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3.（郑州期中）如图，从货场B到铁道怎样走最近？小明的做法是：过点B向铁道作垂线，这样作距离最短，其数学道理是 【 】
A.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短
C.两点之间线段最短
D.两点确定一条直线
A.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短
C.两点之间线段最短
D.两点确定一条直线
答案
B
解析
【分析】
解题时首先明确题意：本题需要找出“直线外一点到直线作垂线段，路径最短”对应的数学原理。先逐一区分四个选项对应的知识点适用场景：首先排除和“最短距离”无关的选项A、D；再区分垂线段最短和两点之间线段最短的适用范围：前者适用于点到直线的最短距离，后者适用于两点之间的最短距离，本题是点B到铁道（直线）的最短路径，对应垂线段最短的性质，即可选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 该选项描述的是同一平面内垂线的存在性和唯一性，与“垂线段距离最短”的结论无关，不符合题意；
B. 该选项就是垂线段最短的性质，点B是铁道这条直线外的点，过点B作的垂线段是点B到铁道的所有连线中最短的，正好对应本题的原理，符合题意；
C. 该选项适用场景是两个点之间的最短距离，本题是点到直线的距离，不适用，不符合题意；
D. 该选项是直线的确定公理，与距离最短的问题无关，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 垂线段的性质
2. 几何公理辨析
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查学生对常见几何基本公理的理解和区分能力，解题的关键是明确各个公理的适用场景，不要混淆“垂线段最短”和“两点之间线段最短”的使用条件。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题意：本题需要找出“直线外一点到直线作垂线段，路径最短”对应的数学原理。先逐一区分四个选项对应的知识点适用场景：首先排除和“最短距离”无关的选项A、D；再区分垂线段最短和两点之间线段最短的适用范围：前者适用于点到直线的最短距离，后者适用于两点之间的最短距离，本题是点B到铁道（直线）的最短路径，对应垂线段最短的性质，即可选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 该选项描述的是同一平面内垂线的存在性和唯一性，与“垂线段距离最短”的结论无关，不符合题意；
B. 该选项就是垂线段最短的性质，点B是铁道这条直线外的点，过点B作的垂线段是点B到铁道的所有连线中最短的，正好对应本题的原理，符合题意；
C. 该选项适用场景是两个点之间的最短距离，本题是点到直线的距离，不适用，不符合题意；
D. 该选项是直线的确定公理，与距离最短的问题无关，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 垂线段的性质
2. 几何公理辨析
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查学生对常见几何基本公理的理解和区分能力，解题的关键是明确各个公理的适用场景，不要混淆“垂线段最短”和“两点之间线段最短”的使用条件。
【难度系数】
0.8
4.（孝义期中）如图，已知直线$AB ⊥ l$，$BC ⊥ l$，则A、B、C三点在同一条直线上，理由是
（第4题）
同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
。（第4题）答案
4. 同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：直线AB和BC都经过点B，且都与直线l垂直。接下来回忆垂线的相关性质：同一平面内，过一个已知点，有且只有一条直线能和已知直线垂直。由此可推断，过B点垂直于l的直线只能有1条，所以AB和BC必然是同一条直线，即可得出A、B、C三点共线的结论。
【解析】
已知$AB ⊥ l$，$BC ⊥ l$，即直线AB、BC均为过点B且垂直于直线l的直线。根据垂线的性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可知AB与BC是同一条直线，因此A、B、C三点在同一条直线上。
【答案】
同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【知识点】
垂线的性质；三点共线判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对垂线性质的掌握，解题时需注意不要遗漏“同一平面内”这一前提，准确记忆相关概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：直线AB和BC都经过点B，且都与直线l垂直。接下来回忆垂线的相关性质：同一平面内，过一个已知点，有且只有一条直线能和已知直线垂直。由此可推断，过B点垂直于l的直线只能有1条，所以AB和BC必然是同一条直线，即可得出A、B、C三点共线的结论。
【解析】
已知$AB ⊥ l$，$BC ⊥ l$，即直线AB、BC均为过点B且垂直于直线l的直线。根据垂线的性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可知AB与BC是同一条直线，因此A、B、C三点在同一条直线上。
【答案】
同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【知识点】
垂线的性质；三点共线判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对垂线性质的掌握，解题时需注意不要遗漏“同一平面内”这一前提，准确记忆相关概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5.如图，已知$OA ⊥ OB$，$OC ⊥ OD$，若$∠ AOC = 35°$，则$∠ BOD$的度数是
35
°。答案
5. 35
解析
【分析】
解题时先根据垂直的定义得到两个直角，再观察∠AOC和∠BOD与公共角∠COB的关系：二者都与∠COB相加等于90°，根据同角的余角相等，即可得出∠BOD和∠AOC相等，代入已知角度即可得到答案。
【解析】
解：
∵ OA⊥OB，OC⊥OD（已知）
∴ ∠AOB = ∠COD = 90°（垂直的定义）
∴ ∠AOC + ∠COB = 90°，∠BOD + ∠COB = 90°
∴ ∠BOD = ∠AOC（同角的余角相等）
∵ ∠AOC = 35°（已知）
∴ ∠BOD = 35°
【答案】
35
【知识点】
垂直的定义、同角的余角相等
【点评】
本题是基础几何题，核心是利用垂直关系找到互余的角，再通过余角的性质推导角度相等，掌握相关基础概念和性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先根据垂直的定义得到两个直角，再观察∠AOC和∠BOD与公共角∠COB的关系：二者都与∠COB相加等于90°，根据同角的余角相等，即可得出∠BOD和∠AOC相等，代入已知角度即可得到答案。
【解析】
解：
∵ OA⊥OB，OC⊥OD（已知）
∴ ∠AOB = ∠COD = 90°（垂直的定义）
∴ ∠AOC + ∠COB = 90°，∠BOD + ∠COB = 90°
∴ ∠BOD = ∠AOC（同角的余角相等）
∵ ∠AOC = 35°（已知）
∴ ∠BOD = 35°
【答案】
35
【知识点】
垂直的定义、同角的余角相等
【点评】
本题是基础几何题，核心是利用垂直关系找到互余的角，再通过余角的性质推导角度相等，掌握相关基础概念和性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，射线OF平分∠AOC，∠AOF=25°，则∠BOD的度数为
50°
，∠COE的度数为40°
。答案
6. 50° 40°
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①已知射线OF平分∠AOC且∠AOF=25°，根据角平分线的定义可先求出∠AOC的度数，再结合对顶角相等的性质，就能得到∠BOD的度数；②已知OE⊥AB，根据垂线的定义可得∠AOE为90°，用∠AOE的度数减去已求出的∠AOC的度数，即可得到∠COE的度数。
【解析】
1. 求∠BOD的度数：
∵ OF平分∠AOC，∠AOF=25°，
∴ ∠AOC=2∠AOF=2×25°=50°，
又
∵ ∠BOD与∠AOC是对顶角，对顶角相等，
∴ ∠BOD=∠AOC=50°。
2. 求∠COE的度数：
∵ OE⊥AB，
∴ ∠AOE=90°，
∴ ∠COE=∠AOE - ∠AOC=90° - 50°=40°。
【答案】
50°；40°
【知识点】
对顶角的性质；角平分线的定义；垂线的性质
【点评】
本题是相交线相关的基础题型，核心是结合已知条件梳理不同角之间的数量关系，只要熟练掌握角平分线、对顶角、垂线的相关性质，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：①已知射线OF平分∠AOC且∠AOF=25°，根据角平分线的定义可先求出∠AOC的度数，再结合对顶角相等的性质，就能得到∠BOD的度数；②已知OE⊥AB，根据垂线的定义可得∠AOE为90°，用∠AOE的度数减去已求出的∠AOC的度数，即可得到∠COE的度数。
【解析】
1. 求∠BOD的度数：
∵ OF平分∠AOC，∠AOF=25°，
∴ ∠AOC=2∠AOF=2×25°=50°，
又
∵ ∠BOD与∠AOC是对顶角，对顶角相等，
∴ ∠BOD=∠AOC=50°。
2. 求∠COE的度数：
∵ OE⊥AB，
∴ ∠AOE=90°，
∴ ∠COE=∠AOE - ∠AOC=90° - 50°=40°。
【答案】
50°；40°
【知识点】
对顶角的性质；角平分线的定义；垂线的性质
【点评】
本题是相交线相关的基础题型，核心是结合已知条件梳理不同角之间的数量关系，只要熟练掌握角平分线、对顶角、垂线的相关性质，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8
7. 如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,BC=4 cm,AC=3 cm.
(1) 点B到AC的距离是
(2) 画出表示点C到AB的距离的垂线段CD,以及画线段BC的垂直平分线l;
(3) AC
(1) 点B到AC的距离是
4
cm,点A到BC的距离是3
cm;(2) 画出表示点C到AB的距离的垂线段CD,以及画线段BC的垂直平分线l;
(3) AC
＞
CD(填“＞”“＜”“=”),理由是垂线段最短
.答案
7. (1) 4 3 (2) 略 (3) ＞ 垂线段最短
解析
【分析】
解题时先梳理对应知识点逐步推导：1. 回忆点到直线距离的定义，是直线外一点到这条直线的垂线段长度，结合∠C是直角的条件，可直接找到对应垂线段得到第一问结果；2. 第二问属于基本作图，按照垂线段、垂直平分线的作图规范操作即可；3. 第三问结合垂线段最短的性质分析：CD是点C到AB的垂线段，AC是点C连接AB上点A的斜线段，根据性质即可判断大小并写出理由。
【解析】
(1) 根据点到直线的距离的定义，因为∠C=90°，即BC⊥AC，所以点B到AC的垂线段为BC，长度为4cm；点A到BC的垂线段为AC，长度为3cm。
(2) ① 过点C作CD⊥AB，垂足为D，线段CD就是表示点C到AB距离的垂线段；② 取BC的中点，过中点作垂直于BC的直线l，即为BC的垂直平分线。（作图略）
(3) 点C是直线AB外的点，CD是点C到AB的垂线段，AC是点C与AB上点A相连的斜线段，根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”，可得CD＜AC，即AC＞CD。
【答案】
(1) 4；3 (2) 略 (3) ＞；垂线段最短
【知识点】
点到直线的距离；基本作图；垂线段最短
【点评】
本题是垂线相关知识的基础考查题，侧重对基础概念的理解、基本作图能力以及性质应用的检验，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理对应知识点逐步推导：1. 回忆点到直线距离的定义，是直线外一点到这条直线的垂线段长度，结合∠C是直角的条件，可直接找到对应垂线段得到第一问结果；2. 第二问属于基本作图，按照垂线段、垂直平分线的作图规范操作即可；3. 第三问结合垂线段最短的性质分析：CD是点C到AB的垂线段，AC是点C连接AB上点A的斜线段，根据性质即可判断大小并写出理由。
【解析】
(1) 根据点到直线的距离的定义，因为∠C=90°，即BC⊥AC，所以点B到AC的垂线段为BC，长度为4cm；点A到BC的垂线段为AC，长度为3cm。
(2) ① 过点C作CD⊥AB，垂足为D，线段CD就是表示点C到AB距离的垂线段；② 取BC的中点，过中点作垂直于BC的直线l，即为BC的垂直平分线。（作图略）
(3) 点C是直线AB外的点，CD是点C到AB的垂线段，AC是点C与AB上点A相连的斜线段，根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”，可得CD＜AC，即AC＞CD。
【答案】
(1) 4；3 (2) 略 (3) ＞；垂线段最短
【知识点】
点到直线的距离；基本作图；垂线段最短
【点评】
本题是垂线相关知识的基础考查题，侧重对基础概念的理解、基本作图能力以及性质应用的检验，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
8. (虞城期中)如图，直线AB、CD相交于点O，OM ⊥ AB.
(1) 若∠1 = ∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；
(2) 若∠1 = $\frac{1}{4}$∠BOC，求∠BOD的度数.
(1) 若∠1 = ∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；
(2) 若∠1 = $\frac{1}{4}$∠BOC，求∠BOD的度数.
答案
(1) ON ⊥ CD. 理由略 (2) 60°
解析
【分析】
(1) 要判断ON与CD的位置关系，可通过证明∠CON为90°推导。已知OM⊥AB可得∠AOM=90°，即∠1+∠AOC=90°，结合∠1=∠2，将∠1替换为∠2，即可得到∠2+∠AOC=90°，推出∠CON=90°，从而得到垂直关系。
(2) 要求∠BOD的度数，可先求其对顶角∠AOC的度数。由OM⊥AB得∠MOB=90°，则∠BOC=90°+∠1，结合∠1=$\frac{1}{4}$∠BOC的数量关系，可列方程求出∠1的度数，再用∠AOM减∠1得到∠AOC的度数，最后根据对顶角相等得到∠BOD的度数。
【解析】
(1) ON⊥CD，理由如下：
∵ OM⊥AB，
∴ ∠AOM = 90°，即$∠ 1 + ∠ AOC = 90°$，
又
∵ $∠ 1 = ∠ 2$，
∴ $∠ 2 + ∠ AOC = 90°$，即$∠ CON = 90°$，
∴ ON⊥CD。
(2) 解：
∵ OM⊥AB，
∴ $∠ MOB = 90°$，
∴ $∠ BOC = ∠ MOB + ∠ 1 = 90° + ∠ 1$，
∵ $∠ 1 = \frac{1}{4}∠ BOC$，
∴ $∠ BOC = 4∠ 1$，
代入得：$4∠ 1 = 90° + ∠ 1$，
解得：$∠ 1 = 30°$，
∴ $∠ AOC = ∠ AOM - ∠ 1 = 90° - 30° = 60°$，
∵ ∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴ $∠ BOD = ∠ AOC = 60°$。
【答案】
(1) ON⊥CD；(2) $60°$
【知识点】
垂线的性质与判定，对顶角相等，角度计算
【点评】
本题是基础几何题，侧重考查垂直的相关性质和对顶角性质的应用，解题时要善于结合已知的垂直条件得到90°角，再根据角度间的数量关系推导未知角，熟练掌握基础几何概念是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断ON与CD的位置关系，可通过证明∠CON为90°推导。已知OM⊥AB可得∠AOM=90°，即∠1+∠AOC=90°，结合∠1=∠2，将∠1替换为∠2，即可得到∠2+∠AOC=90°，推出∠CON=90°，从而得到垂直关系。
(2) 要求∠BOD的度数，可先求其对顶角∠AOC的度数。由OM⊥AB得∠MOB=90°，则∠BOC=90°+∠1，结合∠1=$\frac{1}{4}$∠BOC的数量关系，可列方程求出∠1的度数，再用∠AOM减∠1得到∠AOC的度数，最后根据对顶角相等得到∠BOD的度数。
【解析】
(1) ON⊥CD，理由如下：
∵ OM⊥AB，
∴ ∠AOM = 90°，即$∠ 1 + ∠ AOC = 90°$，
又
∵ $∠ 1 = ∠ 2$，
∴ $∠ 2 + ∠ AOC = 90°$，即$∠ CON = 90°$，
∴ ON⊥CD。
(2) 解：
∵ OM⊥AB，
∴ $∠ MOB = 90°$，
∴ $∠ BOC = ∠ MOB + ∠ 1 = 90° + ∠ 1$，
∵ $∠ 1 = \frac{1}{4}∠ BOC$，
∴ $∠ BOC = 4∠ 1$，
代入得：$4∠ 1 = 90° + ∠ 1$，
解得：$∠ 1 = 30°$，
∴ $∠ AOC = ∠ AOM - ∠ 1 = 90° - 30° = 60°$，
∵ ∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴ $∠ BOD = ∠ AOC = 60°$。
【答案】
(1) ON⊥CD；(2) $60°$
【知识点】
垂线的性质与判定，对顶角相等，角度计算
【点评】
本题是基础几何题，侧重考查垂直的相关性质和对顶角性质的应用，解题时要善于结合已知的垂直条件得到90°角，再根据角度间的数量关系推导未知角，熟练掌握基础几何概念是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.7
