后需要将式子中的同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项）进行合并，因此步骤②应填合并同类项。
2. 化简求值类问题的操作顺序：为了简化计算过程，降低运算错误率，需先将整式化简为最简形式，再将对应字母的取值代入化简后的式子计算结果，因此化简求值是先化简，后求值。
【答案】
合并同类项；化简；求值
【知识点】
整式加减步骤、合并同类项、化简求值规则
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要梳理整式加减的知识体系，是整式运算的基础内容，熟练掌握相关步骤是解决整式运算类题目的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查整式加减的相关基础知识点，解题时可回忆整式加减的运算流程和化简求值的常规思路：首先整式加减运算时，去括号完成后下一步需要整理式子中的同类项；而化简求值类问题为了简化计算、减少错误，遵循先处理式子再代入数值的顺序，据此即可得出对应答案。
【解析】
1. 整式加减的运算步骤：首先根据去括号法则去掉式子中的括号，之后需要将式子中的同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项）进行合并，因此步骤②应填合并同类项。
2. 化简求值类问题的操作顺序：为了简化计算过程，降低运算错误率，需先将整式化简为最简形式，再将对应字母的取值代入化简后的式子计算结果，因此化简求值是先化简，后求值。
【答案】
合并同类项；化简；求值
【知识点】
整式加减步骤、合并同类项、化简求值规则
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要梳理整式加减的知识体系，是整式运算的基础内容，熟练掌握相关步骤是解决整式运算类题目的前提。
【难度系数】
0.9
