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探究 $\frac{b}{a} · \frac{d}{c} =$
$\frac{bd}{ac}$
$,\frac{b}{a} ÷ \frac{d}{c} = \frac{b}{a} ·$ $\frac{c}{d}$
$=$ $\frac{bc}{ad}$
$.$答案
$\frac{b}{a} · \frac{d}{c} = \frac{bd}{ac}$，$\frac{b}{a} ÷ \frac{d}{c} = \frac{b}{a} · \frac{c}{d} = \frac{bc}{ad}$
解析
【分析】
这道题考查分式乘除法的基本运算规则，解题思路如下：首先回忆分式乘除法的核心法则：1.分式乘法法则：两个分式相乘，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母；2.分式除法法则：除以一个不为0的分式，等于乘以这个分式的倒数，再按照乘法法则计算。按照两个法则依次推导每个空的结果即可。
【解析】
1. 计算$\frac{b}{a} · \frac{d}{c}$：
根据分式乘法法则，分子相乘得$b× d=bd$，分母相乘得$a× c=ac$，因此结果为$\frac{bd}{ac}$。
2. 计算$\frac{b}{a} ÷ \frac{d}{c}$：
首先根据分式除法法则，除以$\frac{d}{c}$（$d≠0,c≠0$）等于乘以$\frac{d}{c}$的倒数$\frac{c}{d}$，即$\frac{b}{a} ÷ \frac{d}{c} = \frac{b}{a} · \frac{c}{d}$；
再按照分式乘法法则计算，分子相乘得$b× c=bc$，分母相乘得$a× d=ad$，因此最终结果为$\frac{bc}{ad}$。
【答案】
$\frac{bd}{ac}$；$\frac{c}{d}$；$\frac{bc}{ad}$
【知识点】
分式乘法法则，分式除法法则
【点评】
本题是分式乘除运算的基础题，核心是熟练掌握分式乘除法的运算规则，做除法运算时要先转换为乘法，注意不要写消除式的倒数，是后续复杂分式运算的基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查分式乘除法的基本运算规则，解题思路如下：首先回忆分式乘除法的核心法则：1.分式乘法法则：两个分式相乘，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母；2.分式除法法则：除以一个不为0的分式，等于乘以这个分式的倒数，再按照乘法法则计算。按照两个法则依次推导每个空的结果即可。
【解析】
1. 计算$\frac{b}{a} · \frac{d}{c}$：
根据分式乘法法则，分子相乘得$b× d=bd$，分母相乘得$a× c=ac$，因此结果为$\frac{bd}{ac}$。
2. 计算$\frac{b}{a} ÷ \frac{d}{c}$：
首先根据分式除法法则，除以$\frac{d}{c}$（$d≠0,c≠0$）等于乘以$\frac{d}{c}$的倒数$\frac{c}{d}$，即$\frac{b}{a} ÷ \frac{d}{c} = \frac{b}{a} · \frac{c}{d}$；
再按照分式乘法法则计算，分子相乘得$b× c=bc$，分母相乘得$a× d=ad$，因此最终结果为$\frac{bc}{ad}$。
【答案】
$\frac{bd}{ac}$；$\frac{c}{d}$；$\frac{bc}{ad}$
【知识点】
分式乘法法则，分式除法法则
【点评】
本题是分式乘除运算的基础题，核心是熟练掌握分式乘除法的运算规则，做除法运算时要先转换为乘法，注意不要写消除式的倒数，是后续复杂分式运算的基础。
【难度系数】
0.9
归纳 分式的乘、除法法则
（1）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} =$
（2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} · \frac{d}{c} =$
（1）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} =$
$\frac{ac}{bd}$
；（2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} · \frac{d}{c} =$
$\frac{ad}{bc}$
。答案
（1）$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$；（2）$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} · \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$
解析
【分析】
本题考查分式乘除法的基本运算法则，解题思路如下：
1. 解决第（1）问时，直接依据题干给出的分式乘法法则：分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，将两个分式的分子、分母分别相乘即可得到结果；
2. 解决第（2）问时，先按照分式除法法则将除法转化为乘法（即乘除式的倒数），再套用分式乘法法则计算分子、分母的乘积得到最终结果，计算过程中注意隐含条件：所有分式的分母均不为0。
【解析】
（1）根据分式乘法法则，两个分式相乘，将分子相乘的结果作为积的分子，分母相乘的结果作为积的分母：
$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \frac{a·c}{b·d} = \frac{ac}{bd}$（$b≠0,d≠0$）
（2）先将分式除法转化为乘法运算，再按照分式乘法法则计算：
$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} · \frac{d}{c} = \frac{a·d}{b·c} = \frac{ad}{bc}$（$b≠0,c≠0,d≠0$）
【答案】
（1）$\frac{ac}{bd}$；（2）$\frac{ad}{bc}$
【知识点】
分式乘法法则；分式除法法则
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接对应分式乘除法的核心法则，难度较低，熟练掌握法则内容即可快速作答，是后续学习分式混合运算、分式化简求值的必备基础。
【难度系数】
0.9
本题考查分式乘除法的基本运算法则，解题思路如下：
1. 解决第（1）问时，直接依据题干给出的分式乘法法则：分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，将两个分式的分子、分母分别相乘即可得到结果；
2. 解决第（2）问时，先按照分式除法法则将除法转化为乘法（即乘除式的倒数），再套用分式乘法法则计算分子、分母的乘积得到最终结果，计算过程中注意隐含条件：所有分式的分母均不为0。
【解析】
（1）根据分式乘法法则，两个分式相乘，将分子相乘的结果作为积的分子，分母相乘的结果作为积的分母：
$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \frac{a·c}{b·d} = \frac{ac}{bd}$（$b≠0,d≠0$）
（2）先将分式除法转化为乘法运算，再按照分式乘法法则计算：
$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} · \frac{d}{c} = \frac{a·d}{b·c} = \frac{ad}{bc}$（$b≠0,c≠0,d≠0$）
【答案】
（1）$\frac{ac}{bd}$；（2）$\frac{ad}{bc}$
【知识点】
分式乘法法则；分式除法法则
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接对应分式乘除法的核心法则，难度较低，熟练掌握法则内容即可快速作答，是后续学习分式混合运算、分式化简求值的必备基础。
【难度系数】
0.9
1.【例1】计算：
(1) $\frac{3b}{a} · \frac{2a^3}{6b^2}$；
(2) $\frac{9x^2y^2}{4a^3} ÷ \frac{3xy^2}{2ab}$。
(1) $\frac{3b}{a} · \frac{2a^3}{6b^2}$；
(2) $\frac{9x^2y^2}{4a^3} ÷ \frac{3xy^2}{2ab}$。
答案
(1) 解:原式 $=\frac{6a^3b}{6ab^2} = \frac{a^2}{b}.$
(2) 解:原式 $=\frac{9x^2y^2}{4a^3} · \frac{2ab}{3xy^2} = \frac{3bx}{2a^2}.$
(2) 解:原式 $=\frac{9x^2y^2}{4a^3} · \frac{2ab}{3xy^2} = \frac{3bx}{2a^2}.$
解析
【分析】
这两道题是分式的乘除基础运算，解题思路如下：1. 分式乘法运算：遵循“分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母”的法则，计算后再约去分子分母的公因式，化为最简分式即可。2. 分式除法运算：先根据“除以一个分式等于乘以这个分式的倒数”，将除法转化为乘法，再按照分式乘法的规则计算、约分即可。计算时要注意先找系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，保证约分彻底，最终结果为最简分式。
【解析】
(1) 根据分式乘法法则，将分子、分母分别相乘：
原式$=\frac{3b · 2a^3}{a · 6b^2}=\frac{6a^3b}{6ab^2}$
约去分子分母的公因式$6ab$，化简得$\frac{a^2}{b}$。
(2) 根据分式除法法则，先将除法转化为乘法：
原式$=\frac{9x^2y^2}{4a^3} · \frac{2ab}{3xy^2}$
再根据分式乘法法则计算：
$=\frac{9x^2y^2 · 2ab}{4a^3 · 3xy^2}=\frac{18abx^2y^2}{12a^3xy^2}$
约去分子分母的公因式$6axy^2$，化简得$\frac{3bx}{2a^2}$。
【答案】
(1) $\frac{a^2}{b}$；(2) $\frac{3bx}{2a^2}$
【知识点】
分式的乘法法则，分式的除法法则，分式的约分
【点评】
本题属于分式乘除的基础运算题，核心考查分式乘除运算法则的应用，计算时需注意先将除法统一为乘法，再准确约分，最终结果要化为最简形式，是后续复杂分式运算的基础，需熟练掌握运算规则。
【难度系数】
0.8
这两道题是分式的乘除基础运算，解题思路如下：1. 分式乘法运算：遵循“分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母”的法则，计算后再约去分子分母的公因式，化为最简分式即可。2. 分式除法运算：先根据“除以一个分式等于乘以这个分式的倒数”，将除法转化为乘法，再按照分式乘法的规则计算、约分即可。计算时要注意先找系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，保证约分彻底，最终结果为最简分式。
【解析】
(1) 根据分式乘法法则，将分子、分母分别相乘：
原式$=\frac{3b · 2a^3}{a · 6b^2}=\frac{6a^3b}{6ab^2}$
约去分子分母的公因式$6ab$，化简得$\frac{a^2}{b}$。
(2) 根据分式除法法则，先将除法转化为乘法：
原式$=\frac{9x^2y^2}{4a^3} · \frac{2ab}{3xy^2}$
再根据分式乘法法则计算：
$=\frac{9x^2y^2 · 2ab}{4a^3 · 3xy^2}=\frac{18abx^2y^2}{12a^3xy^2}$
约去分子分母的公因式$6axy^2$，化简得$\frac{3bx}{2a^2}$。
【答案】
(1) $\frac{a^2}{b}$；(2) $\frac{3bx}{2a^2}$
【知识点】
分式的乘法法则，分式的除法法则，分式的约分
【点评】
本题属于分式乘除的基础运算题，核心考查分式乘除运算法则的应用，计算时需注意先将除法统一为乘法，再准确约分，最终结果要化为最简形式，是后续复杂分式运算的基础，需熟练掌握运算规则。
【难度系数】
0.8
2. 计算:
(1) $\frac{3xy^2}{4z^2} · (-\frac{8z^2}{y})$;
(2) $(-xy) ÷ \frac{2y^2}{3x}$.
(1) $\frac{3xy^2}{4z^2} · (-\frac{8z^2}{y})$;
(2) $(-xy) ÷ \frac{2y^2}{3x}$.
答案
(1) 解:原式 $= -\frac{24xy^2z^2}{4yz^2} = -6xy.$
(2) 解:原式 $= -xy · \frac{3x}{2y^2} = -\frac{3x^2}{2y}.$
(2) 解:原式 $= -xy · \frac{3x}{2y^2} = -\frac{3x^2}{2y}.$
解析
【分析】
这两道题属于分式的乘除基础运算，解题思路如下：
1. 对于分式乘法（第1小题）：首先确定运算结果的符号（两数相乘，异号得负），再按照“分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母”的法则写出乘积，最后约去分子、分母的公因式，得到最简结果。
2. 对于分式除法（第2小题）：首先根据“除以一个分式等于乘以这个分式的倒数”，将除法运算转化为乘法运算，再按照分式乘法的运算步骤计算即可，约分要彻底，保证结果是最简分式。
【解析】
(1) 先确定符号为负，再按分式乘法法则计算，最后约分：
原式 $= -\frac{3xy^2 × 8z^2}{4z^2 × y} = -\frac{24xy^2z^2}{4yz^2} = -6xy$
(2) 先将除法转化为乘法，再按乘法法则计算约分：
原式 $= -xy · \frac{3x}{2y^2} = -\frac{3x^2y}{2y^2} = -\frac{3x^2}{2y}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6xy}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{3x^2}{2y}}$
【知识点】
分式乘法法则；分式除法法则；分式约分
【点评】
本题是分式乘除运算的基础题型，核心考查分式乘除运算法则的应用，运算时需注意先判断结果符号，再进行数值计算，最终约分要彻底，避免因符号判断错误或约分不彻底失分。
【难度系数】
0.8
这两道题属于分式的乘除基础运算，解题思路如下：
1. 对于分式乘法（第1小题）：首先确定运算结果的符号（两数相乘，异号得负），再按照“分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母”的法则写出乘积，最后约去分子、分母的公因式，得到最简结果。
2. 对于分式除法（第2小题）：首先根据“除以一个分式等于乘以这个分式的倒数”，将除法运算转化为乘法运算，再按照分式乘法的运算步骤计算即可，约分要彻底，保证结果是最简分式。
【解析】
(1) 先确定符号为负，再按分式乘法法则计算，最后约分：
原式 $= -\frac{3xy^2 × 8z^2}{4z^2 × y} = -\frac{24xy^2z^2}{4yz^2} = -6xy$
(2) 先将除法转化为乘法，再按乘法法则计算约分：
原式 $= -xy · \frac{3x}{2y^2} = -\frac{3x^2y}{2y^2} = -\frac{3x^2}{2y}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6xy}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{3x^2}{2y}}$
【知识点】
分式乘法法则；分式除法法则；分式约分
【点评】
本题是分式乘除运算的基础题型，核心考查分式乘除运算法则的应用，运算时需注意先判断结果符号，再进行数值计算，最终约分要彻底，避免因符号判断错误或约分不彻底失分。
【难度系数】
0.8
3.【例2】计算:
(1) $\frac{a^2 +4a +4}{a^2 -a} · \frac{a^2}{a+2}$;
(2) $\frac{a^2 -9}{2a -4} ÷ \frac{a+3}{2 -a}$.
4. 计算:
(1) $\frac{m^2 -9}{m^2 -4} · \frac{m -2}{3 -m}$;
(2) $\frac{8x^2}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{4x}{x -1}$.
(1) $\frac{a^2 +4a +4}{a^2 -a} · \frac{a^2}{a+2}$;
(2) $\frac{a^2 -9}{2a -4} ÷ \frac{a+3}{2 -a}$.
4. 计算:
(1) $\frac{m^2 -9}{m^2 -4} · \frac{m -2}{3 -m}$;
(2) $\frac{8x^2}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{4x}{x -1}$.
答案
3. (1) 解:原式 $=\frac{(a+2)^2}{a(a-1)} · \frac{a^2}{a+2} = \frac{a(a+2)}{a-1} = \frac{a^2 +2a}{a-1}.$
(2) 解:原式 $=\frac{(a+3)(a-3)}{2(a-2)} · \frac{-(a-2)}{a+3} = -\frac{a-3}{2}.$
4. (1) 解:原式 $=\frac{(m+3)(m-3)}{(m+2)(m-2)} · \frac{(m-2)}{-(m-3)} = -\frac{m+3}{m+2}.$
(2) 解:原式 $=\frac{8x^2}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{4x} = \frac{2x}{x-1}.$
(2) 解:原式 $=\frac{(a+3)(a-3)}{2(a-2)} · \frac{-(a-2)}{a+3} = -\frac{a-3}{2}.$
4. (1) 解:原式 $=\frac{(m+3)(m-3)}{(m+2)(m-2)} · \frac{(m-2)}{-(m-3)} = -\frac{m+3}{m+2}.$
(2) 解:原式 $=\frac{8x^2}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{4x} = \frac{2x}{x-1}.$
解析
【分析】
分式乘除运算的解题思路可按三步展开：1. 因式分解：先将每个分式的分子、分母分别因式分解，可运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式完成分解；2. 除变乘：若式中存在除法运算，根据“除以一个分式等于乘以该分式的倒数”转化为乘法运算，注意形如$a-b$和$b-a$的互为相反数的因式，变形时需带出负号；3. 约分计算：约去分子分母的所有公因式，最终结果化为最简分式或整式。
【解析】
3. 计算
(1) 先对各部分因式分解：$a^2+4a+4=(a+2)^2$，$a^2-a=a(a-1)$，代入原式得：
原式$=\frac{(a+2)^2}{a(a-1)} · \frac{a^2}{a+2}$
约去公因式$a(a+2)$，化简得：$\frac{a(a+2)}{a-1}=\frac{a^2+2a}{a-1}$
(2) 先因式分解：$a^2-9=(a+3)(a-3)$，$2a-4=2(a-2)$，再将除法转化为乘法，注意$2-a=-(a-2)$：
原式$=\frac{(a+3)(a-3)}{2(a-2)} ÷ \frac{a+3}{2-a}=\frac{(a+3)(a-3)}{2(a-2)} · \frac{-(a-2)}{a+3}$
约去公因式$(a+3)(a-2)$，化简得：$-\frac{a-3}{2}$
4. 计算
(1) 先因式分解：$m^2-9=(m+3)(m-3)$，$m^2-4=(m+2)(m-2)$，注意$3-m=-(m-3)$：
原式$=\frac{(m+3)(m-3)}{(m+2)(m-2)} · \frac{m-2}{-(m-3)}$
约去公因式$(m-3)(m-2)$，化简得：$-\frac{m+3}{m+2}$
(2) 先因式分解：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，再将除法转化为乘法：
原式$=\frac{8x^2}{(x-1)^2} ÷ \frac{4x}{x-1}=\frac{8x^2}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{4x}$
约去公因式$4x(x-1)$，化简得：$\frac{2x}{x-1}$
【答案】
3. (1) $\frac{a^2 +2a}{a-1}$；(2) $-\frac{a-3}{2}$
4. (1) $-\frac{m+3}{m+2}$；(2) $\frac{2x}{x-1}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式乘除的基础运算题，重点考察因式分解的熟练度和分式运算的符号处理，只要掌握因式分解的常用方法，牢记除法转乘法的变形规则，注意互为相反数的因式约分的符号问题，就能准确作答。
【难度系数】
0.8
分式乘除运算的解题思路可按三步展开：1. 因式分解：先将每个分式的分子、分母分别因式分解，可运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式完成分解；2. 除变乘：若式中存在除法运算，根据“除以一个分式等于乘以该分式的倒数”转化为乘法运算，注意形如$a-b$和$b-a$的互为相反数的因式，变形时需带出负号；3. 约分计算：约去分子分母的所有公因式，最终结果化为最简分式或整式。
【解析】
3. 计算
(1) 先对各部分因式分解：$a^2+4a+4=(a+2)^2$，$a^2-a=a(a-1)$，代入原式得：
原式$=\frac{(a+2)^2}{a(a-1)} · \frac{a^2}{a+2}$
约去公因式$a(a+2)$，化简得：$\frac{a(a+2)}{a-1}=\frac{a^2+2a}{a-1}$
(2) 先因式分解：$a^2-9=(a+3)(a-3)$，$2a-4=2(a-2)$，再将除法转化为乘法，注意$2-a=-(a-2)$：
原式$=\frac{(a+3)(a-3)}{2(a-2)} ÷ \frac{a+3}{2-a}=\frac{(a+3)(a-3)}{2(a-2)} · \frac{-(a-2)}{a+3}$
约去公因式$(a+3)(a-2)$，化简得：$-\frac{a-3}{2}$
4. 计算
(1) 先因式分解：$m^2-9=(m+3)(m-3)$，$m^2-4=(m+2)(m-2)$，注意$3-m=-(m-3)$：
原式$=\frac{(m+3)(m-3)}{(m+2)(m-2)} · \frac{m-2}{-(m-3)}$
约去公因式$(m-3)(m-2)$，化简得：$-\frac{m+3}{m+2}$
(2) 先因式分解：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，再将除法转化为乘法：
原式$=\frac{8x^2}{(x-1)^2} ÷ \frac{4x}{x-1}=\frac{8x^2}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{4x}$
约去公因式$4x(x-1)$，化简得：$\frac{2x}{x-1}$
【答案】
3. (1) $\frac{a^2 +2a}{a-1}$；(2) $-\frac{a-3}{2}$
4. (1) $-\frac{m+3}{m+2}$；(2) $\frac{2x}{x-1}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式乘除的基础运算题，重点考察因式分解的熟练度和分式运算的符号处理，只要掌握因式分解的常用方法，牢记除法转乘法的变形规则，注意互为相反数的因式约分的符号问题，就能准确作答。
【难度系数】
0.8
