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7. 若一个等腰三角形中有一个角的度数为$50°$，则这个等腰三角形顶角的度数为（
A.$50°$
B.$100°$
C.$50°$或$80°$
D.$80°$或$100°$
C
）A.$50°$
B.$100°$
C.$50°$或$80°$
D.$80°$或$100°$
答案
7. C
解析
【分析】
题目未明确说明50°的角是等腰三角形的顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论求解：①若50°是顶角，可直接得到顶角度数；②若50°是底角，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算顶角，最后验证两种情况均符合三角形内角和要求，即可得到最终结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当50°的角为等腰三角形的顶角时，此时顶角的度数为50°；
2. 当50°的角为等腰三角形的底角时，根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为50°，结合三角形内角和为180°，可得顶角度数为：
$180° - 50°×2 = 80°$
两种情况均符合三角形内角和定理，因此该等腰三角形顶角度数为50°或80°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常见题型，解题核心是注意未明确角的类型时要分类讨论，避免漏解，计算后可通过三角形内角和规则验证结果是否合理。
【难度系数】
0.7
题目未明确说明50°的角是等腰三角形的顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论求解：①若50°是顶角，可直接得到顶角度数；②若50°是底角，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算顶角，最后验证两种情况均符合三角形内角和要求，即可得到最终结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当50°的角为等腰三角形的顶角时，此时顶角的度数为50°；
2. 当50°的角为等腰三角形的底角时，根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为50°，结合三角形内角和为180°，可得顶角度数为：
$180° - 50°×2 = 80°$
两种情况均符合三角形内角和定理，因此该等腰三角形顶角度数为50°或80°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常见题型，解题核心是注意未明确角的类型时要分类讨论，避免漏解，计算后可通过三角形内角和规则验证结果是否合理。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=36°$，$BD$是$AC$边上的高，则$∠ DBC$的度数为（
A.$18°$
B.$24°$
C.$30°$
D.$36°$
A
）A.$18°$
B.$24°$
C.$30°$
D.$36°$
答案
8. A
解析
【分析】
解题时先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理求出底角∠C的度数；再根据高的定义得到△BDC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠C=(180°-∠A)÷2=(180°-36°)÷2=72°，
∵BD是AC边上的高，
∴BD⊥AC，即∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，∠DBC+∠C=90°，
∴∠DBC=90°-∠C=90°-72°=18°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形和直角三角形的相关性质，通过逐步推导角的度数即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理求出底角∠C的度数；再根据高的定义得到△BDC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠C=(180°-∠A)÷2=(180°-36°)÷2=72°，
∵BD是AC边上的高，
∴BD⊥AC，即∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，∠DBC+∠C=90°，
∴∠DBC=90°-∠C=90°-72°=18°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形和直角三角形的相关性质，通过逐步推导角的度数即可得到结果。
【难度系数】
0.8
9. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，且$∠ ACB = ∠ BAD$，$AE$平分$∠ CAD$，交$BC$于点$E$，过点$E$作$EF // AC$，分别交$AB$，$AD$于点$F$，$G$。下列结论中，不正确的是（
A.$∠ BAC = 90°$
B.$∠ AEB = ∠ CAD$
C.$∠ BAE = ∠ BEA$
D.$∠ B = 2∠ AEF$
B
）A.$∠ BAC = 90°$
B.$∠ AEB = ∠ CAD$
C.$∠ BAE = ∠ BEA$
D.$∠ B = 2∠ AEF$
答案
9. B
解析
【分析】
解题时首先利用AD是BC边上的高得到直角，结合已知∠ACB=∠BAD，先推导△ABC的内角特征，再结合角平分线的性质、平行线的性质、三角形外角的性质，逐个验证四个选项的正确性，最终选出不正确的结论。
【解析】
已知AD是BC边上的高，因此∠ADB=∠ADC=90°。
1. 验证选项A：
在Rt△ABD中，∠B+∠BAD=90°，又
∵∠BAD=∠ACB，
∴∠B+∠ACB=90°。
在△ABC中，∠BAC=180°-(∠B+∠ACB)=90°，故A正确，不符合题意。
2. 已知AE平分∠CAD，根据角平分线定义得∠CAE=∠DAE。
验证选项C：
∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠BEA是△AEC的外角，根据三角形外角性质得∠BEA=∠ACB+∠CAE。
∵∠BAD=∠ACB，∠DAE=∠CAE，
∴∠BAE=∠BEA，故C正确，不符合题意。
3. 验证选项D：
∵EF//AC，根据平行线的内错角相等得∠AEF=∠CAE。
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE=2∠CAE，
∴∠CAD=2∠AEF。
在Rt△ADC中，∠C+∠CAD=90°，在Rt△ABC中∠C+∠B=90°，根据同角的余角相等得∠B=∠CAD，因此∠B=2∠AEF，故D正确，不符合题意。
4. 验证选项B：
∠AEB=∠C+∠CAE，∠CAD=2∠CAE，没有条件可证明∠C=∠CAE，因此∠AEB与∠CAD不一定相等，故B错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题综合考查了三角形内角和定理、外角性质、平行线性质及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角的和差转换关系，通过逐一推导判断选项的正确性，是三角形部分的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用AD是BC边上的高得到直角，结合已知∠ACB=∠BAD，先推导△ABC的内角特征，再结合角平分线的性质、平行线的性质、三角形外角的性质，逐个验证四个选项的正确性，最终选出不正确的结论。
【解析】
已知AD是BC边上的高，因此∠ADB=∠ADC=90°。
1. 验证选项A：
在Rt△ABD中，∠B+∠BAD=90°，又
∵∠BAD=∠ACB，
∴∠B+∠ACB=90°。
在△ABC中，∠BAC=180°-(∠B+∠ACB)=90°，故A正确，不符合题意。
2. 已知AE平分∠CAD，根据角平分线定义得∠CAE=∠DAE。
验证选项C：
∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠BEA是△AEC的外角，根据三角形外角性质得∠BEA=∠ACB+∠CAE。
∵∠BAD=∠ACB，∠DAE=∠CAE，
∴∠BAE=∠BEA，故C正确，不符合题意。
3. 验证选项D：
∵EF//AC，根据平行线的内错角相等得∠AEF=∠CAE。
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE=2∠CAE，
∴∠CAD=2∠AEF。
在Rt△ADC中，∠C+∠CAD=90°，在Rt△ABC中∠C+∠B=90°，根据同角的余角相等得∠B=∠CAD，因此∠B=2∠AEF，故D正确，不符合题意。
4. 验证选项B：
∠AEB=∠C+∠CAE，∠CAD=2∠CAE，没有条件可证明∠C=∠CAE，因此∠AEB与∠CAD不一定相等，故B错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题综合考查了三角形内角和定理、外角性质、平行线性质及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角的和差转换关系，通过逐一推导判断选项的正确性，是三角形部分的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=90°$，$∠ EPF=90°$，$P$是$BC$的中点，$PE$，$PF$分别交$AB$，$AC$于点$E$，$F$，连接$EF$. 下列结论中，不正确的是（
A.$AE=CF$
B.$BE+CF=EF$
C.$△ EPF$是等腰直角三角形
D.$S_{\mathrm{四边形}AEPF}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}$
B
）A.$AE=CF$
B.$BE+CF=EF$
C.$△ EPF$是等腰直角三角形
D.$S_{\mathrm{四边形}AEPF}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}$
答案
10. B
解析
【分析】
本题可通过作辅助线连接AP，利用等腰直角三角形斜边中线的性质得到边角相等关系，再结合∠EPF=90°推导角相等，证明△AEP与△CFP全等，最后结合全等性质、三角形三边关系、面积计算逐一判断各选项即可。
【解析】
连接AP，
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC的中点，
∴AP=PC，∠BAP=∠C=45°，AP⊥BC，即∠APC=90°，
∵∠EPF=90°，
∴∠APE + ∠APF = ∠CPF + ∠APF = 90°，
∴∠APE=∠CPF，
在△AEP和△CFP中：
$\{\begin{array}{l}∠ EAP=∠ C\\ AP=CP\\ ∠ APE=∠ CPF\end{array} $
∴△AEP≌△CFP（ASA），
∴AE=CF，PE=PF，故A选项结论正确；
∵PE=PF，∠EPF=90°，
∴△EPF是等腰直角三角形，故C选项结论正确；
由△AEP≌△CFP得$S_{△ AEP}=S_{△ CFP}$，同理可证$△ BEP≌△ AFP$，$S_{△ BEP}=S_{△ AFP}$，
∴$S_{四边形AEPF}=S_{△ AEP}+S_{△ AFP}=S_{△ CFP}+S_{△ AFP}=S_{△ APC}$，
又
∵P是BC中点，
∴$S_{△ APC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，即$S_{四边形AEPF}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，故D选项结论正确；
对于B选项：
∵AE=CF，AB=AC，
∴BE=AB-AE=AC-CF=AF，
在Rt△AEF中，由三角形三边关系可得$AE+AF＞EF$，代入AE=CF、AF=BE得$CF+BE＞EF$，故$BE+CF=EF$不成立，B选项结论错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题解题的核心是连接AP构造全等三角形，将分散的边、角条件集中到全等三角形中，再结合相关性质验证结论，是特殊三角形章节的典型题型。
【难度系数】
0.6
本题可通过作辅助线连接AP，利用等腰直角三角形斜边中线的性质得到边角相等关系，再结合∠EPF=90°推导角相等，证明△AEP与△CFP全等，最后结合全等性质、三角形三边关系、面积计算逐一判断各选项即可。
【解析】
连接AP，
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC的中点，
∴AP=PC，∠BAP=∠C=45°，AP⊥BC，即∠APC=90°，
∵∠EPF=90°，
∴∠APE + ∠APF = ∠CPF + ∠APF = 90°，
∴∠APE=∠CPF，
在△AEP和△CFP中：
$\{\begin{array}{l}∠ EAP=∠ C\\ AP=CP\\ ∠ APE=∠ CPF\end{array} $
∴△AEP≌△CFP（ASA），
∴AE=CF，PE=PF，故A选项结论正确；
∵PE=PF，∠EPF=90°，
∴△EPF是等腰直角三角形，故C选项结论正确；
由△AEP≌△CFP得$S_{△ AEP}=S_{△ CFP}$，同理可证$△ BEP≌△ AFP$，$S_{△ BEP}=S_{△ AFP}$，
∴$S_{四边形AEPF}=S_{△ AEP}+S_{△ AFP}=S_{△ CFP}+S_{△ AFP}=S_{△ APC}$，
又
∵P是BC中点，
∴$S_{△ APC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，即$S_{四边形AEPF}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，故D选项结论正确；
对于B选项：
∵AE=CF，AB=AC，
∴BE=AB-AE=AC-CF=AF，
在Rt△AEF中，由三角形三边关系可得$AE+AF＞EF$，代入AE=CF、AF=BE得$CF+BE＞EF$，故$BE+CF=EF$不成立，B选项结论错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题解题的核心是连接AP构造全等三角形，将分散的边、角条件集中到全等三角形中，再结合相关性质验证结论，是特殊三角形章节的典型题型。
【难度系数】
0.6
11. 如图，$∠ A=15°$，$AB=BC=CD=DE=EF$，则$∠ FEM=$ 
$75°$
。答案
11. 75°
解析
【分析】
已知图中存在多组相等的线段，且给出了∠A的度数，解题时可多次运用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，从最内侧的△ABC开始，逐步向外推导各等腰三角形的底角，最终计算出∠FEM的度数。
【解析】
解：
1.
∵ $AB=BC$，$∠A=15°$
∴ $∠BCA=∠A=15°$（等腰三角形两底角相等）
根据三角形外角的性质可得：$∠CBD=∠A+∠BCA=15°+15°=30°$
2.
∵ $BC=CD$
∴ $∠CDB=∠CBD=30°$（等腰三角形两底角相等）
同理可得$∠DCE=∠A+∠CDB=15°+30°=45°$
3.
∵ $CD=DE$
∴ $∠DEC=∠DCE=45°$（等腰三角形两底角相等）
同理可得$∠EDF=∠A+∠DEC=15°+45°=60°$
4.
∵ $DE=EF$
∴ $∠EFD=∠EDF=60°$（等腰三角形两底角相等）
同理可得$∠FEM=∠A+∠EFD=15°+60°=75°$
【答案】
$75°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质和三角形外角性质的综合应用题，解题的核心是顺着相等的边依次找到对应的等腰三角形，利用外角性质逐步递推角度，理清边角关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
已知图中存在多组相等的线段，且给出了∠A的度数，解题时可多次运用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，从最内侧的△ABC开始，逐步向外推导各等腰三角形的底角，最终计算出∠FEM的度数。
【解析】
解：
1.
∵ $AB=BC$，$∠A=15°$
∴ $∠BCA=∠A=15°$（等腰三角形两底角相等）
根据三角形外角的性质可得：$∠CBD=∠A+∠BCA=15°+15°=30°$
2.
∵ $BC=CD$
∴ $∠CDB=∠CBD=30°$（等腰三角形两底角相等）
同理可得$∠DCE=∠A+∠CDB=15°+30°=45°$
3.
∵ $CD=DE$
∴ $∠DEC=∠DCE=45°$（等腰三角形两底角相等）
同理可得$∠EDF=∠A+∠DEC=15°+45°=60°$
4.
∵ $DE=EF$
∴ $∠EFD=∠EDF=60°$（等腰三角形两底角相等）
同理可得$∠FEM=∠A+∠EFD=15°+60°=75°$
【答案】
$75°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质和三角形外角性质的综合应用题，解题的核心是顺着相等的边依次找到对应的等腰三角形，利用外角性质逐步递推角度，理清边角关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
12. 如图，在$△ ABC$中，$D$是$BC$上一点，$AC=AD=DB$，$∠ BAC=102°$，则$∠ ADC=$
$52°$
。答案
12. 52°
解析
【分析】
本题可利用等腰三角形的性质、三角形外角性质和内角和定理求解。首先根据已知的等边关系，确定△ADB和△ADC均为等腰三角形，可先设∠B的度数为未知数，通过等边对等角表示出其余相关角的度数，再结合三角形内角和为180°列方程求解，最终得到∠ADC的度数。
【解析】
解：设∠B = x°
∵ AD = DB
∴ ∠BAD = ∠B = x°
根据三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，因此：
∠ADC = ∠B + ∠BAD = x° + x° = 2x°
又
∵ AC = AD
∴ ∠C = ∠ADC = 2x°
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
∠BAC + ∠B + ∠C = 180°
代入已知∠BAC=102°，得：
102 + x + 2x = 180
解得3x = 78，x = 26
因此∠ADC = 2x° = 2×26° = 52°
【答案】
52°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，解题核心是梳理清楚不同三角形中角的等量关系，通过设未知数列方程的方法能快速理清逻辑，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
本题可利用等腰三角形的性质、三角形外角性质和内角和定理求解。首先根据已知的等边关系，确定△ADB和△ADC均为等腰三角形，可先设∠B的度数为未知数，通过等边对等角表示出其余相关角的度数，再结合三角形内角和为180°列方程求解，最终得到∠ADC的度数。
【解析】
解：设∠B = x°
∵ AD = DB
∴ ∠BAD = ∠B = x°
根据三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，因此：
∠ADC = ∠B + ∠BAD = x° + x° = 2x°
又
∵ AC = AD
∴ ∠C = ∠ADC = 2x°
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
∠BAC + ∠B + ∠C = 180°
代入已知∠BAC=102°，得：
102 + x + 2x = 180
解得3x = 78，x = 26
因此∠ADC = 2x° = 2×26° = 52°
【答案】
52°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，解题核心是梳理清楚不同三角形中角的等量关系，通过设未知数列方程的方法能快速理清逻辑，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
13. 若直角三角形两边的长分别为3和2，则第三边的长为
$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$
.答案
13. $\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$
解析
【分析】
本题考查直角三角形边长的求解，需结合勾股定理解题。由于题目未明确说明已知的两边3和2是直角边还是斜边，因此需要分类讨论：首先根据直角三角形中斜边为最长边的性质，可排除长度为2的边是斜边的情况，因此仅需分两种情况计算第三边的长度即可。
【解析】
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况计算：
1. 当长度为3和2的边均为直角边时，第三边为斜边，其长度为：
$\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$
2. 当长度为3的边为斜边，长度为2的边为直角边时，第三边为另一条直角边，其长度为：
$\sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$
综上，第三边的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题的关键是明确题干未指定两条边的类型时，要结合直角三角形斜边最长的性质分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7
本题考查直角三角形边长的求解，需结合勾股定理解题。由于题目未明确说明已知的两边3和2是直角边还是斜边，因此需要分类讨论：首先根据直角三角形中斜边为最长边的性质，可排除长度为2的边是斜边的情况，因此仅需分两种情况计算第三边的长度即可。
【解析】
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况计算：
1. 当长度为3和2的边均为直角边时，第三边为斜边，其长度为：
$\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$
2. 当长度为3的边为斜边，长度为2的边为直角边时，第三边为另一条直角边，其长度为：
$\sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$
综上，第三边的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题的关键是明确题干未指定两条边的类型时，要结合直角三角形斜边最长的性质分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7
