8. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分.
（1）图中∠AOC的对顶角为，∠BOE的邻补角为；
（2）若∠AOC = 70°，且OE平分∠BOD，求∠AOE的度数.
（第8题）

8. (1) ∠BOD ∠AOE (2) 145°

【分析】
本题主要考查对顶角、邻补角的定义及相关性质、角平分线的定义。
（1）解第一问时，先回忆对顶角和邻补角的定义：对顶角是有公共顶点，且两边分别互为反向延长线的两个角；邻补角是有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线，和为180°的两个角，结合图形直接对应查找即可。
（2）解第二问时，第一步先利用对顶角相等的性质，由已知∠AOC的度数求出∠BOD的度数；第二步根据角平分线的定义，求出∠BOE的度数；最后利用邻补角和为180°的性质，计算得出∠AOE的度数。
【解析】
（1）根据对顶角的定义，∠AOC的两边与∠BOD的两边分别互为反向延长线，且有公共顶点O，因此∠AOC的对顶角为∠BOD；
根据邻补角的定义，∠BOE与∠AOE有公共顶点O、公共边OE，另一边OB和OA互为反向延长线，和为180°，因此∠BOE的邻补角为∠AOE。
（2）
∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC=70°
∴∠BOD=∠AOC=70°（对顶角相等）
∵OE平分∠BOD
∴∠BOE = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$×70° = 35°
∵∠AOE + ∠BOE = 180°（邻补角的和为180°）
∴∠AOE = 180° - 35° = 145°
【答案】
（1）$∠ BOD$，$∠ AOE$；（2）$145°$
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的定义；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查相交线相关的基础概念和性质，解题的核心是熟练掌握对顶角、邻补角、角平分线的定义及性质，结合图形分析角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.85

9.（长春二模）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的.论证“对顶角相等”使用的依据是 【 】

A.等角的补角相等
B.同角的余角相等
C.等角的余角相等
D.同角的补角相等

D

【分析】
要确定论证“对顶角相等”的依据，首先回忆对顶角的形成过程：两条直线相交会形成4个角，相邻的两个角互为邻补角，和为180°。要证明一组对顶角相等，可先找到这两个角共同的邻补角，观察两个对顶角与这个公共邻补角的关系，即可对应到补角的相关性质，再区分“同角”和“等角”的差异，就能选出正确选项。
【解析】
设两条直线相交形成的四个角中，∠1和∠2是一组对顶角，∠3是∠1和∠2共同的邻补角。
根据邻补角的定义可得：
∠1 + ∠3 = 180°，即∠1是∠3的补角；
∠2 + ∠3 = 180°，即∠2也是∠3的补角。
根据“同角的补角相等”，可得∠1=∠2，因此论证“对顶角相等”使用的依据是同角的补角相等。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
对顶角的定义；补角的性质
【点评】
本题考查对顶角相等的推导依据，要求学生不仅要熟记几何结论，还要理解结论的推导逻辑，结合邻补角的性质即可轻松推导，是几何入门阶段的典型基础题。
【难度系数】
0.8

10. 如图,直线a和直线b相交,若∠1减小5°,则下列说法中正确的是 【 】

A.∠2减小5°
B.∠4增大5°
C.∠3增大5°
D.∠1与∠3的和不变

B

【分析】
解决本题首先要明确两条直线相交时形成的角的关系：对顶角相等，互为邻补角的两个角和为180°。先分别判断∠1和∠3、∠2、∠4的关系，再分析∠1减小5°时其余角的变化情况，逐一核对选项即可得到答案。
【解析】
已知直线a、b相交：
1. 角的关系梳理：
∠1与∠3是对顶角，根据对顶角相等可得$\boldsymbol{∠1=∠3}$；
∠1与∠2、∠1与∠4均为邻补角，根据邻补角互补可得$\boldsymbol{∠1+∠2=180°}$，$\boldsymbol{∠1+∠4=180°}$。
2. 分析∠1减小5°时各角的变化：
因为∠1=∠3，所以∠1减小5°时，∠3也同步减小5°，故C选项错误；此时∠1+∠3的和为$(∠1-5°)+(∠3-5°)=∠1+∠3-10°$，和减小10°，D选项错误。
因为∠1+∠2=180°，所以∠2=180°-∠1，当∠1减小5°时，∠2=180°-(∠1-5°)=180°-∠1+5°，即∠2增大5°，A选项错误。
同理，∠4=180°-∠1，∠1减小5°时，∠4也增大5°，B选项正确。
【答案】
B
【知识点】
对顶角相等；邻补角互补
【点评】
本题考查相交线形成的角的性质，解题核心是熟练掌握对顶角和邻补角的数量关系，结合角度的变化推导其余角的变化规律，是相交线部分的基础题型。
【难度系数】
0.8

11. 如图,已知直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠BOC,∠BOE = 36°,有下列结论:①∠AOC = 72°;②∠EOF = 90°;③∠AOD = 2∠COF;④∠AOD = 3∠BOE. 其中,正确结论的个数有 【 】

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

D

【分析】
解题时从已知条件入手，先根据角平分线的定义求出∠BOD的度数，再结合对顶角相等、邻补角和为180°的性质，依次计算相关角的度数，逐个验证4个结论即可：
第一步：由OE平分∠BOD，∠BOE=36°，先求∠BOD的度数，验证结论①；
第二步：根据邻补角定义求∠BOC的度数，结合OF平分∠BOC求出∠BOF、∠COF的度数，计算∠EOF验证结论②；
第三步：由对顶角相等求∠AOD的度数，分别验证结论③和④。
【解析】
解：
∵OE平分∠BOD，∠BOE=36°
∴∠BOD=2∠BOE=2×36°=72°
∵∠AOC与∠BOD是对顶角
∴∠AOC=∠BOD=72°，故①正确；
∵∠BOC与∠BOD是邻补角
∴∠BOC=180°-∠BOD=180°-72°=108°
∵OF平分∠BOC
∴∠BOF=∠COF=108°÷2=54°
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=36°+54°=90°，故②正确；
∵∠AOD与∠BOC是对顶角
∴∠AOD=∠BOC=108°
∴2∠COF=2×54°=108°=∠AOD，故③正确；
∵3∠BOE=3×36°=108°=∠AOD，故④正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
对顶角的性质，邻补角的定义，角平分线的定义
【点评】
本题是相交线角度计算的综合题型，核心是熟练运用相交线相关角的性质，逐个验证结论，计算时需细心避免角度运算错误。
【难度系数】
0.7

12.如图，直线a、b、c两两相交，∠1＝40°，∠3＝2∠2，则∠4的大小为°。

12. 100

【分析】
解题时先观察图形识别角的关系：首先∠1与∠2是直线b、c相交形成的对顶角，根据对顶角相等可求出∠2的度数；再结合已知∠3=2∠2计算出∠3的度数；最后∠3和∠4是邻补角，根据邻补角和为180°即可求出∠4的大小。
【解析】
∵ 直线b、c相交，∠1与∠2是对顶角
∴ ∠2 = ∠1 = 40°（对顶角相等）
∵ ∠3 = 2∠2
∴ ∠3 = 2×40° = 80°
∵ ∠3与∠4互为邻补角
∴ ∠3 + ∠4 = 180°
∴ ∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 80° = 100°
【答案】
100
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的性质
【点评】
本题是基础计算题，解题的核心是准确识别图形中的对顶角和邻补角，再结合角的数量关系逐步计算，只要掌握对顶角和邻补角的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

13. 如图，直线AB、CD相交于点O，∠1 = 75°，OE平分∠BOC，求∠AOE、∠2、∠3的大小.

∠AOE = 105°, ∠2 = ∠3 = 30°

【分析】
解题时先梳理已知条件和图形性质：①直线AB、CD交于点O，可利用对顶角相等、邻补角和为180°的性质推导角的度数；②OE平分∠BOC，结合已知∠1=75°，可先求出∠BOC的度数。第一步：根据角平分线定义求∠BOC；第二步：利用邻补角性质求∠3；第三步：根据对顶角相等得∠2的度数；第四步：结合∠3和∠1的度数求和得到∠AOE即可。
【解析】
解：
1. 求∠3的度数：
∵ OE平分∠BOC，∠1=75°，
∴ ∠BOC=2∠1=2×75°=150°，
又
∵ 直线AB、CD相交于点O，∠3与∠BOC是邻补角，
∴ ∠3+∠BOC=180°，
∴ ∠3=180°-150°=30°。
2. 求∠2的度数：
∵ ∠2与∠3是对顶角，
∴ ∠2=∠3=30°（对顶角相等）。
3. 求∠AOE的度数：
∠AOE=∠3+∠1=30°+75°=105°。
【答案】
∠AOE = 105°, ∠2 = 30°, ∠3 = 30°
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是相交线相关的基础计算题，解题的关键是准确识别图中的对顶角、邻补角，结合角平分线的定义逐步推导角的度数，属于对基础概念和性质的常规考查。
【难度系数】
0.8