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9.【例4】通分：
(1)$\frac{2n}{n-2}$与$\frac{3n}{n+3}$；
(2)$\frac{1}{m^2 -9}$与$\frac{1}{2m +6}$。
(1)$\frac{2n}{n-2}$与$\frac{3n}{n+3}$；
(2)$\frac{1}{m^2 -9}$与$\frac{1}{2m +6}$。
答案
9. (1)解:最简公分母是$(n-2)(n+3)$.
$\frac{2n}{n-2} = \frac{2n(n+3)}{(n-2)(n+3)} = \frac{2n^2 + 6n}{n^2 + n - 6}$,
$\frac{3n}{n+3} = \frac{3n(n-2)}{(n+3)(n-2)} = \frac{3n^2 - 6n}{n^2 + n - 6}$.
(2)解:最简公分母是$2(m+3)(m-3)$.
$\frac{1}{m^2 -9} = \frac{1}{(m+3)(m-3)} = \frac{2}{2(m+3)(m-3)} = \frac{2}{2m^2 - 18}$,
$\frac{1}{2m +6} = \frac{1}{2(m+3)} = \frac{m-3}{2(m+3)(m-3)} = \frac{m-3}{2m^2 - 18}$.
$\frac{2n}{n-2} = \frac{2n(n+3)}{(n-2)(n+3)} = \frac{2n^2 + 6n}{n^2 + n - 6}$,
$\frac{3n}{n+3} = \frac{3n(n-2)}{(n+3)(n-2)} = \frac{3n^2 - 6n}{n^2 + n - 6}$.
(2)解:最简公分母是$2(m+3)(m-3)$.
$\frac{1}{m^2 -9} = \frac{1}{(m+3)(m-3)} = \frac{2}{2(m+3)(m-3)} = \frac{2}{2m^2 - 18}$,
$\frac{1}{2m +6} = \frac{1}{2(m+3)} = \frac{m-3}{2(m+3)(m-3)} = \frac{m-3}{2m^2 - 18}$.
解析
【分析】
通分的核心思路是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘合适的整式，使分母统一为最简公分母，解题可按三步进行：①对每个分式的分母因式分解（多项式能分解的先分解）；②取各分母系数的最小公倍数、所有出现的因式的最高次幂的乘积，得到最简公分母；③每个分式的分子分母同乘分母相对于最简公分母缺少的因式，完成变形。
针对(1)：两个分式的分母$n-2$、$n+3$均为不可再分解的一次多项式，且无公因式，因此最简公分母是二者的乘积$(n-2)(n+3)$，再分别给两个分式的分子分母同乘另一个分母即可。
针对(2)：先对分母因式分解，$m^2-9$是平方差，分解为$(m+3)(m-3)$，$2m+6$提取公因式2得$2(m+3)$，因此取系数最小公倍数2，因式$(m+3)$、$(m-3)$，最简公分母为$2(m+3)(m-3)$，再分别变形两个分式即可。
【解析】
(1) 最简公分母是$(n-2)(n+3)$，根据分式的基本性质变形：
$\frac{2n}{n-2} = \frac{2n(n+3)}{(n-2)(n+3)} = \frac{2n^2 + 6n}{n^2 + n - 6}$
$\frac{3n}{n+3} = \frac{3n(n-2)}{(n+3)(n-2)} = \frac{3n^2 - 6n}{n^2 + n - 6}$
(2) 先分解分母：$m^2-9=(m+3)(m-3)$，$2m+6=2(m+3)$，得最简公分母是$2(m+3)(m-3)$，根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{m^2 -9} = \frac{1}{(m+3)(m-3)} = \frac{2}{2(m+3)(m-3)} = \frac{2}{2m^2 - 18}$
$\frac{1}{2m +6} = \frac{1}{2(m+3)} = \frac{m-3}{2(m+3)(m-3)} = \frac{m-3}{2m^2 - 18}$
【答案】
(1)$\frac{2n}{n-2}=\frac{2n^2 + 6n}{n^2 + n - 6}$，$\frac{3n}{n+3}=\frac{3n^2 - 6n}{n^2 + n - 6}$；
(2)$\frac{1}{m^2 -9}=\frac{2}{2m^2 - 18}$，$\frac{1}{2m +6}=\frac{m-3}{2m^2 - 18}$。
【知识点】
分式的通分、最简公分母的确定、分式的基本性质
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题关键是正确确定最简公分母，遇到分母为多项式时要先因式分解，再提取所有公因式和独有因式的乘积作为公分母，变形时注意分子也要同步乘对应的整式，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.8
通分的核心思路是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘合适的整式，使分母统一为最简公分母，解题可按三步进行：①对每个分式的分母因式分解（多项式能分解的先分解）；②取各分母系数的最小公倍数、所有出现的因式的最高次幂的乘积，得到最简公分母；③每个分式的分子分母同乘分母相对于最简公分母缺少的因式，完成变形。
针对(1)：两个分式的分母$n-2$、$n+3$均为不可再分解的一次多项式，且无公因式，因此最简公分母是二者的乘积$(n-2)(n+3)$，再分别给两个分式的分子分母同乘另一个分母即可。
针对(2)：先对分母因式分解，$m^2-9$是平方差，分解为$(m+3)(m-3)$，$2m+6$提取公因式2得$2(m+3)$，因此取系数最小公倍数2，因式$(m+3)$、$(m-3)$，最简公分母为$2(m+3)(m-3)$，再分别变形两个分式即可。
【解析】
(1) 最简公分母是$(n-2)(n+3)$，根据分式的基本性质变形：
$\frac{2n}{n-2} = \frac{2n(n+3)}{(n-2)(n+3)} = \frac{2n^2 + 6n}{n^2 + n - 6}$
$\frac{3n}{n+3} = \frac{3n(n-2)}{(n+3)(n-2)} = \frac{3n^2 - 6n}{n^2 + n - 6}$
(2) 先分解分母：$m^2-9=(m+3)(m-3)$，$2m+6=2(m+3)$，得最简公分母是$2(m+3)(m-3)$，根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{m^2 -9} = \frac{1}{(m+3)(m-3)} = \frac{2}{2(m+3)(m-3)} = \frac{2}{2m^2 - 18}$
$\frac{1}{2m +6} = \frac{1}{2(m+3)} = \frac{m-3}{2(m+3)(m-3)} = \frac{m-3}{2m^2 - 18}$
【答案】
(1)$\frac{2n}{n-2}=\frac{2n^2 + 6n}{n^2 + n - 6}$，$\frac{3n}{n+3}=\frac{3n^2 - 6n}{n^2 + n - 6}$；
(2)$\frac{1}{m^2 -9}=\frac{2}{2m^2 - 18}$，$\frac{1}{2m +6}=\frac{m-3}{2m^2 - 18}$。
【知识点】
分式的通分、最简公分母的确定、分式的基本性质
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题关键是正确确定最简公分母，遇到分母为多项式时要先因式分解，再提取所有公因式和独有因式的乘积作为公分母，变形时注意分子也要同步乘对应的整式，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.8
10. 通分：
(1) $\frac{x}{x+y}$与$\frac{1}{x^2y - xy^2}$；
(2) $\frac{a-1}{a^2 + 2a + 1}$与$\frac{6}{a^2 - 1}$。
(1) $\frac{x}{x+y}$与$\frac{1}{x^2y - xy^2}$；
(2) $\frac{a-1}{a^2 + 2a + 1}$与$\frac{6}{a^2 - 1}$。
答案
10. (1)解:最简公分母是$xy(x+y)(x-y)$.
$\frac{x}{x+y} = \frac{x^2y(x-y)}{xy(x+y)(x-y)} = \frac{x^3y - x^2y^2}{x^3y - xy^3}$,
$\frac{1}{x^2y - xy^2} = \frac{x+y}{xy(x+y)(x-y)} = \frac{x+y}{x^3y - xy^3}$.
(2)解:最简公分母是$(a+1)^2(a-1)$.
$\frac{a-1}{a^2 + 2a + 1} = \frac{(a-1) · (a-1)}{(a+1)^2 · (a-1)} = \frac{a^2 - 2a + 1}{a^3 + a^2 - a - 1}$,
$\frac{6}{a^2 - 1} = \frac{6 · (a+1)}{(a+1)(a-1) · (a+1)} = \frac{6a + 6}{a^3 + a^2 - a - 1}$.
$\frac{x}{x+y} = \frac{x^2y(x-y)}{xy(x+y)(x-y)} = \frac{x^3y - x^2y^2}{x^3y - xy^3}$,
$\frac{1}{x^2y - xy^2} = \frac{x+y}{xy(x+y)(x-y)} = \frac{x+y}{x^3y - xy^3}$.
(2)解:最简公分母是$(a+1)^2(a-1)$.
$\frac{a-1}{a^2 + 2a + 1} = \frac{(a-1) · (a-1)}{(a+1)^2 · (a-1)} = \frac{a^2 - 2a + 1}{a^3 + a^2 - a - 1}$,
$\frac{6}{a^2 - 1} = \frac{6 · (a+1)}{(a+1)(a-1) · (a+1)} = \frac{6a + 6}{a^3 + a^2 - a - 1}$.
解析
【分析】
通分的核心思路是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘对应的整式，使分母统一为最简公分母。具体解题步骤：①先对每个分式的分母做因式分解；②取各分母所有因式的最高次幂的乘积，得到最简公分母；③给每个分式的分子、分母同乘原分母缺少的因式，完成通分。
第(1)问：先将第二个分式的分母$x^2y-xy^2$因式分解为$xy(x-y)$，两个分母分别为$x+y$、$xy(x-y)$，因此最简公分母为$xy(x+y)(x-y)$，再分别给两个分式乘各自缺少的因式即可。
第(2)问：先对两个分母因式分解：$a^2+2a+1=(a+1)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，因此最简公分母为$(a+1)^2(a-1)$，再分别变形两个分式即可。
【解析】
(1) 解：首先对分母因式分解得$x^2y - xy^2 = xy(x-y)$，因此两个分式的最简公分母是$xy(x+y)(x-y)$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{x}{x+y} = \frac{x · xy(x-y)}{(x+y) · xy(x-y)} = \frac{x^2y(x-y)}{xy(x+y)(x-y)} = \frac{x^3y - x^2y^2}{x^3y - xy^3}$
$\frac{1}{x^2y - xy^2} = \frac{1 · (x+y)}{xy(x-y) · (x+y)} = \frac{x+y}{xy(x+y)(x-y)} = \frac{x+y}{x^3y - xy^3}$
(2) 解：首先对分母因式分解得$a^2 + 2a + 1=(a+1)^2$，$a^2 - 1=(a+1)(a-1)$，因此两个分式的最简公分母是$(a+1)^2(a-1)$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{a-1}{a^2 + 2a + 1} = \frac{(a-1) · (a-1)}{(a+1)^2 · (a-1)} = \frac{a^2 - 2a + 1}{a^3 + a^2 - a - 1}$
$\frac{6}{a^2 - 1} = \frac{6 · (a+1)}{(a+1)(a-1) · (a+1)} = \frac{6a + 6}{a^3 + a^2 - a - 1}$
【答案】
(1)最简公分母是$xy(x+y)(x-y)$，$\frac{x}{x+y}=\frac{x^3y - x^2y^2}{x^3y - xy^3}$，$\frac{1}{x^2y - xy^2}=\frac{x+y}{x^3y - xy^3}$；
(2)最简公分母是$(a+1)^2(a-1)$，$\frac{a-1}{a^2 + 2a + 1}=\frac{a^2 - 2a + 1}{a^3 + a^2 - a - 1}$，$\frac{6}{a^2 - 1}=\frac{6a + 6}{a^3 + a^2 - a - 1}$。
【知识点】
因式分解；分式的基本性质；通分
【点评】
本题是通分的基础题型，解题关键是先正确对分母因式分解，再准确找出最简公分母，分子乘对应整式时要注意正确展开，避免漏乘或计算错误，掌握该方法是后续分式加减运算的核心基础。
【难度系数】
0.7
通分的核心思路是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘对应的整式，使分母统一为最简公分母。具体解题步骤：①先对每个分式的分母做因式分解；②取各分母所有因式的最高次幂的乘积，得到最简公分母；③给每个分式的分子、分母同乘原分母缺少的因式，完成通分。
第(1)问：先将第二个分式的分母$x^2y-xy^2$因式分解为$xy(x-y)$，两个分母分别为$x+y$、$xy(x-y)$，因此最简公分母为$xy(x+y)(x-y)$，再分别给两个分式乘各自缺少的因式即可。
第(2)问：先对两个分母因式分解：$a^2+2a+1=(a+1)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，因此最简公分母为$(a+1)^2(a-1)$，再分别变形两个分式即可。
【解析】
(1) 解：首先对分母因式分解得$x^2y - xy^2 = xy(x-y)$，因此两个分式的最简公分母是$xy(x+y)(x-y)$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{x}{x+y} = \frac{x · xy(x-y)}{(x+y) · xy(x-y)} = \frac{x^2y(x-y)}{xy(x+y)(x-y)} = \frac{x^3y - x^2y^2}{x^3y - xy^3}$
$\frac{1}{x^2y - xy^2} = \frac{1 · (x+y)}{xy(x-y) · (x+y)} = \frac{x+y}{xy(x+y)(x-y)} = \frac{x+y}{x^3y - xy^3}$
(2) 解：首先对分母因式分解得$a^2 + 2a + 1=(a+1)^2$，$a^2 - 1=(a+1)(a-1)$，因此两个分式的最简公分母是$(a+1)^2(a-1)$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{a-1}{a^2 + 2a + 1} = \frac{(a-1) · (a-1)}{(a+1)^2 · (a-1)} = \frac{a^2 - 2a + 1}{a^3 + a^2 - a - 1}$
$\frac{6}{a^2 - 1} = \frac{6 · (a+1)}{(a+1)(a-1) · (a+1)} = \frac{6a + 6}{a^3 + a^2 - a - 1}$
【答案】
(1)最简公分母是$xy(x+y)(x-y)$，$\frac{x}{x+y}=\frac{x^3y - x^2y^2}{x^3y - xy^3}$，$\frac{1}{x^2y - xy^2}=\frac{x+y}{x^3y - xy^3}$；
(2)最简公分母是$(a+1)^2(a-1)$，$\frac{a-1}{a^2 + 2a + 1}=\frac{a^2 - 2a + 1}{a^3 + a^2 - a - 1}$，$\frac{6}{a^2 - 1}=\frac{6a + 6}{a^3 + a^2 - a - 1}$。
【知识点】
因式分解；分式的基本性质；通分
【点评】
本题是通分的基础题型，解题关键是先正确对分母因式分解，再准确找出最简公分母，分子乘对应整式时要注意正确展开，避免漏乘或计算错误，掌握该方法是后续分式加减运算的核心基础。
【难度系数】
0.7
1. 下列各式中是最简分式的是（
A.$\frac{a - b}{b - a}$
B.$\frac{x^2 + y^2}{x + y}$
C.$\frac{x^2 - 4}{x - 2}$
D.$\frac{x - y}{x^2 - y^2}$
B
）A.$\frac{a - b}{b - a}$
B.$\frac{x^2 + y^2}{x + y}$
C.$\frac{x^2 - 4}{x - 2}$
D.$\frac{x - y}{x^2 - y^2}$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断最简分式，首先需明确最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题时逐个分析各选项，对分子、分母进行因式分解，判断是否存在公因式，若能找到公因式说明可约分，就不是最简分式，找不到公因式的即为正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\frac{a - b}{b - a}$：分子$a-b=-(b-a)$，分子分母有公因式$b-a$，约分后得$-1$，不是最简分式；
B. $\frac{x^2 + y^2}{x + y}$：分子$x^2+y^2$无法因式分解，与分母$x+y$没有公因式，不能约分，是最简分式；
C. $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$：分子是平方差形式，可分解为$x^2-4=(x+2)(x-2)$，分子分母有公因式$x-2$，约分后得$x+2$，不是最简分式；
D. $\frac{x - y}{x^2 - y^2}$：分母是平方差形式，可分解为$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，分子分母有公因式$x-y$，约分后得$\frac{1}{x+y}$，不是最简分式。
综上，只有选项B是最简分式。
【答案】
B
【知识点】
最简分式定义，因式分解，分式约分
【点评】
本题考查最简分式的判断，解题核心是熟练掌握因式分解的方法，准确判断分子分母是否存在公因式，属于分式章节的基础题型，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要判断最简分式，首先需明确最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题时逐个分析各选项，对分子、分母进行因式分解，判断是否存在公因式，若能找到公因式说明可约分，就不是最简分式，找不到公因式的即为正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\frac{a - b}{b - a}$：分子$a-b=-(b-a)$，分子分母有公因式$b-a$，约分后得$-1$，不是最简分式；
B. $\frac{x^2 + y^2}{x + y}$：分子$x^2+y^2$无法因式分解，与分母$x+y$没有公因式，不能约分，是最简分式；
C. $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$：分子是平方差形式，可分解为$x^2-4=(x+2)(x-2)$，分子分母有公因式$x-2$，约分后得$x+2$，不是最简分式；
D. $\frac{x - y}{x^2 - y^2}$：分母是平方差形式，可分解为$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，分子分母有公因式$x-y$，约分后得$\frac{1}{x+y}$，不是最简分式。
综上，只有选项B是最简分式。
【答案】
B
【知识点】
最简分式定义，因式分解，分式约分
【点评】
本题考查最简分式的判断，解题核心是熟练掌握因式分解的方法，准确判断分子分母是否存在公因式，属于分式章节的基础题型，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 式子$\frac{1}{2x^2y},\frac{2}{3x^2},\frac{3}{4xy^2}$的最简公分母是（
A.$24x^2y^2xy$
B.$24x^2y^2$
C.$12x^2y^2$
D.$6x^2y^2$
C
）A.$24x^2y^2xy$
B.$24x^2y^2$
C.$12x^2y^2$
D.$6x^2y^2$
答案
2. C
解析
【分析】
要确定几个分式的最简公分母，可按固定步骤思考：第一步先提取各分式的分母，找分母系数的最小公倍数；第二步找出分母中所有出现过的字母；第三步对每个出现的字母，取它在各分母里的最高次幂；最后将系数最小公倍数、各字母的最高次幂相乘，得到的结果就是最简公分母。我们对应本题的三个分母逐步计算即可。
【解析】
首先写出三个分式的分母：$2x^2y$、$3x^2$、$4xy^2$，按步骤计算最简公分母：
1. 计算系数的最小公倍数：分母的系数分别为2、3、4，三者的最小公倍数是12；
2. 确定出现的字母：分母中出现的字母共有x、y两种；
3. 取各字母的最高次幂：x在三个分母中的次数分别为2、2、1，最高次为$x^2$；y在三个分母中的次数分别为1、0、2，最高次为$y^2$；
4. 组合得到最简公分母：$12× x^2× y^2=12x^2y^2$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
最简公分母的确定、最小公倍数计算、幂的次数判定
【点评】
本题是基础类题目，核心考查最简公分母的确定规则，只要熟练掌握“系数取最小公倍数、同字母取最高次幂”的计算原则，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
要确定几个分式的最简公分母，可按固定步骤思考：第一步先提取各分式的分母，找分母系数的最小公倍数；第二步找出分母中所有出现过的字母；第三步对每个出现的字母，取它在各分母里的最高次幂；最后将系数最小公倍数、各字母的最高次幂相乘，得到的结果就是最简公分母。我们对应本题的三个分母逐步计算即可。
【解析】
首先写出三个分式的分母：$2x^2y$、$3x^2$、$4xy^2$，按步骤计算最简公分母：
1. 计算系数的最小公倍数：分母的系数分别为2、3、4，三者的最小公倍数是12；
2. 确定出现的字母：分母中出现的字母共有x、y两种；
3. 取各字母的最高次幂：x在三个分母中的次数分别为2、2、1，最高次为$x^2$；y在三个分母中的次数分别为1、0、2，最高次为$y^2$；
4. 组合得到最简公分母：$12× x^2× y^2=12x^2y^2$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
最简公分母的确定、最小公倍数计算、幂的次数判定
【点评】
本题是基础类题目，核心考查最简公分母的确定规则，只要熟练掌握“系数取最小公倍数、同字母取最高次幂”的计算原则，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
3. $\frac{2}{x+2}$与$\frac{x}{(x+2)^2}$的最简公分母是
$(x+2)^2$
，通分为$\frac{2x+4}{x^2+4x+4}$
与$\frac{x}{x^2+4x+4}$
。答案
3. 最简公分母是$(x+2)^2$，通分为$\frac{2x+4}{x^2+4x+4}$与$\frac{x}{x^2+4x+4}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆最简公分母的确定方法：取各分母所有因式的最高次幂的乘积作为最简公分母；再根据分式的基本性质，将两个分式的分母都化为最简公分母，完成通分。第一步先分解两个分式的分母，第一个分母是一次因式$x+2$，第二个分母是$(x+2)^2$，是$x+2$的二次幂，所以取最高次幂得到最简公分母；第二步通分时，第一个分式的分母需要乘$(x+2)$才能变成最简公分母，因此分子也要同乘$(x+2)$保证分式值不变，第二个分式分母已经是最简公分母，无需变形，最后可以将分母展开得到结果。
【解析】
1. 确定最简公分母：
两个分式的分母分别为$x+2$和$(x+2)^2$，相同因式是$x+2$，取最高次幂为2次，因此最简公分母是$(x+2)^2$。
2. 通分：
根据分式的基本性质，分子分母同乘不为0的整式，分式的值不变：
对$\frac{2}{x+2}$，分子分母同乘$(x+2)$，得$\frac{2(x+2)}{(x+2)·(x+2)}=\frac{2x+4}{x^2+4x+4}$；
对$\frac{x}{(x+2)^2}$，分母已经是最简公分母，展开分母得$\frac{x}{x^2+4x+4}$。
【答案】
$(x+2)^2$；$\frac{2x+4}{x^2+4x+4}$；$\frac{x}{x^2+4x+4}$
【知识点】
最简公分母的确定；分式的基本性质；分式通分
【点评】
本题是分式通分的基础题型，核心是掌握最简公分母的找法，以及灵活运用分式的基本性质进行变形，这类知识是后续分式加减运算的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆最简公分母的确定方法：取各分母所有因式的最高次幂的乘积作为最简公分母；再根据分式的基本性质，将两个分式的分母都化为最简公分母，完成通分。第一步先分解两个分式的分母，第一个分母是一次因式$x+2$，第二个分母是$(x+2)^2$，是$x+2$的二次幂，所以取最高次幂得到最简公分母；第二步通分时，第一个分式的分母需要乘$(x+2)$才能变成最简公分母，因此分子也要同乘$(x+2)$保证分式值不变，第二个分式分母已经是最简公分母，无需变形，最后可以将分母展开得到结果。
【解析】
1. 确定最简公分母：
两个分式的分母分别为$x+2$和$(x+2)^2$，相同因式是$x+2$，取最高次幂为2次，因此最简公分母是$(x+2)^2$。
2. 通分：
根据分式的基本性质，分子分母同乘不为0的整式，分式的值不变：
对$\frac{2}{x+2}$，分子分母同乘$(x+2)$，得$\frac{2(x+2)}{(x+2)·(x+2)}=\frac{2x+4}{x^2+4x+4}$；
对$\frac{x}{(x+2)^2}$，分母已经是最简公分母，展开分母得$\frac{x}{x^2+4x+4}$。
【答案】
$(x+2)^2$；$\frac{2x+4}{x^2+4x+4}$；$\frac{x}{x^2+4x+4}$
【知识点】
最简公分母的确定；分式的基本性质；分式通分
【点评】
本题是分式通分的基础题型，核心是掌握最简公分母的找法，以及灵活运用分式的基本性质进行变形，这类知识是后续分式加减运算的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
4. 约分：
(1) $\frac{3x^2y}{6xy^2}$；
(2) $\frac{x^2 -25}{x^2 -10x +25}$。
(1) $\frac{3x^2y}{6xy^2}$；
(2) $\frac{x^2 -25}{x^2 -10x +25}$。
答案
4. (1) 解:原式 = $\frac{x · 3xy}{2y · 3xy} = \frac{x}{2y}$.
(2) 解:原式 = $\frac{(x+5)(x-5)}{(x-5)^2} = \frac{x+5}{x-5}$.
(2) 解:原式 = $\frac{(x+5)(x-5)}{(x-5)^2} = \frac{x+5}{x-5}$.
解析
【分析】
约分的核心是利用分式的基本性质，约去分子分母的公因式，最终得到最简分式。(1)题中分子分母都是单项式，先找公因式：系数3和6的最大公约数是3，相同字母x的最低次幂是x，y的最低次幂是y，因此公因式为3xy，分子分母同时除以公因式即可得到结果。(2)题中分子分母都是多项式，首先需要对分子分母分别因式分解：分子符合平方差公式特征，分母符合完全平方公式特征，分解后找到公因式$(x-5)$，再约去公因式即可，注意约分需保证公因式不为0。
【解析】
(1) 拆分分子分母提取公因式：
原式 = $\frac{x · 3xy}{2y · 3xy}$，分子分母同时约去不为0的公因式$3xy$，可得$\frac{x}{2y}$。
(2) 先对分子、分母因式分解：
分子$x^2-25$利用平方差公式分解为$(x+5)(x-5)$，分母$x^2-10x+25$利用完全平方公式分解为$(x-5)^2$，因此：
原式 = $\frac{(x+5)(x-5)}{(x-5)^2}$，分子分母同时约去不为0的公因式$x-5$，可得$\frac{x+5}{x-5}$。
【答案】
(1) $\frac{x}{2y}$；(2) $\frac{x+5}{x-5}$
【知识点】
分式的约分；因式分解；分式的基本性质
【点评】
本题是分式约分的基础题型，分别考察了单项式形式和多项式形式的分式约分方法，解题的关键是准确找出分子分母的公因式，对于多项式类型的分式，需先完成因式分解再找公因式约分，同时要注意约分需保证分式有意义。
【难度系数】
0.8
约分的核心是利用分式的基本性质，约去分子分母的公因式，最终得到最简分式。(1)题中分子分母都是单项式，先找公因式：系数3和6的最大公约数是3，相同字母x的最低次幂是x，y的最低次幂是y，因此公因式为3xy，分子分母同时除以公因式即可得到结果。(2)题中分子分母都是多项式，首先需要对分子分母分别因式分解：分子符合平方差公式特征，分母符合完全平方公式特征，分解后找到公因式$(x-5)$，再约去公因式即可，注意约分需保证公因式不为0。
【解析】
(1) 拆分分子分母提取公因式：
原式 = $\frac{x · 3xy}{2y · 3xy}$，分子分母同时约去不为0的公因式$3xy$，可得$\frac{x}{2y}$。
(2) 先对分子、分母因式分解：
分子$x^2-25$利用平方差公式分解为$(x+5)(x-5)$，分母$x^2-10x+25$利用完全平方公式分解为$(x-5)^2$，因此：
原式 = $\frac{(x+5)(x-5)}{(x-5)^2}$，分子分母同时约去不为0的公因式$x-5$，可得$\frac{x+5}{x-5}$。
【答案】
(1) $\frac{x}{2y}$；(2) $\frac{x+5}{x-5}$
【知识点】
分式的约分；因式分解；分式的基本性质
【点评】
本题是分式约分的基础题型，分别考察了单项式形式和多项式形式的分式约分方法，解题的关键是准确找出分子分母的公因式，对于多项式类型的分式，需先完成因式分解再找公因式约分，同时要注意约分需保证分式有意义。
【难度系数】
0.8
5. 通分：
(1)$x - y$与$\dfrac{2y^2}{x + y}$；
(2)$\dfrac{1}{x^2 - 4}$与$\dfrac{3}{4 - 2x}$。
(1)$x - y$与$\dfrac{2y^2}{x + y}$；
(2)$\dfrac{1}{x^2 - 4}$与$\dfrac{3}{4 - 2x}$。
答案
5. (1) 解:最简公分母是$x + y$.
$x - y = \frac{(x - y)(x + y)}{x + y} = \frac{x^2 - y^2}{x + y}$,$\frac{2y^2}{x + y} = \frac{2y^2}{x + y}$.
(2) 解:最简公分母是$2(x + 2)(x - 2)$.
$\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{2}{2(x + 2)(x - 2)} = \frac{2}{2x^2 - 8}$,
$\frac{3}{4 - 2x} = -\frac{3(x + 2)}{2(x + 2)(x - 2)} = -\frac{3x + 6}{2x^2 - 8}$.
$x - y = \frac{(x - y)(x + y)}{x + y} = \frac{x^2 - y^2}{x + y}$,$\frac{2y^2}{x + y} = \frac{2y^2}{x + y}$.
(2) 解:最简公分母是$2(x + 2)(x - 2)$.
$\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{2}{2(x + 2)(x - 2)} = \frac{2}{2x^2 - 8}$,
$\frac{3}{4 - 2x} = -\frac{3(x + 2)}{2(x + 2)(x - 2)} = -\frac{3x + 6}{2x^2 - 8}$.
解析
【分析】
通分的核心是运用分式的基本性质，将异分母分式转化为同分母分式，解题按两步思考：①先确定最简公分母：如果是整式可看作分母为1的分式，分母是多项式的先因式分解，取各分母所有因式的最高次幂的乘积作为最简公分母；②根据分式的基本性质，给每个分式的分子、分母同乘自身分母缺少的因式，使所有分式的分母都变为最简公分母。
针对(1)：$x-y$是整式，可看作分母为1的分式，另一个分式的分母为$x+y$，因此最简公分母为$x+y$，只需给$x-y$的分子、分母同乘$x+y$即可；
针对(2)：先对两个分母因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$4-2x=-2(x-2)$，因此最简公分母为$2(x+2)(x-2)$，变形时注意第二个分母的负号可移到分式前，避免符号出错。
【解析】
(1) 确定最简公分母为$x+y$：
将$x-y$看作分母为1的分式，根据分式基本性质，分子分母同乘$x+y$：
$x - y = \frac{(x - y)(x + y)}{x + y} = \frac{x^2 - y^2}{x + y}$
$\frac{2y^2}{x + y}$的分母已经是最简公分母，无需变形。
(2) 先对分母因式分解：$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$，$4 - 2x = -2(x - 2)$，确定最简公分母为$2(x + 2)(x - 2)$：
给第一个分式的分子、分母同乘2：
$\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{1 × 2}{2(x + 2)(x - 2)} = \frac{2}{2x^2 - 8}$
先将第二个分式的分母负号移到分式前，再给分子、分母同乘$(x + 2)$：
$\frac{3}{4 - 2x} = \frac{3}{-2(x - 2)} = -\frac{3(x + 2)}{2(x + 2)(x - 2)} = -\frac{3x + 6}{2x^2 - 8}$
【答案】
(1) 最简公分母是$x + y$，$x - y = \frac{x^2 - y^2}{x + y}$，$\frac{2y^2}{x + y} = \frac{2y^2}{x + y}$；
(2) 最简公分母是$2(x + 2)(x - 2)$，$\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{2}{2x^2 - 8}$，$\frac{3}{4 - 2x} = -\frac{3x + 6}{2x^2 - 8}$。
【知识点】
分式的基本性质，最简公分母的确定，分式通分
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题关键是准确对分母因式分解以确定最简公分母，处理带负号的分母时要注意符号的正确变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
通分的核心是运用分式的基本性质，将异分母分式转化为同分母分式，解题按两步思考：①先确定最简公分母：如果是整式可看作分母为1的分式，分母是多项式的先因式分解，取各分母所有因式的最高次幂的乘积作为最简公分母；②根据分式的基本性质，给每个分式的分子、分母同乘自身分母缺少的因式，使所有分式的分母都变为最简公分母。
针对(1)：$x-y$是整式，可看作分母为1的分式，另一个分式的分母为$x+y$，因此最简公分母为$x+y$，只需给$x-y$的分子、分母同乘$x+y$即可；
针对(2)：先对两个分母因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$4-2x=-2(x-2)$，因此最简公分母为$2(x+2)(x-2)$，变形时注意第二个分母的负号可移到分式前，避免符号出错。
【解析】
(1) 确定最简公分母为$x+y$：
将$x-y$看作分母为1的分式，根据分式基本性质，分子分母同乘$x+y$：
$x - y = \frac{(x - y)(x + y)}{x + y} = \frac{x^2 - y^2}{x + y}$
$\frac{2y^2}{x + y}$的分母已经是最简公分母，无需变形。
(2) 先对分母因式分解：$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$，$4 - 2x = -2(x - 2)$，确定最简公分母为$2(x + 2)(x - 2)$：
给第一个分式的分子、分母同乘2：
$\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{1 × 2}{2(x + 2)(x - 2)} = \frac{2}{2x^2 - 8}$
先将第二个分式的分母负号移到分式前，再给分子、分母同乘$(x + 2)$：
$\frac{3}{4 - 2x} = \frac{3}{-2(x - 2)} = -\frac{3(x + 2)}{2(x + 2)(x - 2)} = -\frac{3x + 6}{2x^2 - 8}$
【答案】
(1) 最简公分母是$x + y$，$x - y = \frac{x^2 - y^2}{x + y}$，$\frac{2y^2}{x + y} = \frac{2y^2}{x + y}$；
(2) 最简公分母是$2(x + 2)(x - 2)$，$\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{2}{2x^2 - 8}$，$\frac{3}{4 - 2x} = -\frac{3x + 6}{2x^2 - 8}$。
【知识点】
分式的基本性质，最简公分母的确定，分式通分
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题关键是准确对分母因式分解以确定最简公分母，处理带负号的分母时要注意符号的正确变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
6. (2025 北京)已知 $a + b - 3 = 0$，求代数式 $\frac{4(a - b) + 8b}{a^2 + 2ab + b^2}$ 的值。
答案
6. 解:原式 = $\frac{4a - 4b + 8b}{(a + b)^2} = \frac{4(a + b)}{(a + b)^2} = \frac{4}{a + b}$.
$\because a + b - 3 = 0, \therefore a + b = 3$.
$\therefore$ 原式 = $\frac{4}{3}$.
$\because a + b - 3 = 0, \therefore a + b = 3$.
$\therefore$ 原式 = $\frac{4}{3}$.
解析
【分析】
本题无法直接求出a、b的具体数值，因此需先化简所求代数式再整体代入求值。首先对代数式的分子去括号、合并同类项，再利用完全平方公式分解分母，将代数式化简为只含a+b的形式，最后把已知条件转化为a+b的数值代入计算即可。
【解析】
解：先化简代数式：
$\begin{aligned}\frac{4(a - b) + 8b}{a^2 + 2ab + b^2}&=\frac{4a - 4b + 8b}{(a + b)^2}\\&=\frac{4a + 4b}{(a + b)^2}\\&=\frac{4(a + b)}{(a + b)^2}\\&=\frac{4}{a + b}\end{aligned}$
$\because a + b - 3 = 0$，$\therefore a + b = 3$，
将$a + b = 3$代入化简后的式子，得：
原式$=\frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
完全平方公式，分式化简，整体代入求值
【点评】
本题属于基础的代数式求值类题目，解题关键是不盲目求解单个未知字母，先通过整式运算、因式分解化简代数式，再整体代入已知条件计算，能有效简化运算，降低出错率。
【难度系数】
0.8
本题无法直接求出a、b的具体数值，因此需先化简所求代数式再整体代入求值。首先对代数式的分子去括号、合并同类项，再利用完全平方公式分解分母，将代数式化简为只含a+b的形式，最后把已知条件转化为a+b的数值代入计算即可。
【解析】
解：先化简代数式：
$\begin{aligned}\frac{4(a - b) + 8b}{a^2 + 2ab + b^2}&=\frac{4a - 4b + 8b}{(a + b)^2}\\&=\frac{4a + 4b}{(a + b)^2}\\&=\frac{4(a + b)}{(a + b)^2}\\&=\frac{4}{a + b}\end{aligned}$
$\because a + b - 3 = 0$，$\therefore a + b = 3$，
将$a + b = 3$代入化简后的式子，得：
原式$=\frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
完全平方公式，分式化简，整体代入求值
【点评】
本题属于基础的代数式求值类题目，解题关键是不盲目求解单个未知字母，先通过整式运算、因式分解化简代数式，再整体代入已知条件计算，能有效简化运算，降低出错率。
【难度系数】
0.8
