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14. 如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长为1，以它的斜边AC为直角边画第2个等腰直角三角形ACD，再以斜边AD为直角边画第3个等腰直角三角形ADE……以此类推，则第4个等腰直角三角形的斜边AF的长为
4
，第n个等腰直角三角形的斜边的长为$(\sqrt{2})^n$
。答案
14. 4，$(\sqrt{2})^n$
解析
【分析】
解题时首先明确等腰直角三角形的边长关系：由勾股定理可得，等腰直角三角形的斜边长是直角边长的$\sqrt{2}$倍。我们从第一个等腰直角三角形开始，依次计算每个三角形的斜边长度，观察每次斜边的变化规律，再分别推导第4个和第n个等腰直角三角形的斜边长度即可。
【解析】
根据勾股定理，等腰直角三角形的斜边长=直角边长×$\sqrt{2}$：
1. 第1个等腰Rt△ABC的直角边长为1，斜边$AC=1×\sqrt{2}=(\sqrt{2})^1$；
2. 第2个等腰Rt△ACD以AC为直角边，斜边$AD=\sqrt{2}×\sqrt{2}=(\sqrt{2})^2$；
3. 第3个等腰Rt△ADE以AD为直角边，斜边$AE=(\sqrt{2})^2×\sqrt{2}=(\sqrt{2})^3$；
4. 第4个等腰Rt△AEF以AE为直角边，斜边$AF=(\sqrt{2})^3×\sqrt{2}=(\sqrt{2})^4=4$；
以此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长为$(\sqrt{2})^n$。
【答案】
4，$(\sqrt{2})^n$
【知识点】
1. 等腰直角三角形性质
2. 勾股定理
3. 图形规律探究
【点评】
本题将特殊三角形的性质和规律探究结合，解题的关键是先通过勾股定理得到等腰直角三角形直角边和斜边的数量关系，再通过计算前几个斜边的长度总结通用规律，解题时需注意序号和指数的对应关系，避免出现对应错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确等腰直角三角形的边长关系：由勾股定理可得，等腰直角三角形的斜边长是直角边长的$\sqrt{2}$倍。我们从第一个等腰直角三角形开始，依次计算每个三角形的斜边长度，观察每次斜边的变化规律，再分别推导第4个和第n个等腰直角三角形的斜边长度即可。
【解析】
根据勾股定理，等腰直角三角形的斜边长=直角边长×$\sqrt{2}$：
1. 第1个等腰Rt△ABC的直角边长为1，斜边$AC=1×\sqrt{2}=(\sqrt{2})^1$；
2. 第2个等腰Rt△ACD以AC为直角边，斜边$AD=\sqrt{2}×\sqrt{2}=(\sqrt{2})^2$；
3. 第3个等腰Rt△ADE以AD为直角边，斜边$AE=(\sqrt{2})^2×\sqrt{2}=(\sqrt{2})^3$；
4. 第4个等腰Rt△AEF以AE为直角边，斜边$AF=(\sqrt{2})^3×\sqrt{2}=(\sqrt{2})^4=4$；
以此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长为$(\sqrt{2})^n$。
【答案】
4，$(\sqrt{2})^n$
【知识点】
1. 等腰直角三角形性质
2. 勾股定理
3. 图形规律探究
【点评】
本题将特殊三角形的性质和规律探究结合，解题的关键是先通过勾股定理得到等腰直角三角形直角边和斜边的数量关系，再通过计算前几个斜边的长度总结通用规律，解题时需注意序号和指数的对应关系，避免出现对应错误。
【难度系数】
0.7
15. 在如图所示的正方形网格中，点A，B都在格点上.若点P也在格点上，且使得△ABP为等腰三角形，则这样的点P共有
8
个.答案
15. 8
解析
【分析】
要找出所有使得△ABP为等腰三角形的格点P，需分三类情况讨论：①AB为腰，A为顶角顶点（即PA=AB）；②AB为腰，B为顶角顶点（即PB=AB）；③AB为底边（即PA=PB）。先设每个小方格边长为1，算出AB的长度，再分别按三类情况找符合条件的格点，注意排除三点共线无法构成三角形的情况，最后汇总总数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令A(0,0)，则B(2,2)，由勾股定理可得AB=√(2²+2²)=2√2。
1. 当PA=AB=2√2时：
以A为圆心，AB长为半径画圆，满足横、纵坐标的平方和为8的格点，除B外共有3个，均可以和A、B构成等腰三角形。
2. 当PB=AB=2√2时：
以B为圆心，AB长为半径画圆，满足到点B的距离为2√2的格点，除A外共有3个，均可以和A、B构成等腰三角形。
3. 当PA=PB时，P在AB的垂直平分线上：
AB的垂直平分线上的格点，排除共线情况后共有2个符合要求，可以和A、B构成等腰三角形。
综上，符合条件的点P共有3+3+2=8个。
【答案】
8
【知识点】
等腰三角形的判定；勾股定理；垂直平分线的性质
【点评】
本题的核心是分类讨论思想的应用，解题时要按腰和底边的不同情况逐一排查，避免漏解或多解，同时要注意三点共线时无法构成三角形，需排除这类不符合要求的点。
【难度系数】
0.6
要找出所有使得△ABP为等腰三角形的格点P，需分三类情况讨论：①AB为腰，A为顶角顶点（即PA=AB）；②AB为腰，B为顶角顶点（即PB=AB）；③AB为底边（即PA=PB）。先设每个小方格边长为1，算出AB的长度，再分别按三类情况找符合条件的格点，注意排除三点共线无法构成三角形的情况，最后汇总总数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令A(0,0)，则B(2,2)，由勾股定理可得AB=√(2²+2²)=2√2。
1. 当PA=AB=2√2时：
以A为圆心，AB长为半径画圆，满足横、纵坐标的平方和为8的格点，除B外共有3个，均可以和A、B构成等腰三角形。
2. 当PB=AB=2√2时：
以B为圆心，AB长为半径画圆，满足到点B的距离为2√2的格点，除A外共有3个，均可以和A、B构成等腰三角形。
3. 当PA=PB时，P在AB的垂直平分线上：
AB的垂直平分线上的格点，排除共线情况后共有2个符合要求，可以和A、B构成等腰三角形。
综上，符合条件的点P共有3+3+2=8个。
【答案】
8
【知识点】
等腰三角形的判定；勾股定理；垂直平分线的性质
【点评】
本题的核心是分类讨论思想的应用，解题时要按腰和底边的不同情况逐一排查，避免漏解或多解，同时要注意三点共线时无法构成三角形，需排除这类不符合要求的点。
【难度系数】
0.6
三、解答题(本大题共6个小题，共60分)
16. (本小题满分8分)
已知：如图，点D，E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=CE.
求证：AB=AC.
16. (本小题满分8分)
已知：如图，点D，E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=CE.
求证：AB=AC.
答案
16. 证明：
∵AD=AE，
∴∠ADC=∠AEB.
∴∠ADB=∠AEC.
在△ABD和△ACE中，
∵$\begin{cases} AD=AE, \\ ∠ADB=∠AEC, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AB=AC.
∵AD=AE，
∴∠ADC=∠AEB.
∴∠ADB=∠AEC.
在△ABD和△ACE中，
∵$\begin{cases} AD=AE, \\ ∠ADB=∠AEC, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AB=AC.
解析
【分析】
要证明AB=AC，可通过证明AB、AC所在的△ABD和△ACE全等实现。首先由已知AD=AE，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠ADC=∠AEB，进而推出它们的补角∠ADB=∠AEC；结合已知BD=CE，即可利用SAS判定△ABD≌△ACE，最后根据全等三角形对应边相等得到AB=AC。
【解析】
证明：
∵AD=AE，
∴∠ADC=∠AEB，
∴∠ADB=∠AEC。
在△ABD和△ACE中，
∵$\begin{cases} AD=AE, \\ ∠ADB=∠AEC, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AB=AC。
【答案】
证明：
∵AD=AE，
∴∠ADC=∠AEB.
∴∠ADB=∠AEC.
在△ABD和△ACE中，
∵$\begin{cases} AD=AE, \\ ∠ADB=∠AEC, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AB=AC.
【知识点】
等腰三角形的性质，SAS判定全等，全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是利用等腰三角形的性质得到角相等的全等判定条件，熟练掌握全等三角形和等腰三角形的相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.85
要证明AB=AC，可通过证明AB、AC所在的△ABD和△ACE全等实现。首先由已知AD=AE，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠ADC=∠AEB，进而推出它们的补角∠ADB=∠AEC；结合已知BD=CE，即可利用SAS判定△ABD≌△ACE，最后根据全等三角形对应边相等得到AB=AC。
【解析】
证明：
∵AD=AE，
∴∠ADC=∠AEB，
∴∠ADB=∠AEC。
在△ABD和△ACE中，
∵$\begin{cases} AD=AE, \\ ∠ADB=∠AEC, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AB=AC。
【答案】
证明：
∵AD=AE，
∴∠ADC=∠AEB.
∴∠ADB=∠AEC.
在△ABD和△ACE中，
∵$\begin{cases} AD=AE, \\ ∠ADB=∠AEC, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AB=AC.
【知识点】
等腰三角形的性质，SAS判定全等，全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是利用等腰三角形的性质得到角相等的全等判定条件，熟练掌握全等三角形和等腰三角形的相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.85
