14. 如图，直线AB、CD相交于点O，$EO ⊥ CD$，垂足为O，OF平分$∠ BOD$，OE与OF在直线CD的同侧.
(1) 若$∠ AOC = 50°$，求$∠ EOF$的度数；
(2) 若$∠ EOF = 60°$，求$∠ BOC$的度数；
(3) 试猜想$∠ EOF$与$∠ BOC$之间的数量关系，并说明理由.

14. (1) 因为∠AOC = 50°,所以∠BOD = ∠AOC = 50°.因为OF平分∠BOD,所以∠BOF = ∠DOF = 25°.因为EO ⊥ CD,所以∠COE = 90°.所以∠BOE = 180°−∠COE−∠BOD = 40°.所以∠EOF = ∠BOE + ∠BOF = 65° (2) 因为∠EOF = 60°, ∠COE = 90°,所以∠FOD = 180°−∠EOF−∠COE = 30°.所以∠BOD = 2∠FOD = 60°.所以∠BOC = 180°−∠BOD = 120° (3) ∠BOC = 2∠EOF.理由如下:设∠AOC = α,则∠BOD = α,∠BOE = 90°−α, ∠BOF = $\frac{1}{2}$α,所以∠BOC = 180°−α, ∠EOF = $\frac{1}{2}$α + 90°−α = 90°−$\frac{1}{2}$α.所以∠BOC − 2∠EOF = 180°−α−(180°−α) = 0.所以∠BOC = 2∠EOF

【分析】
(1) 首先利用对顶角相等的性质，由已知的∠AOC求出∠BOD的度数；再根据角平分线的定义算出∠BOF的度数；结合EO⊥CD可得∠COE=90°，利用平角为180°算出∠BOE的度数，最后通过∠BOE与∠BOF的和即可得到∠EOF的度数。
(2) 已知∠EOF的度数和∠COE=90°，结合平角的定义先求出∠FOD的度数；再根据角平分线的定义得到∠BOD的度数；最后利用邻补角之和为180°，算出∠BOC的度数。
(3) 可通过设参数推导数量关系：设∠AOC=α，分别用α表示出∠BOC和∠EOF的表达式，对比两个表达式即可得出二者的数量关系。
【解析】
(1) 因为∠AOC与∠BOD是对顶角，∠AOC = 50°，所以∠BOD = ∠AOC = 50°。
因为OF平分∠BOD，所以$∠ BOF = ∠ DOF = \frac{1}{2}∠ BOD = 25°$。
因为$EO ⊥ CD$，垂足为O，所以$∠ COE = 90°$。
因为∠AOB是平角，所以$∠ BOE = 180° - ∠ COE - ∠ AOC = 180° - 90° - 50° = 40°$。
所以$∠ EOF = ∠ BOE + ∠ BOF = 40° + 25° = 65°$。
(2) 因为$EO ⊥ CD$，所以$∠ COE = 90°$。
因为$∠ COE + ∠ EOF + ∠ FOD = 180°$（平角的定义），$∠ EOF = 60°$，
所以$∠ FOD = 180° - ∠ COE - ∠ EOF = 180° - 90° - 60° = 30°$。
因为OF平分∠BOD，所以$∠ BOD = 2∠ FOD = 60°$。
因为∠BOC与∠BOD是邻补角，所以$∠ BOC = 180° - ∠ BOD = 180° - 60° = 120°$。
(3) 猜想$∠ BOC = 2∠ EOF$，理由如下：
设$∠ AOC = α$，则$∠ BOD = ∠ AOC = α$（对顶角相等）。
因为OF平分∠BOD，所以$∠ BOF = \frac{1}{2}α$。
因为$EO ⊥ CD$，所以$∠ COE = 90°$，所以$∠ BOE = 180° - ∠ COE - ∠ AOC = 90° - α$。
所以$∠ EOF = ∠ BOE + ∠ BOF = (90° - α) + \frac{1}{2}α = 90° - \frac{1}{2}α$。
又因为$∠ BOC = 180° - ∠ AOC = 180° - α$，
所以$∠ BOC = 2×(90° - \frac{1}{2}α) = 2∠ EOF$，即$∠ BOC = 2∠ EOF$。
【答案】
(1) $\boxed{65°}$；(2) $\boxed{120°}$；(3) $\boxed{∠ BOC=2∠ EOF}$
【知识点】
对顶角相等，角平分线定义，垂直的定义
【点评】
本题综合考查相交线相关的角度计算，解题核心是理清角与角之间的和差、等量关系，熟练运用垂直、角平分线、对顶角、邻补角的性质进行角度转化即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

15.（贵州期末）如图，将两个三角板的直角顶点重合.
（1）写出以C为顶点的相等的角.
（2）若$∠ ACB = 150°$，求$∠ DCE$的度数.
（3）写出$∠ ACB$与$∠ DCE$之间所具有的数量关系.
（4）当三角板ACD不动时，将三角板ECB的边EC与边AC重合，然后绕点C按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当$∠ ACE(0° ＜ ∠ ACE ＜ 90°)$等于多少度时，这两个三角板各有一条边互相垂直？直接写出$∠ ACE$的度数的所有可能值，不用说明理由.

(1) ∠ACE = ∠BCD, ∠ACD = ∠ECB (2) 因为∠ACB = 150°, ∠BCE = 90°,所以∠ACE = 150°−90° = 60°.所以∠DCE = 90°−∠ACE = 90°−60° = 30° (3) 因为∠ACB + ∠DCE = ∠BCE + ∠ACE + ∠DCE = 90°+90° = 180°,所以∠ACB与∠DCE互补 (4) 当CE ⊥ AD时,∠ACE = 30°;当EB ⊥ CD时,∠ACE = 45°;当BE ⊥ AD时,∠ACE = 75°;当CB ⊥ AD时,∠ACE = 60°

【分析】
（1）两个三角板的直角均为90°，即∠ACD=∠ECB=90°，两个直角同时减去公共角∠DCE即可得到一组相等的角，两个直角本身也是相等的角；
（2）已知∠ACB的度数，先用∠ACB减去直角∠ECB求出∠ACE的度数，再用直角∠ACD减去∠ACE即可得到∠DCE的度数；
（3）将∠ACB拆分为∠ACE+∠ECB，再与∠DCE求和，合并后即可推出∠ACB与∠DCE的数量关系；
（4）分四种边垂直的情况，结合三角板固有的30°、45°、60°、90°角度，分别计算对应的∠ACE的度数即可。
【解析】
（1）
∵∠ACD=∠ECB=90°，
∴∠ACD-∠DCE=∠ECB-∠DCE，即∠ACE=∠BCD，
同时两个直角相等：∠ACD=∠ECB；
（2）
∵∠ACB=150°，∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=150°-90°=60°，
又
∵∠ACD=90°，
∴∠DCE=∠ACD-∠ACE=90°-60°=30°；
（3）∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠ECB+∠DCE=(∠ACE+∠DCE)+∠ECB=∠ACD+∠ECB=90°+90°=180°，
即∠ACB与∠DCE互补；
（4）分情况讨论可得：当CE⊥AD时，∠ACE=30°；当EB⊥CD时，∠ACE=45°；当BE⊥AD时，∠ACE=75°；当CB⊥AD时，∠ACE=60°。
【答案】
(1) $∠ ACE = ∠ BCD$, $∠ ACD = ∠ ECB$
(2) $∠ DCE=30°$
(3) $∠ ACB$与$∠ DCE$互补（或$∠ ACB+∠ DCE=180°$）
(4) $∠ ACE$的度数可能为$30°、45°、60°、75°$
【知识点】
角的和差计算、余角补角性质、垂直的定义
【点评】
本题以三角板旋转为背景，考查角的计算与垂直的性质，解题关键是熟练掌握角的和差关系，涉及多情况讨论时要注意分类完整，避免漏解。
【难度系数】
0.6

1. 如图，若直线$a$、$b$被直线$l$所截，则$∠ 1$的同位角是 【 】

A.$∠ 2$
B.$∠ 3$
C.$∠ 4$
D.$∠ 5$

B

【分析】
要判断∠1的同位角，首先回忆同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线的同一边，且在两条被截直线的同一侧的角，叫做同位角。本题中首先确定截线是直线l，被截直线是a和b，先明确∠1的位置：在截线l的上方，在被截直线b的左侧，再找同时满足“在截线l上方、在被截直线左侧”的角即可。
【解析】
根据同位角的定义逐一分析：
1. 首先确定截线为直线l，被截直线为a、b。
2. 明确∠1的位置：位于截线l的上方，被截直线b的左侧。
3. 选项分析：
A选项：∠2和∠1是对顶角，不符合同位角的特征，排除；
B选项：∠3位于截线l的上方，被截直线a的左侧，和∠1都在截线同侧、被截直线的同一侧，是∠1的同位角，符合要求；
C选项：∠4位于截线l的上方，但在被截直线a的右侧，和∠1不在被截直线的同一侧，不是同位角，排除；
D选项：∠5位于截线l的下方，和∠1不在截线的同侧，不是同位角，排除。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
同位角的识别
【点评】
本题考查同位角的基本概念，解题的关键是先明确截线和被截直线，再根据同位角的位置特征判断，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8