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8. 如图,点 D 在△ABC 的边 BC 上,∠B = ∠BAD = ∠C,∠ADC =72°.求∠DAC 的度数. 
答案
8. 解:
∵ ∠B = ∠BAD, ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 72°,
∴ ∠B = ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠ADC = 36°.
∴ ∠C = ∠B = 36°.
∴ ∠DAC = 180° - ∠ADC - ∠C = 180° - 72° - 36° = 72°.
∵ ∠B = ∠BAD, ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 72°,
∴ ∠B = ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠ADC = 36°.
∴ ∠C = ∠B = 36°.
∴ ∠DAC = 180° - ∠ADC - ∠C = 180° - 72° - 36° = 72°.
解析
【分析】
解题时首先观察到∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，结合已知∠B=∠BAD，可先求出∠B和∠BAD的度数；再根据已知∠B=∠C得到∠C的度数，最后在△ADC中利用三角形内角和为180°，减去已知的∠ADC和∠C的度数，即可求出∠DAC的度数。
【解析】
解：
∵ ∠B = ∠BAD，∠ADC是△ABD的外角，∠ADC = ∠B + ∠BAD = 72°，
∴ ∠B = ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠ADC = $\frac{1}{2}$×72° = 36°，
又
∵ ∠B = ∠C，
∴ ∠C = 36°，
在△ADC中，根据三角形内角和为180°，
∴ ∠DAC = 180° - ∠ADC - ∠C = 180° - 72° - 36° = 72°。
【答案】
72°
【知识点】
三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题的关键是准确识别外角对应的内角关系，结合已知角的等量关系逐步推导，计算过程简单，侧重对基础性质的理解和应用。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，结合已知∠B=∠BAD，可先求出∠B和∠BAD的度数；再根据已知∠B=∠C得到∠C的度数，最后在△ADC中利用三角形内角和为180°，减去已知的∠ADC和∠C的度数，即可求出∠DAC的度数。
【解析】
解：
∵ ∠B = ∠BAD，∠ADC是△ABD的外角，∠ADC = ∠B + ∠BAD = 72°，
∴ ∠B = ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠ADC = $\frac{1}{2}$×72° = 36°，
又
∵ ∠B = ∠C，
∴ ∠C = 36°，
在△ADC中，根据三角形内角和为180°，
∴ ∠DAC = 180° - ∠ADC - ∠C = 180° - 72° - 36° = 72°。
【答案】
72°
【知识点】
三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题的关键是准确识别外角对应的内角关系，结合已知角的等量关系逐步推导，计算过程简单，侧重对基础性质的理解和应用。
【难度系数】
0.8
1. (2025 南充)如图,把含有$60°$的直角三角板斜边放在直线$l$上,则$∠ α$的度数是 (
A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
D
)A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先明确含60°的直角三角板的内角特征，结合平角的性质求解即可：第一步，根据三角形内角和为180°，先计算出三角板中与∠α相邻的锐角的度数；第二步，观察图形可知∠α和该锐角在直线l上组成平角，利用平角为180°的性质，即可求出∠α的度数。
【解析】
∵ 直角三角板的内角和为180°，且三角板含90°直角和60°角，
∴ 三角板中剩余的锐角度数为：$180° - 90° - 60° = 30°$，
又
∵ 直线l为平角，度数为$180°$，∠α与该30°角互为邻补角，
∴ $∠α = 180° - 30° = 150°$。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；平角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，解题的关键是熟悉直角三角板的角度特征，熟练运用平角的性质进行运算，是几何角度计算的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时先明确含60°的直角三角板的内角特征，结合平角的性质求解即可：第一步，根据三角形内角和为180°，先计算出三角板中与∠α相邻的锐角的度数；第二步，观察图形可知∠α和该锐角在直线l上组成平角，利用平角为180°的性质，即可求出∠α的度数。
【解析】
∵ 直角三角板的内角和为180°，且三角板含90°直角和60°角，
∴ 三角板中剩余的锐角度数为：$180° - 90° - 60° = 30°$，
又
∵ 直线l为平角，度数为$180°$，∠α与该30°角互为邻补角，
∴ $∠α = 180° - 30° = 150°$。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；平角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，解题的关键是熟悉直角三角板的角度特征，熟练运用平角的性质进行运算，是几何角度计算的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 如图，∠A，∠1，∠2 的大小关系是 （
A.∠A＞∠1＞∠2
B.∠2＞∠1＞∠A
C.∠A＞∠2＞∠1
D.∠2＞∠A＞∠1
B
）A.∠A＞∠1＞∠2
B.∠2＞∠1＞∠A
C.∠A＞∠2＞∠1
D.∠2＞∠A＞∠1
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角。首先观察三个角的位置：先判断∠2是包含∠1的小三角形的外角，可推出∠2大于∠1；再判断∠1是包含∠A的小三角形的外角，可推出∠1大于∠A，最后整合三个角的大小关系即可选出正确选项。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
① ∠1是左侧包含∠A的小三角形的外角，因此$∠ 1 ＞ ∠ A$；
② ∠2是下方包含∠1的小三角形的外角，因此$∠ 2 ＞ ∠ 1$；
综上可得$∠ 2 ＞ ∠ 1 ＞ ∠ A$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形外角性质的应用，解题关键是准确识别三角形的外角以及对应的不相邻内角，熟练掌握该性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角。首先观察三个角的位置：先判断∠2是包含∠1的小三角形的外角，可推出∠2大于∠1；再判断∠1是包含∠A的小三角形的外角，可推出∠1大于∠A，最后整合三个角的大小关系即可选出正确选项。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
① ∠1是左侧包含∠A的小三角形的外角，因此$∠ 1 ＞ ∠ A$；
② ∠2是下方包含∠1的小三角形的外角，因此$∠ 2 ＞ ∠ 1$；
综上可得$∠ 2 ＞ ∠ 1 ＞ ∠ A$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形外角性质的应用，解题关键是准确识别三角形的外角以及对应的不相邻内角，熟练掌握该性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 如图，直线$a // b$，$△ ABC$的顶点$C$在直线$b$上，若$∠ 1 = 43°$，$∠ 2 = 103°$，则$∠ A$的度数是（
A.$72°$
B.$50°$
C.$70°$
D.$60°$
D
）A.$72°$
B.$50°$
C.$70°$
D.$60°$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时先结合已知的平行线条件，利用平行线的性质得到与∠1相等的同位角；再观察∠2的位置，发现它是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，外角等于不相邻两个内角的和，将已知角度代入即可求出∠A的度数。
【解析】
∵ 直线$a // b$，根据两直线平行，同位角相等，可得与∠1同位的、直线b与AB相交形成的锐角等于$∠ 1=43°$。
又
∵ $∠ 2$是$△ ABC$的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ $∠ 2 = ∠ 1 + ∠ A$，
将$∠ 1=43°$，$∠ 2=103°$代入得：
$∠ A = ∠ 2 - ∠ 1 = 103° - 43° = 60°$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何角度计算的基础题型，解题关键是准确识别平行线形成的等角，以及三角形外角和内角的对应关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知的平行线条件，利用平行线的性质得到与∠1相等的同位角；再观察∠2的位置，发现它是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，外角等于不相邻两个内角的和，将已知角度代入即可求出∠A的度数。
【解析】
∵ 直线$a // b$，根据两直线平行，同位角相等，可得与∠1同位的、直线b与AB相交形成的锐角等于$∠ 1=43°$。
又
∵ $∠ 2$是$△ ABC$的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ $∠ 2 = ∠ 1 + ∠ A$，
将$∠ 1=43°$，$∠ 2=103°$代入得：
$∠ A = ∠ 2 - ∠ 1 = 103° - 43° = 60°$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何角度计算的基础题型，解题关键是准确识别平行线形成的等角，以及三角形外角和内角的对应关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4.如图,点B,C,D在同一条直线上,点E在AC上,∠A=70°,∠B=60°,∠D=20°,则∠CED的度数为
30°
.答案
4. 30°
解析
【分析】
要求∠CED的度数，首先观察∠CED在△CED中，已知∠D=20°，因此只需先求出∠ACD的度数即可。∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，外角等于和它不相邻的两个内角的和，可先求出∠ACD的度数，再利用三角形内角和为180°即可求出∠CED的度数。
【解析】
解：
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD = ∠A + ∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），
又
∵∠A=70°，∠B=60°，
∴∠ACD = 70° + 60° = 130°。
在△CED中，根据三角形内角和为180°可得：
∠CED = 180° - ∠ACD - ∠D，
代入∠ACD=130°，∠D=20°，
得∠CED = 180° - 130° - 20° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算题，解题核心是熟练运用三角形外角性质和内角和定理，找到已知角和未知角的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求∠CED的度数，首先观察∠CED在△CED中，已知∠D=20°，因此只需先求出∠ACD的度数即可。∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，外角等于和它不相邻的两个内角的和，可先求出∠ACD的度数，再利用三角形内角和为180°即可求出∠CED的度数。
【解析】
解：
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD = ∠A + ∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），
又
∵∠A=70°，∠B=60°，
∴∠ACD = 70° + 60° = 130°。
在△CED中，根据三角形内角和为180°可得：
∠CED = 180° - ∠ACD - ∠D，
代入∠ACD=130°，∠D=20°，
得∠CED = 180° - 130° - 20° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算题，解题核心是熟练运用三角形外角性质和内角和定理，找到已知角和未知角的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在△ABC中,∠C=80°,若沿图中虚线截去∠C,则∠1+∠2=
260°
. 答案
5. 260°
解析
【分析】
解题时可以分两步思考：第一步，先利用三角形内角和定理，求出△ABC中∠A与∠B的度数和；第二步，观察截去∠C后得到的图形是四边形，结合四边形内角和为360°的性质，用四边形内角和减去∠A与∠B的和，就能算出∠1+∠2的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ C=80°$，代入得：
$∠ A + ∠ B = 180° - 80° = 100°$
沿虚线截去∠C后，剩余图形为四边形，四边形内角和为$360°$，即：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ A + ∠ B = 360°$
将$∠ A + ∠ B = 100°$代入上式：
$∠ 1 + ∠ 2 = 360° - 100° = 260°$
【答案】
$260°$
【知识点】
三角形内角和定理；四边形内角和
【点评】
本题是内角和定理的基础应用题型，解题的核心是准确判断截角后剩余图形的类型，结合对应图形的内角和公式计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时可以分两步思考：第一步，先利用三角形内角和定理，求出△ABC中∠A与∠B的度数和；第二步，观察截去∠C后得到的图形是四边形，结合四边形内角和为360°的性质，用四边形内角和减去∠A与∠B的和，就能算出∠1+∠2的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ C=80°$，代入得：
$∠ A + ∠ B = 180° - 80° = 100°$
沿虚线截去∠C后，剩余图形为四边形，四边形内角和为$360°$，即：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ A + ∠ B = 360°$
将$∠ A + ∠ B = 100°$代入上式：
$∠ 1 + ∠ 2 = 360° - 100° = 260°$
【答案】
$260°$
【知识点】
三角形内角和定理；四边形内角和
【点评】
本题是内角和定理的基础应用题型，解题的核心是准确判断截角后剩余图形的类型，结合对应图形的内角和公式计算即可。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在$△ ABC$中,CE是外角$∠ ACD$的平分线,BE是$∠ ABC$的平分线.
(1)求证:$∠ A=2∠ E$;
(2)若$∠ A=∠ ABC$,求证:$AB// CE$.
(1)求证:$∠ A=2∠ E$;
(2)若$∠ A=∠ ABC$,求证:$AB// CE$.
答案
6. 证明:(1)$\because ∠ACD$是$△ABC$的一个外角,$∠2$是$△BCE$的一个外角,
$\therefore ∠ACD=∠ABC+∠A,∠2=∠1+∠E$.
$\therefore ∠A=∠ACD-∠ABC,∠E=∠2-∠1$.
$\because CE$是$∠ACD$的平分线,$BE$是$∠ABC$的平分线,
$\therefore ∠ACD=2∠2,∠ABC=2∠1$.
$\therefore ∠A=2∠2-2∠1=2(∠2-∠1)=2∠E$.
(2)由(1)可知$∠A=2∠E$.
$\because ∠A=∠ABC,∠ABC=2∠ABE$,
$\therefore 2∠E=2∠ABE$,即$∠E=∠ABE. \therefore AB// CE$.
$\therefore ∠ACD=∠ABC+∠A,∠2=∠1+∠E$.
$\therefore ∠A=∠ACD-∠ABC,∠E=∠2-∠1$.
$\because CE$是$∠ACD$的平分线,$BE$是$∠ABC$的平分线,
$\therefore ∠ACD=2∠2,∠ABC=2∠1$.
$\therefore ∠A=2∠2-2∠1=2(∠2-∠1)=2∠E$.
(2)由(1)可知$∠A=2∠E$.
$\because ∠A=∠ABC,∠ABC=2∠ABE$,
$\therefore 2∠E=2∠ABE$,即$∠E=∠ABE. \therefore AB// CE$.
解析
【分析】
（1）要证明∠A=2∠E，首先借助三角形外角的性质，分别得到△ABC的外角∠ACD与内角的关系、△BCE的外角∠2与内角的关系；再结合角平分线的定义，将∠ACD、∠ABC用平分后的角表示，代入外角关系式做等量代换，即可推导出∠A和∠E的数量关系。
（2）要证明AB//CE，可通过证明内错角相等判定平行。结合（1）得到的∠A=2∠E，利用已知条件∠A=∠ABC，以及BE是∠ABC的平分线可得∠ABC=2∠ABE，经过等量代换推出内错角∠E=∠ABE，即可证明两直线平行。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角，∠2是△BCE的一个外角，
∴ ∠ACD = ∠ABC + ∠A，∠2 = ∠1 + ∠E，
∴ ∠A = ∠ACD - ∠ABC，∠E = ∠2 - ∠1。
∵ CE是∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线，
∴ ∠ACD = 2∠2，∠ABC = 2∠1，
∴ ∠A = 2∠2 - 2∠1 = 2(∠2 - ∠1) = 2∠E。
(2) 证明：
由(1)可知∠A = 2∠E，
∵ ∠A = ∠ABC，且BE是∠ABC的平分线，
∴ ∠ABC = 2∠ABE，
∴ 2∠E = 2∠ABE，即∠E = ∠ABE，
∴ AB//CE。
【答案】
(1) ∠A=2∠E，得证；
(2) AB//CE，得证。
【知识点】
三角形外角性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，综合考查了三角形外角性质、角平分线定义和平行线判定定理的应用，解题的关键是理清角之间的等量关系，通过逐步代换推导所需结论，对培养逻辑推理能力有较好的帮助。
【难度系数】
0.7
（1）要证明∠A=2∠E，首先借助三角形外角的性质，分别得到△ABC的外角∠ACD与内角的关系、△BCE的外角∠2与内角的关系；再结合角平分线的定义，将∠ACD、∠ABC用平分后的角表示，代入外角关系式做等量代换，即可推导出∠A和∠E的数量关系。
（2）要证明AB//CE，可通过证明内错角相等判定平行。结合（1）得到的∠A=2∠E，利用已知条件∠A=∠ABC，以及BE是∠ABC的平分线可得∠ABC=2∠ABE，经过等量代换推出内错角∠E=∠ABE，即可证明两直线平行。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角，∠2是△BCE的一个外角，
∴ ∠ACD = ∠ABC + ∠A，∠2 = ∠1 + ∠E，
∴ ∠A = ∠ACD - ∠ABC，∠E = ∠2 - ∠1。
∵ CE是∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线，
∴ ∠ACD = 2∠2，∠ABC = 2∠1，
∴ ∠A = 2∠2 - 2∠1 = 2(∠2 - ∠1) = 2∠E。
(2) 证明：
由(1)可知∠A = 2∠E，
∵ ∠A = ∠ABC，且BE是∠ABC的平分线，
∴ ∠ABC = 2∠ABE，
∴ 2∠E = 2∠ABE，即∠E = ∠ABE，
∴ AB//CE。
【答案】
(1) ∠A=2∠E，得证；
(2) AB//CE，得证。
【知识点】
三角形外角性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，综合考查了三角形外角性质、角平分线定义和平行线判定定理的应用，解题的关键是理清角之间的等量关系，通过逐步代换推导所需结论，对培养逻辑推理能力有较好的帮助。
【难度系数】
0.7
