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1. 下列各图中，$∠ 1$是$△ ABC$的外角的是（
A
B
C
D
D
）A
B
C
D
答案
1. D
解析
【分析】
要判断∠1是不是△ABC的外角，首先要牢记三角形外角的定义：三角形的外角是三角形的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，需要满足三个特征：①顶点是三角形的一个顶点；②其中一条边是三角形的一条边；③另一条边是三角形某条边的延长线。接下来我们对照这三个特征逐一分析四个选项即可得出答案。
【解析】
结合三角形外角的定义逐个判断：
选项A：∠1的顶点不是△ABC的三个顶点（A、B、C），不符合外角的顶点要求，不是△ABC的外角；
选项B：∠1的顶点是点A，但∠1的两条边均不是△ABC边的延长线，它是与∠BAC共顶点的独立角，不符合外角定义，不是△ABC的外角；
选项C：∠1的顶点是点C，其中一条边是△ABC的边AC，但另一条边不是△ABC边BC的延长线，不符合外角定义，不是△ABC的外角；
选项D：∠1的顶点是点B，其中一条边是△ABC的边AB的延长线，另一条边是△ABC的边BC，满足三角形外角的所有特征，是△ABC的外角。
【答案】
D
【知识点】
三角形的外角定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握三角形外角的三个特征，避免混淆角的位置和边的属性。
【难度系数】
0.8
要判断∠1是不是△ABC的外角，首先要牢记三角形外角的定义：三角形的外角是三角形的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，需要满足三个特征：①顶点是三角形的一个顶点；②其中一条边是三角形的一条边；③另一条边是三角形某条边的延长线。接下来我们对照这三个特征逐一分析四个选项即可得出答案。
【解析】
结合三角形外角的定义逐个判断：
选项A：∠1的顶点不是△ABC的三个顶点（A、B、C），不符合外角的顶点要求，不是△ABC的外角；
选项B：∠1的顶点是点A，但∠1的两条边均不是△ABC边的延长线，它是与∠BAC共顶点的独立角，不符合外角定义，不是△ABC的外角；
选项C：∠1的顶点是点C，其中一条边是△ABC的边AC，但另一条边不是△ABC边BC的延长线，不符合外角定义，不是△ABC的外角；
选项D：∠1的顶点是点B，其中一条边是△ABC的边AB的延长线，另一条边是△ABC的边BC，满足三角形外角的所有特征，是△ABC的外角。
【答案】
D
【知识点】
三角形的外角定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握三角形外角的三个特征，避免混淆角的位置和边的属性。
【难度系数】
0.8
3.【例1】求下列图中的角度x.
$x =$
$x =$
$x =$
$x =$
80
°$x =$
35
°$x =$
40
°答案
3. 80 35 40
解析
【分析】
求解此类角度计算问题，可优先利用三角形外角性质简化计算：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，也可结合三角形内角和为180°、平角为180°的性质计算。
①第一个图：x是三角形的外角，对应两个不相邻的内角分别为45°和35°，直接用外角性质求和即可得x；
②第二个图：125°是直角三角形的外角，对应不相邻的内角为x和90°直角，用外角减去90°即可得x；
③第三个图：80°是三角形的外角，对应不相邻的两个内角均为x，列等式求解即可得x。
【解析】
1. 第一个图：根据三角形外角的性质，外角等于不相邻两内角之和，得
$x=45°+35°=80°$
2. 第二个图：125°为直角三角形的外角，根据外角性质可得
$x=125°-90°=35°$
（或先求125°的邻补角为$180°-125°=55°$，再根据直角三角形两锐角互余得$x=90°-55°=35°$）
3. 第三个图：80°为三角形的外角，两个不相邻内角均为x，根据外角性质得
$x+x=80°$
解得$x=40°$
【答案】
80；35；40
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理；邻补角定义
【点评】
本题是基础的三角形角度计算题型，熟练掌握三角形外角性质可大幅提升解题效率，注意运用外角性质时要准确识别外角对应的不相邻内角，避免出错。
【难度系数】
0.8
求解此类角度计算问题，可优先利用三角形外角性质简化计算：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，也可结合三角形内角和为180°、平角为180°的性质计算。
①第一个图：x是三角形的外角，对应两个不相邻的内角分别为45°和35°，直接用外角性质求和即可得x；
②第二个图：125°是直角三角形的外角，对应不相邻的内角为x和90°直角，用外角减去90°即可得x；
③第三个图：80°是三角形的外角，对应不相邻的两个内角均为x，列等式求解即可得x。
【解析】
1. 第一个图：根据三角形外角的性质，外角等于不相邻两内角之和，得
$x=45°+35°=80°$
2. 第二个图：125°为直角三角形的外角，根据外角性质可得
$x=125°-90°=35°$
（或先求125°的邻补角为$180°-125°=55°$，再根据直角三角形两锐角互余得$x=90°-55°=35°$）
3. 第三个图：80°为三角形的外角，两个不相邻内角均为x，根据外角性质得
$x+x=80°$
解得$x=40°$
【答案】
80；35；40
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理；邻补角定义
【点评】
本题是基础的三角形角度计算题型，熟练掌握三角形外角性质可大幅提升解题效率，注意运用外角性质时要准确识别外角对应的不相邻内角，避免出错。
【难度系数】
0.8
2. 如图，∠A=32°，∠B=40°，则 ∠ACB = 
108
°，∠ACD = 72
°。发现∠ACD 与 ∠A，∠B 的关系为 ∠ACD = ∠A + ∠B
。答案
2. 108 72 ∠A + ∠B
解析
【分析】
首先求∠ACB时，可利用三角形内角和为180°的性质，已知△ABC中两个内角∠A和∠B的度数，用180°减去这两个角的度数即可得到∠ACB的度数。接下来求∠ACD，观察图形可知B、C、D共线，∠ACB和∠ACD组成平角，和为180°，用180°减去∠ACB的度数就能得到∠ACD的度数；最后对比∠ACD的度数和∠A、∠B的度数和，即可总结出二者的关系。
【解析】
1. 计算∠ACB的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 32° - 40° = 108°$
2. 计算∠ACD的度数：
∵点B、C、D在同一直线上，$∠ ACB$与$∠ ACD$互为邻补角，和为$180°$
∴$∠ ACD = 180° - ∠ ACB = 180° - 108° = 72°$
3. 探究$∠ ACD$与$∠ A$、$∠ B$的关系：
计算可得$∠ A + ∠ B = 32° + 40° = 72°$，和$∠ ACD$的度数相等，因此$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$
【答案】
108；72；$∠ A + ∠ B$
【知识点】
三角形内角和定理；平角的性质；三角形外角性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，主要考察三角形内角和及外角的基本性质，熟练掌握相关定理即可快速求解，同时能帮助大家直观理解三角形外角的相关规律。
【难度系数】
0.9
首先求∠ACB时，可利用三角形内角和为180°的性质，已知△ABC中两个内角∠A和∠B的度数，用180°减去这两个角的度数即可得到∠ACB的度数。接下来求∠ACD，观察图形可知B、C、D共线，∠ACB和∠ACD组成平角，和为180°，用180°减去∠ACB的度数就能得到∠ACD的度数；最后对比∠ACD的度数和∠A、∠B的度数和，即可总结出二者的关系。
【解析】
1. 计算∠ACB的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 32° - 40° = 108°$
2. 计算∠ACD的度数：
∵点B、C、D在同一直线上，$∠ ACB$与$∠ ACD$互为邻补角，和为$180°$
∴$∠ ACD = 180° - ∠ ACB = 180° - 108° = 72°$
3. 探究$∠ ACD$与$∠ A$、$∠ B$的关系：
计算可得$∠ A + ∠ B = 32° + 40° = 72°$，和$∠ ACD$的度数相等，因此$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$
【答案】
108；72；$∠ A + ∠ B$
【知识点】
三角形内角和定理；平角的性质；三角形外角性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，主要考察三角形内角和及外角的基本性质，熟练掌握相关定理即可快速求解，同时能帮助大家直观理解三角形外角的相关规律。
【难度系数】
0.9
归纳 三角形的外角的性质:三角形的外角等于
与它不相邻的两个内角的和
.答案
归纳 与它不相邻的两个内角的和
解析
【分析】
我们可以结合已学的邻补角性质、三角形内角和定理来推导三角形外角的性质：首先明确三角形的外角是三角形的一边与另一边的延长线组成的角，它和相邻的内角互为邻补角，和为180°；同时三角形三个内角的和也为180°，通过等量代换就能得出外角和另外两个不相邻内角的关系，推导过程中要注意区分“相邻”和“不相邻”的内角，避免概念混淆。
【解析】
我们通过以下步骤推导性质：
设△ABC中，∠ACD是△ABC的一个外角，点D在BC的延长线上：
1. 由邻补角的定义可得：$∠ ACB + ∠ ACD = 180°$；
2. 由三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$；
3. 联立两个等式，消去$∠ ACB$，可得$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$。
由此可归纳出三角形外角的性质。
【答案】
与它不相邻的两个内角的和
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形外角的基础性质，是后续几何角度计算、证明的常用核心结论，记忆时要注意“不相邻”的关键限定，不能随意省略。
【难度系数】
0.9
我们可以结合已学的邻补角性质、三角形内角和定理来推导三角形外角的性质：首先明确三角形的外角是三角形的一边与另一边的延长线组成的角，它和相邻的内角互为邻补角，和为180°；同时三角形三个内角的和也为180°，通过等量代换就能得出外角和另外两个不相邻内角的关系，推导过程中要注意区分“相邻”和“不相邻”的内角，避免概念混淆。
【解析】
我们通过以下步骤推导性质：
设△ABC中，∠ACD是△ABC的一个外角，点D在BC的延长线上：
1. 由邻补角的定义可得：$∠ ACB + ∠ ACD = 180°$；
2. 由三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$；
3. 联立两个等式，消去$∠ ACB$，可得$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$。
由此可归纳出三角形外角的性质。
【答案】
与它不相邻的两个内角的和
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形外角的基础性质，是后续几何角度计算、证明的常用核心结论，记忆时要注意“不相邻”的关键限定，不能随意省略。
【难度系数】
0.9
4. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ C$与$∠ B$的外角度数如图所示，则$x$的值是（
A.80
B.70
C.65
D.60
B
）A.80
B.70
C.65
D.60
答案
4. B
解析
【分析】
解题时可利用三角形外角的性质求解：首先明确三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，观察图形可知∠B处的外角为$(x+65)°$，和它不相邻的两个内角是$∠ A=(x-5)°$、$∠ C=x°$，据此列一元一次方程即可求出x的值。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可列方程：
$x + 65 = (x - 5) + x$
化简方程得：
$x + 65 = 2x - 5$
移项计算得：
$2x - x = 65 + 5$
$x = 70$
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是三角形外角性质的基础应用题型，解题核心是准确识别外角对应的不相邻内角，通过列方程计算即可得到结果，是三角形章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
解题时可利用三角形外角的性质求解：首先明确三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，观察图形可知∠B处的外角为$(x+65)°$，和它不相邻的两个内角是$∠ A=(x-5)°$、$∠ C=x°$，据此列一元一次方程即可求出x的值。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可列方程：
$x + 65 = (x - 5) + x$
化简方程得：
$x + 65 = 2x - 5$
移项计算得：
$2x - x = 65 + 5$
$x = 70$
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是三角形外角性质的基础应用题型，解题核心是准确识别外角对应的不相邻内角，通过列方程计算即可得到结果，是三角形章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
5.【例2】(人教八上$P_{17}$习题$T_{6}$改编)如图，$AB// CD$，$∠ A=50°$，$∠ C=∠ E$，求$∠ C$的度数.
答案
5. 解:
∵ AB//CD, ∠A = 50°,
∴ ∠DFE = ∠A = 50°.
∵ ∠C = ∠E, ∠DFE = ∠C + ∠E,
∴ ∠C = ∠E = $\frac{1}{2}$∠DFE = $\frac{1}{2}$×50° = 25°.
∵ AB//CD, ∠A = 50°,
∴ ∠DFE = ∠A = 50°.
∵ ∠C = ∠E, ∠DFE = ∠C + ∠E,
∴ ∠C = ∠E = $\frac{1}{2}$∠DFE = $\frac{1}{2}$×50° = 25°.
解析
【分析】
解题时先从已知条件$AB// CD$入手，根据平行线的同位角相等性质，可得到$∠ DFE$与$∠ A$相等；再观察$∠ DFE$的位置，它是$△ CEF$的外角，依据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，结合已知$∠ C=∠ E$，可推出$∠ DFE$等于2倍的$∠ C$，代入角度计算即可求出$∠ C$的度数。
【解析】
$\because AB// CD$，$∠ A=50°$，
$\therefore ∠ DFE=∠ A=50°$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠ DFE$是$△ CEF$的外角，
$\therefore ∠ DFE=∠ C+∠ E$，
又$\because ∠ C=∠ E$，
$\therefore 2∠ C=50°$，
$\therefore ∠ C=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是熟练运用平行线性质和三角形外角性质找到角度间的数量关系，只要掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件$AB// CD$入手，根据平行线的同位角相等性质，可得到$∠ DFE$与$∠ A$相等；再观察$∠ DFE$的位置，它是$△ CEF$的外角，依据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，结合已知$∠ C=∠ E$，可推出$∠ DFE$等于2倍的$∠ C$，代入角度计算即可求出$∠ C$的度数。
【解析】
$\because AB// CD$，$∠ A=50°$，
$\therefore ∠ DFE=∠ A=50°$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠ DFE$是$△ CEF$的外角，
$\therefore ∠ DFE=∠ C+∠ E$，
又$\because ∠ C=∠ E$，
$\therefore 2∠ C=50°$，
$\therefore ∠ C=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是熟练运用平行线性质和三角形外角性质找到角度间的数量关系，只要掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
6.（人教八上P₁₇习题T₅改编）如图，AB//CD，∠A=42°，∠D=45°，求∠1和∠C.
答案
6. 解:
∵ AB//CD,
∴ ∠A = ∠C.
∵ ∠A = 42°,
∴ ∠C = 42°.
∵ ∠D = 45°,
∴ ∠1 = ∠D + ∠C = 45° + 42° = 87°.
∵ AB//CD,
∴ ∠A = ∠C.
∵ ∠A = 42°,
∴ ∠C = 42°.
∵ ∠D = 45°,
∴ ∠1 = ∠D + ∠C = 45° + 42° = 87°.
解析
【分析】
解题时先从已知条件AB//CD入手，回忆平行线的性质：两直线平行，内错角相等，观察可得∠A和∠C是AB、CD被AC所截形成的内错角，因此可先求出∠C的度数。再观察∠1的位置，它是含∠D、∠C的三角形的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入∠D和∠C的度数即可求出∠1的度数。
【解析】
解:
∵ AB//CD,
∴ ∠A = ∠C.
∵ ∠A = 42°,
∴ ∠C = 42°.
∵ ∠D = 45°,
∴ ∠1 = ∠D + ∠C = 45° + 42° = 87°.
【答案】
∠C=42°，∠1=87°
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，重点考查平行线性质和三角形外角性质的结合运用，解题的核心是准确识别内错角、外角对应的内角关系，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件AB//CD入手，回忆平行线的性质：两直线平行，内错角相等，观察可得∠A和∠C是AB、CD被AC所截形成的内错角，因此可先求出∠C的度数。再观察∠1的位置，它是含∠D、∠C的三角形的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入∠D和∠C的度数即可求出∠1的度数。
【解析】
解:
∵ AB//CD,
∴ ∠A = ∠C.
∵ ∠A = 42°,
∴ ∠C = 42°.
∵ ∠D = 45°,
∴ ∠1 = ∠D + ∠C = 45° + 42° = 87°.
【答案】
∠C=42°，∠1=87°
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，重点考查平行线性质和三角形外角性质的结合运用，解题的核心是准确识别内错角、外角对应的内角关系，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7.【例3】如图,在△ABC中,点D在AB上,∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=80°,求∠ACB的度数. 
答案
7. 解:
∵ ∠2 = ∠3 + ∠4, ∠3 = ∠4,
∴ ∠2 = 2∠3.
∵ ∠1 = ∠2,
∴ ∠1 = 2∠3.
∵ ∠5 + ∠3 + ∠1 + ∠4 = 180°, ∠5 = 80°,
∴ 80° + ∠3 + 2∠3 + ∠3 = 180°,即4∠3 = 100°.
∴ ∠3 = 25°.
∴ ∠ACB = ∠5 + ∠3 = 80° + 25° = 105°.
∵ ∠2 = ∠3 + ∠4, ∠3 = ∠4,
∴ ∠2 = 2∠3.
∵ ∠1 = ∠2,
∴ ∠1 = 2∠3.
∵ ∠5 + ∠3 + ∠1 + ∠4 = 180°, ∠5 = 80°,
∴ 80° + ∠3 + 2∠3 + ∠3 = 180°,即4∠3 = 100°.
∴ ∠3 = 25°.
∴ ∠ACB = ∠5 + ∠3 = 80° + 25° = 105°.
解析
【分析】
解题时首先观察到∠2是△BCD的外角，优先运用三角形外角性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，得到∠2和∠3、∠4的关系；再结合题目给出的∠3=∠4、∠1=∠2的条件，将∠1、∠2都用∠3表示，减少未知量的个数。接着利用三角形内角和定理，将所有角替换为用∠3表示的形式，代入已知∠5=80°的条件列方程求出∠3的度数，最后结合∠ACB=∠5+∠3即可算出结果。
【解析】
解：
∵ ∠2是△BCD的外角，
∴ ∠2 = ∠3 + ∠4，
又
∵ ∠3 = ∠4，
∴ ∠2 = 2∠3。
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1 = 2∠3。
∵ △ABC的内角和为180°，即∠1+∠4+∠ACB=180°，且∠ACB=∠5+∠3，
将∠1=2∠3、∠4=∠3、∠5=80°代入得：
80° + ∠3 + 2∠3 + ∠3 = 180°，即4∠3 = 100°，
解得 ∠3 = 25°。
∴ ∠ACB = ∠5 + ∠3 = 80° + 25° = 105°。
【答案】
105°
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，等量代换
【点评】
本题属于基础的几何角度计算题，解题关键是通过外角性质和已知角的等量关系，将多个未知角统一为同一个未知角表示，结合内角和定理列方程求解，能有效考查学生对三角形角度相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到∠2是△BCD的外角，优先运用三角形外角性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，得到∠2和∠3、∠4的关系；再结合题目给出的∠3=∠4、∠1=∠2的条件，将∠1、∠2都用∠3表示，减少未知量的个数。接着利用三角形内角和定理，将所有角替换为用∠3表示的形式，代入已知∠5=80°的条件列方程求出∠3的度数，最后结合∠ACB=∠5+∠3即可算出结果。
【解析】
解：
∵ ∠2是△BCD的外角，
∴ ∠2 = ∠3 + ∠4，
又
∵ ∠3 = ∠4，
∴ ∠2 = 2∠3。
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1 = 2∠3。
∵ △ABC的内角和为180°，即∠1+∠4+∠ACB=180°，且∠ACB=∠5+∠3，
将∠1=2∠3、∠4=∠3、∠5=80°代入得：
80° + ∠3 + 2∠3 + ∠3 = 180°，即4∠3 = 100°，
解得 ∠3 = 25°。
∴ ∠ACB = ∠5 + ∠3 = 80° + 25° = 105°。
【答案】
105°
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，等量代换
【点评】
本题属于基础的几何角度计算题，解题关键是通过外角性质和已知角的等量关系，将多个未知角统一为同一个未知角表示，结合内角和定理列方程求解，能有效考查学生对三角形角度相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
