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14. 如图，直线AB、CD相交于点O，OM平分∠BOD，且∠AOD = 4∠BOD.
（1）求∠DOM的度数；
（2）若ON平分∠COM，求∠AON的度数.
（1）求∠DOM的度数；
（2）若ON平分∠COM，求∠AON的度数.
答案
（1）因为∠AOD = 4∠BOD，∠AOD + ∠BOD =180°,所以∠BOD = 36°. 因为OM平分∠BOD，所以∠DOM = 1/2∠BOD = 18° （2）因为∠COM =180°−∠DOM = 162°,ON平分∠COM,所以∠CON = 1/2∠COM = 81°. 因为∠AOC = ∠BOD = 36°,所以∠AON = ∠AOC + ∠CON = 117°
解析
【分析】
（1）首先直线AB上的∠AOD和∠BOD是邻补角，和为180°，结合已知∠AOD=4∠BOD的数量关系，可先求出∠BOD的度数，再根据OM是∠BOD的角平分线，即可求出∠DOM的度数。
（2）先根据直线CD上∠COM和∠DOM是邻补角，求出∠COM的度数，再由ON平分∠COM得到∠CON的度数，最后利用对顶角相等得到∠AOC=∠BOD，将两个角相加即可求出∠AON的度数。
【解析】
（1）
∵ 直线AB，
∴ $∠ AOD + ∠ BOD = 180°$
又
∵ $∠ AOD = 4∠ BOD$
∴ $4∠ BOD + ∠ BOD = 180°$，即$5∠ BOD=180°$
解得$∠ BOD=36°$
∵ OM平分$∠ BOD$
∴ $∠ DOM = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2}×36° = 18°$
（2）
∵ 直线CD，
∴ $∠ COM + ∠ DOM = 180°$
∴ $∠ COM = 180° - 18° = 162°$
∵ ON平分$∠ COM$
∴ $∠ CON = \frac{1}{2}∠ COM = \frac{1}{2}×162° = 81°$
∵ $∠ AOC$和$∠ BOD$是对顶角，
∴ $∠ AOC = ∠ BOD = 36°$
∴ $∠ AON = ∠ AOC + ∠ CON = 36° + 81° = 117°$
【答案】
（1）$\boxed{18°}$
（2）$\boxed{117°}$
【知识点】
邻补角的性质；角平分线的定义；对顶角的性质
【点评】
本题是角的计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握邻补角、对顶角的性质和角平分线的定义，理清图中各角的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（1）首先直线AB上的∠AOD和∠BOD是邻补角，和为180°，结合已知∠AOD=4∠BOD的数量关系，可先求出∠BOD的度数，再根据OM是∠BOD的角平分线，即可求出∠DOM的度数。
（2）先根据直线CD上∠COM和∠DOM是邻补角，求出∠COM的度数，再由ON平分∠COM得到∠CON的度数，最后利用对顶角相等得到∠AOC=∠BOD，将两个角相加即可求出∠AON的度数。
【解析】
（1）
∵ 直线AB，
∴ $∠ AOD + ∠ BOD = 180°$
又
∵ $∠ AOD = 4∠ BOD$
∴ $4∠ BOD + ∠ BOD = 180°$，即$5∠ BOD=180°$
解得$∠ BOD=36°$
∵ OM平分$∠ BOD$
∴ $∠ DOM = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2}×36° = 18°$
（2）
∵ 直线CD，
∴ $∠ COM + ∠ DOM = 180°$
∴ $∠ COM = 180° - 18° = 162°$
∵ ON平分$∠ COM$
∴ $∠ CON = \frac{1}{2}∠ COM = \frac{1}{2}×162° = 81°$
∵ $∠ AOC$和$∠ BOD$是对顶角，
∴ $∠ AOC = ∠ BOD = 36°$
∴ $∠ AON = ∠ AOC + ∠ CON = 36° + 81° = 117°$
【答案】
（1）$\boxed{18°}$
（2）$\boxed{117°}$
【知识点】
邻补角的性质；角平分线的定义；对顶角的性质
【点评】
本题是角的计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握邻补角、对顶角的性质和角平分线的定义，理清图中各角的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
15. 阅读理解：
（1）两条直线a、b相交于点O，如图①，则有
（2）三条直线a、b、c相交于一点O，如图②，若把直线平移，如图③，则有
（3）四条直线a、b、c、d相交于一点O，如图④，用小题（2）中的方法把直线平移，则有
（4）n条直线相交于一点O，用小题（2）的方法把直线平移，则有
（5）2024条直线相交，用小题（2）中的方法把直线平移，则有
（1）两条直线a、b相交于点O，如图①，则有
2
对对顶角；（2）三条直线a、b、c相交于一点O，如图②，若把直线平移，如图③，则有
6
对对顶角；（3）四条直线a、b、c、d相交于一点O，如图④，用小题（2）中的方法把直线平移，则有
12
对对顶角；（4）n条直线相交于一点O，用小题（2）的方法把直线平移，则有
n(n−1)
对对顶角；（5）2024条直线相交，用小题（2）中的方法把直线平移，则有
2024×2023（或4 094 552）
对对顶角。答案
15. (1) 2 (2) 6 (3) 12 (4) n(n−1) (5) 2024×2023（或4 094 552）
解析
【分析】
解题的核心是明确：任意两条直线相交都会形成2对对顶角，多条直线相交时，无论交于同一点还是多个交点，对顶角总个数只和“两两相交的直线组数”有关。思考步骤如下：
1. 先解决简单的特殊情况：2条直线相交，只有1组两两相交的直线，对应2对对顶角；
2. 拓展到3条、4条直线的情况：数出所有两两配对的直线组，每组对应2对对顶角，相乘得到总对数；
3. 归纳一般规律：计算n条直线中两两配对的总组数，乘2后化简得到n条直线相交的对顶角总数公式；
4. 最后将n=2024代入公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 两条直线a、b相交，只有1组两两相交的直线，每组产生2对对顶角，因此共有2对对顶角；
(2) 三条直线a、b、c，两两配对共有3组（a和b、a和c、b和c），每组产生2对对顶角，总对数为$3×2=6$，平移后直线两两相交的组数不变，因此对顶角总数仍是6；
(3) 四条直线a、b、c、d，两两配对共有6组（a和b、a和c、a和d、b和c、b和d、c和d），每组产生2对对顶角，总对数为$6×2=12$，平移后对顶角总数不变，为12；
(4) n条直线时，两两配对的总组数为$\frac{n(n-1)}{2}$，每组对应2对对顶角，因此总对数为$\frac{n(n-1)}{2} × 2 = n(n-1)$；
(5) 当n=2024时，代入公式得总对顶角数为$2024 × 2023 = 4094552$。
【答案】
(1) 2；(2) 6；(3) 12；(4) $n(n-1)$；(5) $2024 × 2023$（或4094552）
【知识点】
对顶角的定义；相交线的性质；规律归纳探究
【点评】
本题考查对顶角的计数问题，解题关键是抓住“两条直线相交形成2对对顶角”的核心性质，通过从特殊到一般的归纳方法推导通用公式，计数时注意不重复、不遗漏两两相交的直线组即可。
【难度系数】
0.7
解题的核心是明确：任意两条直线相交都会形成2对对顶角，多条直线相交时，无论交于同一点还是多个交点，对顶角总个数只和“两两相交的直线组数”有关。思考步骤如下：
1. 先解决简单的特殊情况：2条直线相交，只有1组两两相交的直线，对应2对对顶角；
2. 拓展到3条、4条直线的情况：数出所有两两配对的直线组，每组对应2对对顶角，相乘得到总对数；
3. 归纳一般规律：计算n条直线中两两配对的总组数，乘2后化简得到n条直线相交的对顶角总数公式；
4. 最后将n=2024代入公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 两条直线a、b相交，只有1组两两相交的直线，每组产生2对对顶角，因此共有2对对顶角；
(2) 三条直线a、b、c，两两配对共有3组（a和b、a和c、b和c），每组产生2对对顶角，总对数为$3×2=6$，平移后直线两两相交的组数不变，因此对顶角总数仍是6；
(3) 四条直线a、b、c、d，两两配对共有6组（a和b、a和c、a和d、b和c、b和d、c和d），每组产生2对对顶角，总对数为$6×2=12$，平移后对顶角总数不变，为12；
(4) n条直线时，两两配对的总组数为$\frac{n(n-1)}{2}$，每组对应2对对顶角，因此总对数为$\frac{n(n-1)}{2} × 2 = n(n-1)$；
(5) 当n=2024时，代入公式得总对顶角数为$2024 × 2023 = 4094552$。
【答案】
(1) 2；(2) 6；(3) 12；(4) $n(n-1)$；(5) $2024 × 2023$（或4094552）
【知识点】
对顶角的定义；相交线的性质；规律归纳探究
【点评】
本题考查对顶角的计数问题，解题关键是抓住“两条直线相交形成2对对顶角”的核心性质，通过从特殊到一般的归纳方法推导通用公式，计数时注意不重复、不遗漏两两相交的直线组即可。
【难度系数】
0.7
1.（雅安中考）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠1=35°，则∠2的度数是 【 】
A.$55°$
B.$45°$
C.$35°$
D.$30°$
A.$55°$
B.$45°$
C.$35°$
D.$30°$
答案
A
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：第一，OE⊥AB，根据垂直的定义可知∠EOB=90°；第二，CD是过点O的直线，所以∠1、∠EOB、∠2三个角的和为平角180°。已知∠1=35°，将已知角度代入三个角的和为180°的等量关系，就可以直接算出∠2的度数。也可以先求∠1的余角∠AOC，再利用对顶角相等的性质得到∠2的度数，两种思路都能快速解题。
【解析】
解：
∵OE⊥AB于点O
∴∠EOB=90°（垂直的定义）
∵CD为直线，
∴∠1+∠EOB+∠2=180°（平角的定义）
又
∵∠1=35°
∴∠2=180°-90°-35°=55°
【答案】
A
【知识点】
1.垂直的定义
2.平角的性质
3.对顶角相等
【点评】
本题是基础的角度计算题，属于几何入门阶段的常考题型，只要熟练掌握垂直、平角的基本概念，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：第一，OE⊥AB，根据垂直的定义可知∠EOB=90°；第二，CD是过点O的直线，所以∠1、∠EOB、∠2三个角的和为平角180°。已知∠1=35°，将已知角度代入三个角的和为180°的等量关系，就可以直接算出∠2的度数。也可以先求∠1的余角∠AOC，再利用对顶角相等的性质得到∠2的度数，两种思路都能快速解题。
【解析】
解：
∵OE⊥AB于点O
∴∠EOB=90°（垂直的定义）
∵CD为直线，
∴∠1+∠EOB+∠2=180°（平角的定义）
又
∵∠1=35°
∴∠2=180°-90°-35°=55°
【答案】
A
【知识点】
1.垂直的定义
2.平角的性质
3.对顶角相等
【点评】
本题是基础的角度计算题，属于几何入门阶段的常考题型，只要熟练掌握垂直、平角的基本概念，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
2.（禹州期中）如图，点P为直线l外一点，点A、B、C在直线l上，PB⊥l，PA=7，PB=6，PC=8，则点P到直线l的距离是
【 】
A.3
B.6
C.7
D.8
【 】
A.3
B.6
C.7
D.8
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确点到直线距离的定义，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度才是点到直线的距离。首先观察图形找到点P到直线l的垂线段，题目中已给出PB⊥l，所以PB就是对应的垂线段，其长度就是所求的距离，PA、PC都是点P到l的斜线段，长度为干扰项，无需考虑。
【解析】
根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
已知PB⊥l，因此线段PB是点P到直线l的垂线段，又已知PB=6，因此点P到直线l的距离就是6。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
点到直线的距离，垂线的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对点到直线距离定义的理解，解题时要注意区分垂线段和斜线段，准确筛选题目中的有效条件，不要被无关的线段长度干扰。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确点到直线距离的定义，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度才是点到直线的距离。首先观察图形找到点P到直线l的垂线段，题目中已给出PB⊥l，所以PB就是对应的垂线段，其长度就是所求的距离，PA、PC都是点P到l的斜线段，长度为干扰项，无需考虑。
【解析】
根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
已知PB⊥l，因此线段PB是点P到直线l的垂线段，又已知PB=6，因此点P到直线l的距离就是6。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
点到直线的距离，垂线的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对点到直线距离定义的理解，解题时要注意区分垂线段和斜线段，准确筛选题目中的有效条件，不要被无关的线段长度干扰。
【难度系数】
0.9
