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9. 有下列说法:①互为补角的两个角的平分线互相垂直;②同一平面内,两条互相垂直的线段不一定相交,但它们所在的直线一定相交;③两条直线相交成四个角,如果有一对对顶角互余,那么这两条直线垂直;④画一条射线的垂线,垂足一定落在这条射线上.其中,正确的有
【 】
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【 】
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
解析
【分析】
本题是基础概念辨析题，需要结合角、线的相关性质逐个判断4个说法的正误。解题时要注意明确各概念的前提条件，可通过举反例的方式验证说法是否成立，重点区分邻补角与补角、线段与直线、射线的性质差异。
【解析】
我们对4个说法逐一判断：
1. 说法①：互为补角的两个角仅满足和为180°，没有位置限制，只有互为邻补角的两个角的平分线才互相垂直，非相邻的补角的平分线无垂直关系，故①错误。
2. 说法②：两条线段互相垂直的本质是它们所在的直线互相垂直。同一平面内，互相垂直的两条直线必然相交（垂直是相交的特殊情况），而线段有固定长度，本身可能不相交，故②正确。
3. 说法③：对顶角相等，若一对对顶角互余，则每个对顶角的度数为90°÷2=45°，两条直线的夹角为45°，不满足垂直（夹角为90°）的要求，故③错误。
4. 说法④：射线仅向一端无限延伸，画射线的垂线时，垂足可以落在射线上，也可以落在射线的反向延长线上，不一定在射线上，故④错误。
综上，仅1个说法正确。
【答案】
A
【知识点】
补角的定义；垂线的定义；对顶角的性质
【点评】
本题主要考查对几何基础概念的理解，易错点在于忽略概念的适用条件，混淆相近概念，解题时养成结合概念举反例验证的习惯，能有效提升这类题的正确率。
【难度系数】
0.6
本题是基础概念辨析题，需要结合角、线的相关性质逐个判断4个说法的正误。解题时要注意明确各概念的前提条件，可通过举反例的方式验证说法是否成立，重点区分邻补角与补角、线段与直线、射线的性质差异。
【解析】
我们对4个说法逐一判断：
1. 说法①：互为补角的两个角仅满足和为180°，没有位置限制，只有互为邻补角的两个角的平分线才互相垂直，非相邻的补角的平分线无垂直关系，故①错误。
2. 说法②：两条线段互相垂直的本质是它们所在的直线互相垂直。同一平面内，互相垂直的两条直线必然相交（垂直是相交的特殊情况），而线段有固定长度，本身可能不相交，故②正确。
3. 说法③：对顶角相等，若一对对顶角互余，则每个对顶角的度数为90°÷2=45°，两条直线的夹角为45°，不满足垂直（夹角为90°）的要求，故③错误。
4. 说法④：射线仅向一端无限延伸，画射线的垂线时，垂足可以落在射线上，也可以落在射线的反向延长线上，不一定在射线上，故④错误。
综上，仅1个说法正确。
【答案】
A
【知识点】
补角的定义；垂线的定义；对顶角的性质
【点评】
本题主要考查对几何基础概念的理解，易错点在于忽略概念的适用条件，混淆相近概念，解题时养成结合概念举反例验证的习惯，能有效提升这类题的正确率。
【难度系数】
0.6
10. (武汉期末)如图,已知点O是直线AB上一点,射线OC在直线AB上方,OM平分$∠ AOC$,ON平分$∠ BOC$,$OP ⊥ AB$,有下列说法:①$∠ MON = 90°$;②图中互补的角共有6对;③$∠ COM = ∠ PON$;④$∠ POC = ∠ BON - ∠ AOM$.其中,正确的说法有 【 】
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
首先梳理已知条件：点O在直线AB上，故∠AOB=180°；OM平分∠AOC、ON平分∠BOC，可得两组相等的角；OP⊥AB可得∠AOP=∠BOP=90°。我们只需逐个验证4个说法是否符合角的运算规则即可：
1. 验证①：利用角平分线性质将∠MON拆分为两个半角之和，结合平角180°计算即可判断；
2. 验证②：按“两个角和为180°即为互补”的规则分类计数，对比数量即可判断；
3. 验证③：利用等角的余角相等，结合已知的直角、相等的角推导即可判断；
4. 验证④：分别用∠AOM表示∠POC和∠BON-∠AOM，对比结果即可判断。
【解析】
已知O在直线AB上，
∴∠AOB=180°；
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠AOM=∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC；
∵OP⊥AB，
∴∠AOP=∠BOP=90°。
① 计算∠MON：
∠MON=∠COM+∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$×180°=90°，故①正确；
② 计数互补的角：
和为180°的角有：∠AOP与∠BOP、∠AOP与∠MON、∠BOP与∠MON、∠AOM与∠MOB、∠COM与∠MOB、∠AOC与∠BOC、∠AON与∠BON、∠AON与∠CON，共8对≠6对，故②错误；
③ 推导∠COM和∠PON的关系：
∵∠PON+∠BON=∠BOP=90°，∠COM+∠CON=∠MON=90°，且∠BON=∠CON，根据等角的余角相等可得∠COM=∠PON，故③正确；
④ 推导∠POC和∠BON-∠AOM的关系：
∠POC=∠AOP-∠AOC=90°-2∠AOM，
∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(180°-∠AOC)=90°-∠AOM，
∴∠BON-∠AOM=90°-∠AOM-∠AOM=90°-2∠AOM=∠POC，故④正确。
综上，①③④共3个说法正确。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；余角和补角；垂线的性质
【点评】
本题综合考查角的运算相关性质，需要学生熟练应用角平分线、互余互补的规则逐一推导结论，易错点是计数互补角时漏算，考验分类计数和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
首先梳理已知条件：点O在直线AB上，故∠AOB=180°；OM平分∠AOC、ON平分∠BOC，可得两组相等的角；OP⊥AB可得∠AOP=∠BOP=90°。我们只需逐个验证4个说法是否符合角的运算规则即可：
1. 验证①：利用角平分线性质将∠MON拆分为两个半角之和，结合平角180°计算即可判断；
2. 验证②：按“两个角和为180°即为互补”的规则分类计数，对比数量即可判断；
3. 验证③：利用等角的余角相等，结合已知的直角、相等的角推导即可判断；
4. 验证④：分别用∠AOM表示∠POC和∠BON-∠AOM，对比结果即可判断。
【解析】
已知O在直线AB上，
∴∠AOB=180°；
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠AOM=∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC；
∵OP⊥AB，
∴∠AOP=∠BOP=90°。
① 计算∠MON：
∠MON=∠COM+∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$×180°=90°，故①正确；
② 计数互补的角：
和为180°的角有：∠AOP与∠BOP、∠AOP与∠MON、∠BOP与∠MON、∠AOM与∠MOB、∠COM与∠MOB、∠AOC与∠BOC、∠AON与∠BON、∠AON与∠CON，共8对≠6对，故②错误；
③ 推导∠COM和∠PON的关系：
∵∠PON+∠BON=∠BOP=90°，∠COM+∠CON=∠MON=90°，且∠BON=∠CON，根据等角的余角相等可得∠COM=∠PON，故③正确；
④ 推导∠POC和∠BON-∠AOM的关系：
∠POC=∠AOP-∠AOC=90°-2∠AOM，
∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(180°-∠AOC)=90°-∠AOM，
∴∠BON-∠AOM=90°-∠AOM-∠AOM=90°-2∠AOM=∠POC，故④正确。
综上，①③④共3个说法正确。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；余角和补角；垂线的性质
【点评】
本题综合考查角的运算相关性质，需要学生熟练应用角平分线、互余互补的规则逐一推导结论，易错点是计数互补角时漏算，考验分类计数和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
11. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE ⊥ AB，OF平分∠BOC，∠1:∠2 = 3:2，则∠COF的度数为
72°
。答案
11. 72°
解析
【分析】
解题思路：第一步，先利用OE⊥AB得到∠1与∠2的和为90°，结合∠1:∠2=3:2的比例关系计算出∠2的度数；第二步，根据AB为直线，∠BOC与∠2互为邻补角，和为180°，计算出∠BOC的度数；第三步，利用OF平分∠BOC的性质，得到∠COF等于∠BOC的一半，即可算出结果。
【解析】
解：
∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，即∠1+∠2=90°，
∵∠1:∠2=3:2，设∠1=3x，∠2=2x，
则3x+2x=90°，解得x=18°，
∴∠2=2×18°=36°，
∵AB是直线，∠BOC与∠2互为邻补角，
∴∠BOC=180°-∠2=180°-36°=144°，
又
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF=½∠BOC=½×144°=72°。
【答案】
72°
【知识点】
垂直的定义；角平分线的定义；邻补角的性质
【点评】
本题属于相交线角度计算的基础题，需要将已知的垂直关系、比例关系、角平分线性质相结合，逐步推导未知角度，解题时注意理清各个角之间的位置关系即可。
【难度系数】
0.7
解题思路：第一步，先利用OE⊥AB得到∠1与∠2的和为90°，结合∠1:∠2=3:2的比例关系计算出∠2的度数；第二步，根据AB为直线，∠BOC与∠2互为邻补角，和为180°，计算出∠BOC的度数；第三步，利用OF平分∠BOC的性质，得到∠COF等于∠BOC的一半，即可算出结果。
【解析】
解：
∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，即∠1+∠2=90°，
∵∠1:∠2=3:2，设∠1=3x，∠2=2x，
则3x+2x=90°，解得x=18°，
∴∠2=2×18°=36°，
∵AB是直线，∠BOC与∠2互为邻补角，
∴∠BOC=180°-∠2=180°-36°=144°，
又
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF=½∠BOC=½×144°=72°。
【答案】
72°
【知识点】
垂直的定义；角平分线的定义；邻补角的性质
【点评】
本题属于相交线角度计算的基础题，需要将已知的垂直关系、比例关系、角平分线性质相结合，逐步推导未知角度，解题时注意理清各个角之间的位置关系即可。
【难度系数】
0.7
12.（海口期末）【动手操作】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使$∠ BOC = 135°$. 将直角三角板MON绕点O旋转一周，当直线OM与直线OC互相垂直时，$∠ AOM$的度数是
135°或45°
.答案
12. 135°或45°
解析
【分析】
首先根据平角的定义先求出∠AOC的度数，再结合三角板可绕O旋转一周的条件，分两种情况讨论直线OM与OC垂直时的位置：一种是OM在直线AB上方与OC垂直，另一种是OM在直线AB下方与OC垂直，分别计算两种情况对应的∠AOM度数即可，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
解：
∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，
又
∵∠BOC=135°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-135°=45°。
分两种情况讨论：
①当OM在直线AB上方，且OM⊥OC时，∠COM=90°，
此时∠AOM=∠AOC+∠COM=45°+90°=135°；
②当OM在直线AB下方，且OM⊥OC时，∠COM=90°，
此时∠AOM=∠COM-∠AOC=90°-45°=45°。
综上，∠AOM的度数为135°或45°。
【答案】
135°或45°
【知识点】
平角的定义，垂线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略旋转后存在两种符合条件的位置，导致漏解，解题时要结合图形的运动特征，全面分析所有满足条件的情况。
【难度系数】
0.7
首先根据平角的定义先求出∠AOC的度数，再结合三角板可绕O旋转一周的条件，分两种情况讨论直线OM与OC垂直时的位置：一种是OM在直线AB上方与OC垂直，另一种是OM在直线AB下方与OC垂直，分别计算两种情况对应的∠AOM度数即可，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
解：
∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，
又
∵∠BOC=135°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-135°=45°。
分两种情况讨论：
①当OM在直线AB上方，且OM⊥OC时，∠COM=90°，
此时∠AOM=∠AOC+∠COM=45°+90°=135°；
②当OM在直线AB下方，且OM⊥OC时，∠COM=90°，
此时∠AOM=∠COM-∠AOC=90°-45°=45°。
综上，∠AOM的度数为135°或45°。
【答案】
135°或45°
【知识点】
平角的定义，垂线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略旋转后存在两种符合条件的位置，导致漏解，解题时要结合图形的运动特征，全面分析所有满足条件的情况。
【难度系数】
0.7
13. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE ⊥ AB，OF ⊥ CD，垂足都为点O.
（1）试说明：$∠ EOF = ∠ AOC$；
（2）若$∠ AOD = 5∠ EOF$，求$∠ EOF$的度数.
（1）试说明：$∠ EOF = ∠ AOC$；
（2）若$∠ AOD = 5∠ EOF$，求$∠ EOF$的度数.
答案
(1) 因为OE ⊥ AB, OF ⊥ CD,所以∠AOE = ∠COF = ∠DOF = 90°.所以∠EOF + ∠AOF = ∠AOC + ∠AOF = 90°.所以∠EOF = ∠AOC (2) 设∠EOF的度数为x,所以∠AOD = 5∠EOF = 5x, ∠AOF = 90°−x.因为∠AOD = ∠AOF + ∠DOF = ∠AOF + 90°,所以90°−x+90°=5x.解得x = 30°.所以∠EOF = 30°
解析
【分析】
（1）要证明∠EOF=∠AOC，首先根据垂直的定义可得多个90°的角，观察图形可发现∠EOF和∠AOC都与∠AOF互余，根据同角的余角相等即可推导出两个角相等；
（2）已知∠AOD与∠EOF的倍数关系，可通过设未知数列方程求解：设∠EOF为x，用含x的式子表示∠AOD，再结合图形中角的和差关系列出关于x的方程，解方程即可得到∠EOF的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵OE⊥AB，OF⊥CD（已知），
∴∠AOE=∠COF=90°（垂直的定义），
∴∠EOF + ∠AOF = 90°，∠AOC + ∠AOF = 90°，
∴∠EOF = ∠AOC（同角的余角相等）。
(2) 解：
设∠EOF的度数为$x$，则∠AOD=$5x$，
由(1)知∠AOC=∠EOF=$x$，
∵∠COF=90°，
∴∠AOF=90°-$x$，
又
∵OF⊥CD，
∴∠DOF=90°，
∵∠AOD=∠AOF+∠DOF，
代入得：$90° -x +90° =5x$，
整理得$6x=180°$，解得$x=30°$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boxed{30°}$
【知识点】
垂线的定义，余角的性质，角度和差计算
【点评】
本题是相交线与垂线章节的典型题型，既考查了垂直相关的角的性质，又融入了方程思想求解未知角度，解题核心是理清图中各角的互余、和差关系，熟练运用等量代换完成推导和计算。
【难度系数】
0.7
（1）要证明∠EOF=∠AOC，首先根据垂直的定义可得多个90°的角，观察图形可发现∠EOF和∠AOC都与∠AOF互余，根据同角的余角相等即可推导出两个角相等；
（2）已知∠AOD与∠EOF的倍数关系，可通过设未知数列方程求解：设∠EOF为x，用含x的式子表示∠AOD，再结合图形中角的和差关系列出关于x的方程，解方程即可得到∠EOF的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵OE⊥AB，OF⊥CD（已知），
∴∠AOE=∠COF=90°（垂直的定义），
∴∠EOF + ∠AOF = 90°，∠AOC + ∠AOF = 90°，
∴∠EOF = ∠AOC（同角的余角相等）。
(2) 解：
设∠EOF的度数为$x$，则∠AOD=$5x$，
由(1)知∠AOC=∠EOF=$x$，
∵∠COF=90°，
∴∠AOF=90°-$x$，
又
∵OF⊥CD，
∴∠DOF=90°，
∵∠AOD=∠AOF+∠DOF，
代入得：$90° -x +90° =5x$，
整理得$6x=180°$，解得$x=30°$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boxed{30°}$
【知识点】
垂线的定义，余角的性质，角度和差计算
【点评】
本题是相交线与垂线章节的典型题型，既考查了垂直相关的角的性质，又融入了方程思想求解未知角度，解题核心是理清图中各角的互余、和差关系，熟练运用等量代换完成推导和计算。
【难度系数】
0.7
