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(人教八上$P_{19}$数学活动2改编)探究性学习:
【问题提出】三条线段首尾顺次相接组成三角形.类似地,多条线段首尾顺次相接就组成多边形.容易发现,三角形是最简单的多边形,那么任意一个多边形是否都能分割成三角形呢?
【问题探究】观察
,填写下表,并寻找规律:
| 多边形的边数 | 3 | 4 | 5 | 6 | … | n |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 分成的三角形的个数 | 1 |
【问题迁移】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段(这些线段不在多边形内部相交)划分为若干个三角形,叫作多边形的三角剖分.
给出了七边形的三角剖分的几种方法.
(1)将一个四边形进行三角剖分,你有多少种剖分方法?五边形呢?画图说明所有的三角剖分方法.
(2)1751年,瑞士数学家欧拉(Euler,1707—1783)向德国-俄国数学家哥德巴赫(Goldbach,1690—1764)提出了一个n边形的三角剖分有多少种不同方法的问题,并归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数($D_n$)的公式.后来数学家发现并证明:当$n≥3$时,$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n -6}{n}(D_3=1)$.请你利用上述公式,验证你前面得到的结果,并计算六边形、七边形的三角剖分方法数.
【问题提出】三条线段首尾顺次相接组成三角形.类似地,多条线段首尾顺次相接就组成多边形.容易发现,三角形是最简单的多边形,那么任意一个多边形是否都能分割成三角形呢?
【问题探究】观察
,填写下表,并寻找规律:| 多边形的边数 | 3 | 4 | 5 | 6 | … | n |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 分成的三角形的个数 | 1 |
2
| 3
| 4
| … | $n-2$
|【问题迁移】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段(这些线段不在多边形内部相交)划分为若干个三角形,叫作多边形的三角剖分.
给出了七边形的三角剖分的几种方法.(1)将一个四边形进行三角剖分,你有多少种剖分方法?五边形呢?画图说明所有的三角剖分方法.
(2)1751年,瑞士数学家欧拉(Euler,1707—1783)向德国-俄国数学家哥德巴赫(Goldbach,1690—1764)提出了一个n边形的三角剖分有多少种不同方法的问题,并归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数($D_n$)的公式.后来数学家发现并证明:当$n≥3$时,$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n -6}{n}(D_3=1)$.请你利用上述公式,验证你前面得到的结果,并计算六边形、七边形的三角剖分方法数.
答案
【问题探究】2 3 4 $n-2$
【问题迁移】(1)将一个四边形进行三角剖分有2种方法，五边形进行三角剖分有5种方法，所有剖分方法见
。(2)当$n=3$时,$\frac{D_4}{D_3}=\frac{4×3-6}{3}=2$,$\therefore D_4=2$.
当$n=4$时,$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4-6}{4}=\frac{5}{2}$,$\therefore D_5=5$.
$\therefore$ 与前边得到的结果相同.
当$n=5$时,$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5-6}{5}=\frac{14}{5}$,$\therefore D_6=14$.
当$n=6$时,$\frac{D_7}{D_6}=\frac{4×6-6}{6}=3$,$\therefore D_7=42$.
$\therefore$ 六边形、七边形的三角剖分方法数分别是14,42.
解析
【分析】
问题探究部分可通过从多边形一个顶点引对角线的方法找规律：从n边形的一个顶点出发，可引(n-3)条对角线，将多边形分成的三角形个数比对角线条数多1，因此边数为4、5、6时对应的三角形个数分别是2、3、4，n边形对应个数为n-2。
问题迁移(1)四边形三角剖分即连接不相邻顶点，四边形共有2条对角线，对应2种剖分方法；五边形枚举所有不相交的对角线连接方式，可得5种剖分方法。
(2)题目给出递推公式和$D_3=1$的初始条件，只需依次代入n=3、4验证前序结果，再代入n=5、6即可算出六边形、七边形的剖分方法数。
【解析】
问题探究
四边形边数为4，从一个顶点引1条对角线，分成2个三角形；五边形边数为5，从一个顶点引2条对角线，分成3个三角形；六边形边数为6，从一个顶点引3条对角线，分成4个三角形；推广到n边形，从一个顶点引(n-3)条对角线，可分成(n-2)个三角形。
问题迁移
(1) 四边形的不相邻顶点有2组，连接任意一组即可完成三角剖分，因此共有2种剖分方法；五边形枚举所有内部不相交的对角线连接划分三角形的方式，共得到5种剖分方法。
(2) 已知$D_3=1$，$n≥3$时$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n -6}{n}$：
先验证前序结果：代入$n=3$可得$\frac{D_4}{D_3}=2$，因此$D_4=2$，和四边形剖分结果一致；代入$n=4$可得$\frac{D_5}{D_4}=\frac{5}{2}$，因此$D_5=5$，和五边形剖分结果一致。
再计算六边形、七边形的剖分方法数：代入$n=5$可得$\frac{D_6}{D_5}=\frac{14}{5}$，因此$D_6=14$；代入$n=6$可得$\frac{D_7}{D_6}=3$，因此$D_7=42$。
【答案】
【问题探究】2 3 4 $n-2$
【问题迁移】(1)将一个四边形进行三角剖分有2种方法，五边形进行三角剖分有5种方法，所有剖分方法见。
(2)当$n=3$时,$\frac{D_4}{D_3}=\frac{4×3-6}{3}=2$,$\therefore D_4=2$.
当$n=4$时,$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4-6}{4}=\frac{5}{2}$,$\therefore D_5=5$.
$\therefore$ 与前边得到的结果相同.
当$n=5$时,$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5-6}{5}=\frac{14}{5}$,$\therefore D_6=14$.
当$n=6$时,$\frac{D_7}{D_6}=\frac{4×6-6}{6}=3$,$\therefore D_7=42$.
$\therefore$ 六边形、七边形的三角剖分方法数分别是14,42.
【知识点】
多边形的对角线；规律探究；递推计算
【点评】
本题以多边形的三角剖分为探究载体，从基础的分割三角形规律入手，逐步延伸到剖分方法数的计算，既考查了多边形的基本性质，也锻炼了规律归纳和公式应用的能力，探究性较强。
【难度系数】
0.65
问题探究部分可通过从多边形一个顶点引对角线的方法找规律：从n边形的一个顶点出发，可引(n-3)条对角线，将多边形分成的三角形个数比对角线条数多1，因此边数为4、5、6时对应的三角形个数分别是2、3、4，n边形对应个数为n-2。
问题迁移(1)四边形三角剖分即连接不相邻顶点，四边形共有2条对角线，对应2种剖分方法；五边形枚举所有不相交的对角线连接方式，可得5种剖分方法。
(2)题目给出递推公式和$D_3=1$的初始条件，只需依次代入n=3、4验证前序结果，再代入n=5、6即可算出六边形、七边形的剖分方法数。
【解析】
问题探究
四边形边数为4，从一个顶点引1条对角线，分成2个三角形；五边形边数为5，从一个顶点引2条对角线，分成3个三角形；六边形边数为6，从一个顶点引3条对角线，分成4个三角形；推广到n边形，从一个顶点引(n-3)条对角线，可分成(n-2)个三角形。
问题迁移
(1) 四边形的不相邻顶点有2组，连接任意一组即可完成三角剖分，因此共有2种剖分方法；五边形枚举所有内部不相交的对角线连接划分三角形的方式，共得到5种剖分方法。
(2) 已知$D_3=1$，$n≥3$时$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n -6}{n}$：
先验证前序结果：代入$n=3$可得$\frac{D_4}{D_3}=2$，因此$D_4=2$，和四边形剖分结果一致；代入$n=4$可得$\frac{D_5}{D_4}=\frac{5}{2}$，因此$D_5=5$，和五边形剖分结果一致。
再计算六边形、七边形的剖分方法数：代入$n=5$可得$\frac{D_6}{D_5}=\frac{14}{5}$，因此$D_6=14$；代入$n=6$可得$\frac{D_7}{D_6}=3$，因此$D_7=42$。
【答案】
【问题探究】2 3 4 $n-2$
【问题迁移】(1)将一个四边形进行三角剖分有2种方法，五边形进行三角剖分有5种方法，所有剖分方法见
。(2)当$n=3$时,$\frac{D_4}{D_3}=\frac{4×3-6}{3}=2$,$\therefore D_4=2$.
当$n=4$时,$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4-6}{4}=\frac{5}{2}$,$\therefore D_5=5$.
$\therefore$ 与前边得到的结果相同.
当$n=5$时,$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5-6}{5}=\frac{14}{5}$,$\therefore D_6=14$.
当$n=6$时,$\frac{D_7}{D_6}=\frac{4×6-6}{6}=3$,$\therefore D_7=42$.
$\therefore$ 六边形、七边形的三角剖分方法数分别是14,42.
【知识点】
多边形的对角线；规律探究；递推计算
【点评】
本题以多边形的三角剖分为探究载体，从基础的分割三角形规律入手，逐步延伸到剖分方法数的计算，既考查了多边形的基本性质，也锻炼了规律归纳和公式应用的能力，探究性较强。
【难度系数】
0.65
