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5.【例3】(人教八上$\mathrm{P}_{147}$例3改编)老王家种植两块正方形土地,边长分别为$a$米和$b$米($a≠b$),老李家种植一块长方形土地,长为$2a$米,宽为$b$米.他们种的都是花生,并且总产量相同,试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？
答案
5. 解:设花生的总产量是1.
$\frac{1}{a^2 +b^2} ÷ \frac{1}{2ab} = \frac{2ab}{a^2 +b^2}.$
答:老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的$\frac{2ab}{a^2 +b^2}$倍.
$\frac{1}{a^2 +b^2} ÷ \frac{1}{2ab} = \frac{2ab}{a^2 +b^2}.$
答:老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的$\frac{2ab}{a^2 +b^2}$倍.
解析
【分析】
要解决本题，首先明确核心公式：单位面积产量=总产量÷种植面积。因为两家花生产量相同，我们可设总产量为1（设为任意相等的量都不影响最终结果，设为1计算最简便）。第一步先计算两家的种植面积：老王家两块正方形土地总面积为两个正方形面积之和，老李家长方形土地面积为长乘宽；第二步分别求出两家的单位面积产量；第三步求倍数关系，用老王家的单位面积产量除以老李家的单位面积产量，再根据分式除法法则计算即可。
【解析】
设花生的总产量是1。
老王家种植总面积：$S_王 = a^2 + b^2$，单位面积产量为$\frac{1}{a^2 + b^2}$；
老李家种植总面积：$S_李 = 2a × b = 2ab$，单位面积产量为$\frac{1}{2ab}$；
则老王家单位面积产量是老李家的倍数为：
$\frac{1}{a^2 +b^2} ÷ \frac{1}{2ab} = \frac{1}{a^2 +b^2} × 2ab = \frac{2ab}{a^2 +b^2}$
【答案】
老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的$\frac{2ab}{a^2 +b^2}$倍。
【知识点】
1. 分式的除法运算
2. 图形面积计算
3. 分式实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查分式运算的应用，解题的关键是理清单位面积产量、总产量、种植面积三者的关系，合理设总产量为1简化计算，运算时要牢记分式除法的运算规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确核心公式：单位面积产量=总产量÷种植面积。因为两家花生产量相同，我们可设总产量为1（设为任意相等的量都不影响最终结果，设为1计算最简便）。第一步先计算两家的种植面积：老王家两块正方形土地总面积为两个正方形面积之和，老李家长方形土地面积为长乘宽；第二步分别求出两家的单位面积产量；第三步求倍数关系，用老王家的单位面积产量除以老李家的单位面积产量，再根据分式除法法则计算即可。
【解析】
设花生的总产量是1。
老王家种植总面积：$S_王 = a^2 + b^2$，单位面积产量为$\frac{1}{a^2 + b^2}$；
老李家种植总面积：$S_李 = 2a × b = 2ab$，单位面积产量为$\frac{1}{2ab}$；
则老王家单位面积产量是老李家的倍数为：
$\frac{1}{a^2 +b^2} ÷ \frac{1}{2ab} = \frac{1}{a^2 +b^2} × 2ab = \frac{2ab}{a^2 +b^2}$
【答案】
老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的$\frac{2ab}{a^2 +b^2}$倍。
【知识点】
1. 分式的除法运算
2. 图形面积计算
3. 分式实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查分式运算的应用，解题的关键是理清单位面积产量、总产量、种植面积三者的关系，合理设总产量为1简化计算，运算时要牢记分式除法的运算规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
1. 计算$6a^3b · \frac{-3b}{2a}$的结果为 （
A.$3a^2b^2$
B.$-3a^2b^2$
C.$-9a^2b^2$
D.$9a^2b^2$
C
）A.$3a^2b^2$
B.$-3a^2b^2$
C.$-9a^2b^2$
D.$9a^2b^2$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查单项式与分式的乘法运算，解题思路如下：第一步先确定运算结果的符号，正数乘以负数结果为负；第二步分别计算系数部分的乘除、同底数幂的乘除，最后将各部分的运算结果合并即可。计算时注意不要混淆同底数幂的运算规则，也要避免系数计算、符号判断出错。
【解析】
根据分式乘法及整式乘除的运算规则计算：
首先确定符号：原式含1个负因数，结果为负。
计算系数部分：$6×(-\frac{3}{2})=-9$
计算同底数幂部分：
$a$的运算：$a^3÷ a=a^{3-1}=a^2$
$b$的运算：$b· b=b^{1+1}=b^2$
将各部分合并得结果：$-9a^2b^2$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
分式乘法法则、同底数幂的乘除、整式乘除运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是掌握分式与整式相乘的运算顺序，易错点是符号判断错误、系数计算失误或者同底数幂的指数运算出错，计算时按步骤拆分计算可有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
本题考查单项式与分式的乘法运算，解题思路如下：第一步先确定运算结果的符号，正数乘以负数结果为负；第二步分别计算系数部分的乘除、同底数幂的乘除，最后将各部分的运算结果合并即可。计算时注意不要混淆同底数幂的运算规则，也要避免系数计算、符号判断出错。
【解析】
根据分式乘法及整式乘除的运算规则计算：
首先确定符号：原式含1个负因数，结果为负。
计算系数部分：$6×(-\frac{3}{2})=-9$
计算同底数幂部分：
$a$的运算：$a^3÷ a=a^{3-1}=a^2$
$b$的运算：$b· b=b^{1+1}=b^2$
将各部分合并得结果：$-9a^2b^2$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
分式乘法法则、同底数幂的乘除、整式乘除运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是掌握分式与整式相乘的运算顺序，易错点是符号判断错误、系数计算失误或者同底数幂的指数运算出错，计算时按步骤拆分计算可有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
2. $\frac{2}{x^2 -4} ÷ \frac{1}{x^2 -2x}$ 的计算结果为
$\frac{2x}{x+2}$
。答案
2. $\frac{2x}{x+2}$
解析
【分析】
这是分式除法运算题，解题思路清晰可按三步推进：第一步回忆分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；第二步对两个分式中涉及的多项式做因式分解，方便后续约分：$x^2-4$是平方差形式，可分解为$(x+2)(x-2)$，$x^2-2x$有公因式$x$，提取公因式后可分解为$x(x-2)$；第三步将除法转化为乘法，约掉分子分母的公因式后即可得到化简结果。
【解析】
解：先对各多项式因式分解：
$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$x^2-2x=x(x-2)$
根据分式除法法则将除法转化为乘法计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{(x+2)(x-2)} ÷ \frac{1}{x(x-2)}\\&=\frac{2}{(x+2)(x-2)} × x(x-2)\\&=\frac{2x}{x+2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2x}{x+2}$
【知识点】
分式除法运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是熟练掌握分式除法的运算法则，同时要保证因式分解准确，约分时注意找准分子分母的公因式，避免因因式分解错误、除法转化为乘法时操作失误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
这是分式除法运算题，解题思路清晰可按三步推进：第一步回忆分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；第二步对两个分式中涉及的多项式做因式分解，方便后续约分：$x^2-4$是平方差形式，可分解为$(x+2)(x-2)$，$x^2-2x$有公因式$x$，提取公因式后可分解为$x(x-2)$；第三步将除法转化为乘法，约掉分子分母的公因式后即可得到化简结果。
【解析】
解：先对各多项式因式分解：
$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$x^2-2x=x(x-2)$
根据分式除法法则将除法转化为乘法计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{(x+2)(x-2)} ÷ \frac{1}{x(x-2)}\\&=\frac{2}{(x+2)(x-2)} × x(x-2)\\&=\frac{2x}{x+2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2x}{x+2}$
【知识点】
分式除法运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是熟练掌握分式除法的运算法则，同时要保证因式分解准确，约分时注意找准分子分母的公因式，避免因因式分解错误、除法转化为乘法时操作失误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
3. (2025 淄博)若分式$\frac{1}{x+1} ÷ \frac{x-3}{x-2}$有意义，则x的取值范围是（
A.$x≠-1$且$x≠2$
B.$x≠-1$且$x≠3$
C.$x≠2$且$x≠3$
D.$x≠-1$且$x≠2$且$x≠3$
D
）A.$x≠-1$且$x≠2$
B.$x≠-1$且$x≠3$
C.$x≠2$且$x≠3$
D.$x≠-1$且$x≠2$且$x≠3$
答案
3. D
解析
【分析】
要确定分式运算有意义的x的取值范围，需遵循两个核心规则：一是任意分式有意义的前提是分母不为0；二是除法运算中除数不能为0。我们拆分原式结构逐一找限制条件：首先第一个分式$\frac{1}{x+1}$的分母$x+1$不能为0；其次除号后的分式$\frac{x-3}{x-2}$自身是分式，它的分母$x-2$不能为0；最后这个作为除数的分式整体不能为0，因此它的分子$x-3$也不能为0。将所有限制条件综合即可得到x的取值范围。
【解析】
要使$\frac{1}{x+1} ÷ \frac{x-3}{x-2}$有意义，需同时满足以下三个条件：
1. 第一个分式的分母不为0：$x+1≠0$，解得$x≠-1$；
2. 除式的分母不为0：$x-2≠0$，解得$x≠2$；
3. 除式整体不为0（除数不为0）：$x-3≠0$，解得$x≠3$。
综上，x的取值范围是$x≠-1$且$x≠2$且$x≠3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件；分式除法运算
【点评】
本题是分式相关的基础易错题，易错点是容易遗漏除式的分母不为0或除式分子不为0的限制条件，解题时要全面排查所有隐含的限制要求，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要确定分式运算有意义的x的取值范围，需遵循两个核心规则：一是任意分式有意义的前提是分母不为0；二是除法运算中除数不能为0。我们拆分原式结构逐一找限制条件：首先第一个分式$\frac{1}{x+1}$的分母$x+1$不能为0；其次除号后的分式$\frac{x-3}{x-2}$自身是分式，它的分母$x-2$不能为0；最后这个作为除数的分式整体不能为0，因此它的分子$x-3$也不能为0。将所有限制条件综合即可得到x的取值范围。
【解析】
要使$\frac{1}{x+1} ÷ \frac{x-3}{x-2}$有意义，需同时满足以下三个条件：
1. 第一个分式的分母不为0：$x+1≠0$，解得$x≠-1$；
2. 除式的分母不为0：$x-2≠0$，解得$x≠2$；
3. 除式整体不为0（除数不为0）：$x-3≠0$，解得$x≠3$。
综上，x的取值范围是$x≠-1$且$x≠2$且$x≠3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件；分式除法运算
【点评】
本题是分式相关的基础易错题，易错点是容易遗漏除式的分母不为0或除式分子不为0的限制条件，解题时要全面排查所有隐含的限制要求，避免漏解。
【难度系数】
0.6
4. 若式子$\frac{□}{x+y} ÷ \frac{x}{y^2 - x^2}$运算的结果为整式，则$□$代表的式子可能是（
A.$y - x$
B.$y + x$
C.$2x$
D.$y^2$
C
）A.$y - x$
B.$y + x$
C.$2x$
D.$y^2$
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先利用分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再对多项式$y^2-x^2$用平方差公式因式分解，通过约分化简原式，最后根据“运算结果为整式”的要求，判断出中的式子需含有因式$x$，再逐一验证选项即可。
【解析】
首先对原式进行化简：
1. 根据分式除法法则：除以一个分式等于乘以它的倒数，同时利用平方差公式因式分解：$y^2 - x^2=(y-x)(y+x)$，因此：
$\frac{□}{x+y} ÷ \frac{x}{y^2 - x^2} = \frac{□}{x+y} × \frac{(y-x)(y+x)}{x}$
2. 约去分子分母的公因式$x+y$，化简得：
原式$=\frac{□ · (y-x)}{x}$
3. 要使运算结果为整式，分母的$x$需被完全约去，因此代表的式子必须含有因式$x$，逐一验证选项：
选项A：若$□=y-x$，代入得$\frac{(y-x)^2}{x}$，是分式，不符合要求；
选项B：若$□=y+x$，代入得$\frac{(y+x)(y-x)}{x}=\frac{y^2-x^2}{x}$，是分式，不符合要求；
选项C：若$□=2x$，代入得$\frac{2x · (y-x)}{x}=2(y-x)$，是整式，符合要求；
选项D：若$□=y^2$，代入得$\frac{y^2(y-x)}{x}$，是分式，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的乘除运算；平方差公式；整式的概念
【点评】
本题核心是通过先化简原式降低解题难度，需要熟练掌握分式运算规则和常见的因式分解方法，再结合整式的定义筛选符合条件的选项，是分式运算的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再对多项式$y^2-x^2$用平方差公式因式分解，通过约分化简原式，最后根据“运算结果为整式”的要求，判断出中的式子需含有因式$x$，再逐一验证选项即可。
【解析】
首先对原式进行化简：
1. 根据分式除法法则：除以一个分式等于乘以它的倒数，同时利用平方差公式因式分解：$y^2 - x^2=(y-x)(y+x)$，因此：
$\frac{□}{x+y} ÷ \frac{x}{y^2 - x^2} = \frac{□}{x+y} × \frac{(y-x)(y+x)}{x}$
2. 约去分子分母的公因式$x+y$，化简得：
原式$=\frac{□ · (y-x)}{x}$
3. 要使运算结果为整式，分母的$x$需被完全约去，因此代表的式子必须含有因式$x$，逐一验证选项：
选项A：若$□=y-x$，代入得$\frac{(y-x)^2}{x}$，是分式，不符合要求；
选项B：若$□=y+x$，代入得$\frac{(y+x)(y-x)}{x}=\frac{y^2-x^2}{x}$，是分式，不符合要求；
选项C：若$□=2x$，代入得$\frac{2x · (y-x)}{x}=2(y-x)$，是整式，符合要求；
选项D：若$□=y^2$，代入得$\frac{y^2(y-x)}{x}$，是分式，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的乘除运算；平方差公式；整式的概念
【点评】
本题核心是通过先化简原式降低解题难度，需要熟练掌握分式运算规则和常见的因式分解方法，再结合整式的定义筛选符合条件的选项，是分式运算的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
5. 计算:
(1)$(2025 \mathrm{ 攀枝花}) \frac{a}{a^2 - 1} · \frac{a^2 + a}{a^2}$;
(2)$\frac{1 - x}{x^2 + 2x + 1} ÷ \frac{x - 1}{x^2 + x}$.
(1)$(2025 \mathrm{ 攀枝花}) \frac{a}{a^2 - 1} · \frac{a^2 + a}{a^2}$;
(2)$\frac{1 - x}{x^2 + 2x + 1} ÷ \frac{x - 1}{x^2 + x}$.
答案
5. (1) 解:原式 = $\frac{a}{(a+1)(a-1)} · \frac{a(a+1)}{a^2} = \frac{1}{a-1}$.
(2) 解:原式 = $- \frac{x-1}{(x+1)^2} · \frac{x(x+1)}{x-1} = - \frac{x}{x+1}$.
(2) 解:原式 = $- \frac{x-1}{(x+1)^2} · \frac{x(x+1)}{x-1} = - \frac{x}{x+1}$.
解析
【分析】
这两道题属于分式的乘除运算题，解题思路如下：① 先对每个分式的分子、分母进行因式分解，常用方法有提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）；② 分式的除法运算先转化为乘法运算，即乘以除式的倒数，同时注意分子分母符号的处理；③ 找出分子与分母的所有公因式进行约分，最终结果化为最简分式。
【解析】
(1) 利用平方差公式分解$a^2-1=(a+1)(a-1)$，提公因式得$a^2+a=a(a+1)$，再计算乘法约分：
原式$=\frac{a}{(a+1)(a-1)} · \frac{a(a+1)}{a^2}$
约去分子分母的公因式$a^2$、$(a+1)$，可得结果为$\frac{1}{a-1}$。
(2) 先将除法转化为乘法，同时变形$1-x=-(x-1)$，利用完全平方公式分解$x^2+2x+1=(x+1)^2$，提公因式得$x^2+x=x(x+1)$，再约分计算：
原式$=\frac{1 - x}{(x+1)^2} · \frac{x^2 + x}{x - 1} = \frac{-(x-1)}{(x+1)^2} · \frac{x(x+1)}{x-1}$
约去分子分母的公因式$(x-1)$、$(x+1)$，可得结果为$-\frac{x}{x+1}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{a-1}$；(2) $-\frac{x}{x+1}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
这两道题是分式运算的常规基础题，核心考察因式分解的熟练度和分式乘除的运算法则，解题时需注意先因式分解再约分，遇到除法要先转化为乘法，同时要注意分子分母的符号变换，避免因符号处理失误丢分。
【难度系数】
0.7
这两道题属于分式的乘除运算题，解题思路如下：① 先对每个分式的分子、分母进行因式分解，常用方法有提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）；② 分式的除法运算先转化为乘法运算，即乘以除式的倒数，同时注意分子分母符号的处理；③ 找出分子与分母的所有公因式进行约分，最终结果化为最简分式。
【解析】
(1) 利用平方差公式分解$a^2-1=(a+1)(a-1)$，提公因式得$a^2+a=a(a+1)$，再计算乘法约分：
原式$=\frac{a}{(a+1)(a-1)} · \frac{a(a+1)}{a^2}$
约去分子分母的公因式$a^2$、$(a+1)$，可得结果为$\frac{1}{a-1}$。
(2) 先将除法转化为乘法，同时变形$1-x=-(x-1)$，利用完全平方公式分解$x^2+2x+1=(x+1)^2$，提公因式得$x^2+x=x(x+1)$，再约分计算：
原式$=\frac{1 - x}{(x+1)^2} · \frac{x^2 + x}{x - 1} = \frac{-(x-1)}{(x+1)^2} · \frac{x(x+1)}{x-1}$
约去分子分母的公因式$(x-1)$、$(x+1)$，可得结果为$-\frac{x}{x+1}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{a-1}$；(2) $-\frac{x}{x+1}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
这两道题是分式运算的常规基础题，核心考察因式分解的熟练度和分式乘除的运算法则，解题时需注意先因式分解再约分，遇到除法要先转化为乘法，同时要注意分子分母的符号变换，避免因符号处理失误丢分。
【难度系数】
0.7
6. (2025广州)求代数式$\frac{2m^2 + 4m}{m - 2} · \frac{m^2 - 4m + 4}{m}$的值，其中$m = \sqrt{3} - 1$。
答案
6. 解:原式 = $\frac{2m(m+2)}{m-2} · \frac{(m-2)^2}{m}$
$=2(m+2)(m-2) = 2m^2 - 8$.
当$m = \sqrt{3} - 1$时，
原式 = $2 × (\sqrt{3} - 1)^2 - 8 = 2 × (4 - 2\sqrt{3}) - 8$
$=8 - 4\sqrt{3} - 8 = -4\sqrt{3}$.
$=2(m+2)(m-2) = 2m^2 - 8$.
当$m = \sqrt{3} - 1$时，
原式 = $2 × (\sqrt{3} - 1)^2 - 8 = 2 × (4 - 2\sqrt{3}) - 8$
$=8 - 4\sqrt{3} - 8 = -4\sqrt{3}$.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的思路解题即可，避免直接代入数值带来的复杂运算。第一步先对两个分式的分子、分母做因式分解：第一个分式的分子$2m^2+4m$提取公因式$2m$可得$2m(m+2)$，第二个分式的分子$m^2-4m+4$是完全平方式，可分解为$(m-2)^2$；第二步对分解后的分式约分，约去公因式$m$和$(m-2)$，将原式化简为整式；第三步将$m$的值代入化简后的整式计算，就能得到最终结果。
【解析】
先对原式因式分解再约分：
原式$=\frac{2m(m+2)}{m-2} · \frac{(m-2)^2}{m}$
约去公因式$m$和$(m-2)$后得：
$=2(m+2)(m-2) = 2(m^2-4)=2m^2 - 8$
当$m = \sqrt{3} - 1$时，代入化简后的式子：
原式$= 2 × (\sqrt{3} - 1)^2 - 8$
先计算完全平方：$(\sqrt{3}-1)^2=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×1+1^2=4-2\sqrt{3}$
代入得：
$=2 × (4 - 2\sqrt{3}) - 8$
$=8 - 4\sqrt{3} - 8$
$=-4\sqrt{3}$
【答案】
$-4\sqrt{3}$
【知识点】
分式化简求值、因式分解、完全平方公式
【点评】
本题是分式运算的常规题型，核心技巧是先化简后代入求值，可大幅降低计算量，解题时要熟练掌握公因式提取、乘法公式的运用以及分式约分的规则，注意计算过程中不要出现符号错误。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的思路解题即可，避免直接代入数值带来的复杂运算。第一步先对两个分式的分子、分母做因式分解：第一个分式的分子$2m^2+4m$提取公因式$2m$可得$2m(m+2)$，第二个分式的分子$m^2-4m+4$是完全平方式，可分解为$(m-2)^2$；第二步对分解后的分式约分，约去公因式$m$和$(m-2)$，将原式化简为整式；第三步将$m$的值代入化简后的整式计算，就能得到最终结果。
【解析】
先对原式因式分解再约分：
原式$=\frac{2m(m+2)}{m-2} · \frac{(m-2)^2}{m}$
约去公因式$m$和$(m-2)$后得：
$=2(m+2)(m-2) = 2(m^2-4)=2m^2 - 8$
当$m = \sqrt{3} - 1$时，代入化简后的式子：
原式$= 2 × (\sqrt{3} - 1)^2 - 8$
先计算完全平方：$(\sqrt{3}-1)^2=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×1+1^2=4-2\sqrt{3}$
代入得：
$=2 × (4 - 2\sqrt{3}) - 8$
$=8 - 4\sqrt{3} - 8$
$=-4\sqrt{3}$
【答案】
$-4\sqrt{3}$
【知识点】
分式化简求值、因式分解、完全平方公式
【点评】
本题是分式运算的常规题型，核心技巧是先化简后代入求值，可大幅降低计算量，解题时要熟练掌握公因式提取、乘法公式的运用以及分式约分的规则，注意计算过程中不要出现符号错误。
【难度系数】
0.7
7. (人教八上$\mathrm{P}_{147}$例3变式)有甲、乙两筐水果，甲筐水果重$(m-1)^2\ \mathrm{kg}$，乙筐水果重$(m^2 -1)\ \mathrm{kg}$(其中$m＞1$)，售完后，两筐水果都卖了120元.
(1)哪筐水果的单价高？
(2)单价高的水果价格是单价低的水果价格的多少倍？
(1)哪筐水果的单价高？
(2)单价高的水果价格是单价低的水果价格的多少倍？
答案
7. 解:(1)甲筐水果的单价为$\frac{120}{(m-1)^2}$元/kg，乙筐水果的单价为$\frac{120}{m^2 - 1}$元/kg.
$\because m ＞ 1$,
$\therefore (m^2 - 1) - (m - 1)^2 = 2m - 2 = 2(m - 1) ＞ 0$.
$\therefore \frac{120}{(m-1)^2} ＞ \frac{120}{m^2 - 1}$. $\therefore$ 甲筐水果的单价高.
(2)$\frac{120}{(m-1)^2} ÷ \frac{120}{m^2 - 1} = \frac{120}{(m-1)^2} · \frac{(m-1)(m+1)}{120}$
$= \frac{m+1}{m-1}$.
$\therefore$ 单价高的水果价格是单价低的水果价格的$\frac{m+1}{m-1}$倍.
$\because m ＞ 1$,
$\therefore (m^2 - 1) - (m - 1)^2 = 2m - 2 = 2(m - 1) ＞ 0$.
$\therefore \frac{120}{(m-1)^2} ＞ \frac{120}{m^2 - 1}$. $\therefore$ 甲筐水果的单价高.
(2)$\frac{120}{(m-1)^2} ÷ \frac{120}{m^2 - 1} = \frac{120}{(m-1)^2} · \frac{(m-1)(m+1)}{120}$
$= \frac{m+1}{m-1}$.
$\therefore$ 单价高的水果价格是单价低的水果价格的$\frac{m+1}{m-1}$倍.
解析
【分析】
要解决这道题，首先牢记“单价=总价÷重量”的基本关系，先分别表示出两筐水果的单价。
第(1)问比较单价高低：两筐总价相同，单价高低与重量大小成反比，我们可以用作差法先比较两筐水果的重量大小：计算两个重量的差值，结合$m＞1$的条件判断差值的正负，得到重量的大小关系后就能推出单价的高低。
第(2)问求倍数：用单价高的水果单价除以单价低的水果单价，再利用因式分解对分式约分，化简得到最终结果即可。
【解析】
(1) 根据单价=总价÷重量，可得：
甲筐水果的单价为$\frac{120}{(m-1)^2}$元/kg，乙筐水果的单价为$\frac{120}{m^2 - 1}$元/kg。
已知$m＞1$，先比较两筐重量的大小：
$\begin{split}(m^2 - 1) - (m - 1)^2 &= m^2 -1 - (m^2 - 2m +1) \\&= 2m -2 \\&= 2(m-1)\end{split}$
因为$m＞1$，所以$m-1＞0$，则$2(m-1)＞0$，即$m^2 -1 ＞ (m-1)^2$。
总价相同的情况下，重量越小单价越高，因此$\frac{120}{(m-1)^2} ＞ \frac{120}{m^2 -1}$，即甲筐水果的单价更高。
(2) 求单价高的水果价格是单价低的多少倍，用甲筐单价除以乙筐单价：
$\begin{split}\frac{120}{(m-1)^2} ÷ \frac{120}{m^2 - 1} &= \frac{120}{(m-1)^2} · \frac{m^2 -1}{120} \\&= \frac{120}{(m-1)^2} · \frac{(m-1)(m+1)}{120} \\&= \frac{m+1}{m-1}\end{split}$
【答案】
(1) 甲筐水果的单价高；
(2) 单价高的水果价格是单价低的水果价格的$\frac{m+1}{m-1}$倍。
【知识点】
分式的实际应用、作差法比较大小、分式乘除运算
【点评】
本题结合生活售卖场景考查分式相关知识，解题关键是先正确表示两个单价，通过比较重量大小间接得到单价关系，计算倍数时利用因式分解约分可简化运算，能有效提升解题准确率。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先牢记“单价=总价÷重量”的基本关系，先分别表示出两筐水果的单价。
第(1)问比较单价高低：两筐总价相同，单价高低与重量大小成反比，我们可以用作差法先比较两筐水果的重量大小：计算两个重量的差值，结合$m＞1$的条件判断差值的正负，得到重量的大小关系后就能推出单价的高低。
第(2)问求倍数：用单价高的水果单价除以单价低的水果单价，再利用因式分解对分式约分，化简得到最终结果即可。
【解析】
(1) 根据单价=总价÷重量，可得：
甲筐水果的单价为$\frac{120}{(m-1)^2}$元/kg，乙筐水果的单价为$\frac{120}{m^2 - 1}$元/kg。
已知$m＞1$，先比较两筐重量的大小：
$\begin{split}(m^2 - 1) - (m - 1)^2 &= m^2 -1 - (m^2 - 2m +1) \\&= 2m -2 \\&= 2(m-1)\end{split}$
因为$m＞1$，所以$m-1＞0$，则$2(m-1)＞0$，即$m^2 -1 ＞ (m-1)^2$。
总价相同的情况下，重量越小单价越高，因此$\frac{120}{(m-1)^2} ＞ \frac{120}{m^2 -1}$，即甲筐水果的单价更高。
(2) 求单价高的水果价格是单价低的多少倍，用甲筐单价除以乙筐单价：
$\begin{split}\frac{120}{(m-1)^2} ÷ \frac{120}{m^2 - 1} &= \frac{120}{(m-1)^2} · \frac{m^2 -1}{120} \\&= \frac{120}{(m-1)^2} · \frac{(m-1)(m+1)}{120} \\&= \frac{m+1}{m-1}\end{split}$
【答案】
(1) 甲筐水果的单价高；
(2) 单价高的水果价格是单价低的水果价格的$\frac{m+1}{m-1}$倍。
【知识点】
分式的实际应用、作差法比较大小、分式乘除运算
【点评】
本题结合生活售卖场景考查分式相关知识，解题关键是先正确表示两个单价，通过比较重量大小间接得到单价关系，计算倍数时利用因式分解约分可简化运算，能有效提升解题准确率。
【难度系数】
0.7
