登录
2. 运用完全平方公式计算：
(1)$(2y+3x)(-3x-2y)$；
(2)$(x-3)(x+3)(x^2 -9)$。
(1)$(2y+3x)(-3x-2y)$；
(2)$(x-3)(x+3)(x^2 -9)$。
答案
(1)原式$=-(2y+3x)(3x+2y)=-(3x+2y)^2=-[(3x)^2 + 2 · 3x · 2y + (2y)^2] = -9x^2 -12xy -4y^2.$
(2)原式$=(x^2 -9)(x^2 -9)=(x^2 -9)^2=x^4 -18x^2 +81.$
(2)原式$=(x^2 -9)(x^2 -9)=(x^2 -9)^2=x^4 -18x^2 +81.$
解析
【分析】
(1) 解题时先观察两个因式的结构特征，发现$-3x-2y$可提取负号变形为$-(3x+2y)$，此时原式可转化为$-(3x+2y)(3x+2y)$，即$-(3x+2y)^2$，符合完全平方公式的结构，直接套用公式展开后去括号即可。
(2) 先观察前两个因式$(x-3)(x+3)$符合平方差公式的结构，先利用平方差公式计算得到$x^2-9$，此时原式变为$(x^2-9)(x^2-9)=(x^2-9)^2$，将$x^2$和9分别看作完全平方公式中的两个整体，套用公式展开即可。
【解析】
(1) 原式$=-(2y+3x)(3x+2y)$
$=-(3x+2y)^2$
$=-[(3x)^2 + 2· 3x· 2y + (2y)^2]$
$= -9x^2 -12xy -4y^2$
(2) 原式$=(x^2 -9)(x^2 -9)$
$=(x^2 -9)^2$
$=(x^2)^2 - 2· x^2·9 +9^2$
$=x^4 -18x^2 +81$
【答案】
(1)$-9x^2 -12xy -4y^2$；(2)$x^4 -18x^2 +81$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式乘法变形
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题核心是先识别式子的结构特征，通过适当变形将原式转化为符合公式的标准形式再计算，要注意符号处理和公式中各项的对应关系，避免出现漏乘系数、符号错误等问题。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先观察两个因式的结构特征，发现$-3x-2y$可提取负号变形为$-(3x+2y)$，此时原式可转化为$-(3x+2y)(3x+2y)$，即$-(3x+2y)^2$，符合完全平方公式的结构，直接套用公式展开后去括号即可。
(2) 先观察前两个因式$(x-3)(x+3)$符合平方差公式的结构，先利用平方差公式计算得到$x^2-9$，此时原式变为$(x^2-9)(x^2-9)=(x^2-9)^2$，将$x^2$和9分别看作完全平方公式中的两个整体，套用公式展开即可。
【解析】
(1) 原式$=-(2y+3x)(3x+2y)$
$=-(3x+2y)^2$
$=-[(3x)^2 + 2· 3x· 2y + (2y)^2]$
$= -9x^2 -12xy -4y^2$
(2) 原式$=(x^2 -9)(x^2 -9)$
$=(x^2 -9)^2$
$=(x^2)^2 - 2· x^2·9 +9^2$
$=x^4 -18x^2 +81$
【答案】
(1)$-9x^2 -12xy -4y^2$；(2)$x^4 -18x^2 +81$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式乘法变形
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题核心是先识别式子的结构特征，通过适当变形将原式转化为符合公式的标准形式再计算，要注意符号处理和公式中各项的对应关系，避免出现漏乘系数、符号错误等问题。
【难度系数】
0.7
【典型例题2】（1）运用完全平方公式计算：
①$201^2$；②$999^2$。
（2）已知$a+b=5$，$ab=-6$，求下列各式的值：
①$a^2+b^2$；②$a^2-ab+b^2$。
思路导引 1.把一些较大的数做适当变形，用完全平方公式计算，可简化运算，也可提高运算速度。
课后作业
①$201^2$；②$999^2$。
（2）已知$a+b=5$，$ab=-6$，求下列各式的值：
①$a^2+b^2$；②$a^2-ab+b^2$。
思路导引 1.把一些较大的数做适当变形，用完全平方公式计算，可简化运算，也可提高运算速度。
课后作业
答案
解：
(1) ① $201^2=(200+1)^2$
$=200^2 + 2×200×1 + 1^2$
$=40000 + 400 + 1$
$=40401$
② $999^2=(1000-1)^2$
$=1000^2 - 2×1000×1 + 1^2$
$=1000000 - 2000 + 1$
$=998001$
(2) ① $a^2+b^2=(a+b)^2 - 2ab$
将$a+b=5$，$ab=-6$代入得：
原式$=5^2 - 2×(-6)$
$=25 + 12$
$=37$
② $a^2 - ab + b^2=(a+b)^2 - 3ab$
将$a+b=5$，$ab=-6$代入得：
原式$=5^2 - 3×(-6)$
$=25 + 18$
$=43$
(1) ① $201^2=(200+1)^2$
$=200^2 + 2×200×1 + 1^2$
$=40000 + 400 + 1$
$=40401$
② $999^2=(1000-1)^2$
$=1000^2 - 2×1000×1 + 1^2$
$=1000000 - 2000 + 1$
$=998001$
(2) ① $a^2+b^2=(a+b)^2 - 2ab$
将$a+b=5$，$ab=-6$代入得：
原式$=5^2 - 2×(-6)$
$=25 + 12$
$=37$
② $a^2 - ab + b^2=(a+b)^2 - 3ab$
将$a+b=5$，$ab=-6$代入得：
原式$=5^2 - 3×(-6)$
$=25 + 18$
$=43$
解析
【分析】
（1）计算较大数的平方时，直接运算复杂度高，可将底数拆为整百/整千数与小数字的和或差的形式，套用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$简化计算：①201可拆为$200+1$，②999可拆为$1000-1$，分别代入公式计算即可。
（2）已知$a+b$和$ab$的值时，无需单独求出$a$、$b$的数值，利用完全平方公式的变形结合整体代入思想即可求解：①根据$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$移项得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入已知数值计算即可；②$a^2-ab+b^2$可变形为$(a+b)^2-3ab$，代入数值即可算出结果。
【解析】
(1) ① $201^2=(200+1)^2$
$=200^2 + 2×200×1 + 1^2$
$=40000 + 400 + 1$
$=40401$
② $999^2=(1000-1)^2$
$=1000^2 - 2×1000×1 + 1^2$
$=1000000 - 2000 + 1$
$=998001$
(2) ① 由完全平方公式变形可得：$a^2+b^2=(a+b)^2 - 2ab$
将$a+b=5$，$ab=-6$代入得：
原式$=5^2 - 2×(-6)$
$=25 + 12$
$=37$
② 对代数式变形得：$a^2 - ab + b^2=(a+b)^2 - 3ab$
将$a+b=5$，$ab=-6$代入得：
原式$=5^2 - 3×(-6)$
$=25 + 18$
$=43$
【答案】
(1) ①$\boxed{40401}$；②$\boxed{998001}$
(2) ①$\boxed{37}$；②$\boxed{43}$
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值，代数式变形
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活应用，既可以用公式简化大数平方的运算，也可通过公式变形结合整体代入思想快速求解代数式的值，熟练掌握完全平方公式及其常用变形是解题的关键。
【难度系数】
0.8
（1）计算较大数的平方时，直接运算复杂度高，可将底数拆为整百/整千数与小数字的和或差的形式，套用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$简化计算：①201可拆为$200+1$，②999可拆为$1000-1$，分别代入公式计算即可。
（2）已知$a+b$和$ab$的值时，无需单独求出$a$、$b$的数值，利用完全平方公式的变形结合整体代入思想即可求解：①根据$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$移项得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入已知数值计算即可；②$a^2-ab+b^2$可变形为$(a+b)^2-3ab$，代入数值即可算出结果。
【解析】
(1) ① $201^2=(200+1)^2$
$=200^2 + 2×200×1 + 1^2$
$=40000 + 400 + 1$
$=40401$
② $999^2=(1000-1)^2$
$=1000^2 - 2×1000×1 + 1^2$
$=1000000 - 2000 + 1$
$=998001$
(2) ① 由完全平方公式变形可得：$a^2+b^2=(a+b)^2 - 2ab$
将$a+b=5$，$ab=-6$代入得：
原式$=5^2 - 2×(-6)$
$=25 + 12$
$=37$
② 对代数式变形得：$a^2 - ab + b^2=(a+b)^2 - 3ab$
将$a+b=5$，$ab=-6$代入得：
原式$=5^2 - 3×(-6)$
$=25 + 18$
$=43$
【答案】
(1) ①$\boxed{40401}$；②$\boxed{998001}$
(2) ①$\boxed{37}$；②$\boxed{43}$
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值，代数式变形
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活应用，既可以用公式简化大数平方的运算，也可通过公式变形结合整体代入思想快速求解代数式的值，熟练掌握完全平方公式及其常用变形是解题的关键。
【难度系数】
0.8
1. 下列各式能运用完全平方公式计算的是（
A.$(2a+b)(a-2b)$
B.$(a+2b)(2b-a)$
C.$(2a+b)(-2a-b)$
D.$(b-2a)(-2a-b)$
C
）A.$(2a+b)(a-2b)$
B.$(a+2b)(2b-a)$
C.$(2a+b)(-2a-b)$
D.$(b-2a)(-2a-b)$
答案
C
解析
【分析】
解题的核心是先明确完全平方公式的结构特征：完全平方公式是两个完全相同的二项式相乘，即形如$(m±n)^2$的式子，其本质是两个因式的对应项要么完全相同，要么可以通过提取负号转化为完全相同的形式。解题时先逐个分析每个选项的两个因式的项的对应关系，判断是否能转化为两个相同二项式相乘的形式即可。
【解析】
首先回忆完全平方公式的适用条件：两个相乘的二项式的各项对应相同，或可变形为相同。
选项A：$(2a+b)(a-2b)$，两个因式的对应项（2a和a，b和-2b）的系数、符号均不相同，无法转化为相同的二项式，不能用完全平方公式计算；
选项B：$(a+2b)(2b-a)=(2b+a)(2b-a)$，两个因式中2b项相同，a和-a互为相反数，属于平方差公式的适用形式，不符合完全平方公式要求；
选项C：$(2a+b)(-2a-b)$，对第二个因式提取负号可得：$(2a+b)[-(2a+b)]=-(2a+b)^2$，可转化为两个相同二项式相乘的形式，能运用完全平方公式计算；
选项D：$(b-2a)(-2a-b)=(-2a+b)(-2a-b)$，两个因式中-2a项相同，b和-b互为相反数，属于平方差公式的适用形式，不符合完全平方公式要求。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式特征
2. 平方差公式特征
3. 乘法公式识别
【点评】
本题重点考查整式乘法公式的区分，解题关键是准确辨析完全平方公式和平方差公式的结构差异：完全平方公式要求两个因式的对应项全部相同（或可变形为全部相同），平方差公式要求两个因式一项相同、一项互为相反数，掌握两类公式的特征即可快速判断。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先明确完全平方公式的结构特征：完全平方公式是两个完全相同的二项式相乘，即形如$(m±n)^2$的式子，其本质是两个因式的对应项要么完全相同，要么可以通过提取负号转化为完全相同的形式。解题时先逐个分析每个选项的两个因式的项的对应关系，判断是否能转化为两个相同二项式相乘的形式即可。
【解析】
首先回忆完全平方公式的适用条件：两个相乘的二项式的各项对应相同，或可变形为相同。
选项A：$(2a+b)(a-2b)$，两个因式的对应项（2a和a，b和-2b）的系数、符号均不相同，无法转化为相同的二项式，不能用完全平方公式计算；
选项B：$(a+2b)(2b-a)=(2b+a)(2b-a)$，两个因式中2b项相同，a和-a互为相反数，属于平方差公式的适用形式，不符合完全平方公式要求；
选项C：$(2a+b)(-2a-b)$，对第二个因式提取负号可得：$(2a+b)[-(2a+b)]=-(2a+b)^2$，可转化为两个相同二项式相乘的形式，能运用完全平方公式计算；
选项D：$(b-2a)(-2a-b)=(-2a+b)(-2a-b)$，两个因式中-2a项相同，b和-b互为相反数，属于平方差公式的适用形式，不符合完全平方公式要求。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式特征
2. 平方差公式特征
3. 乘法公式识别
【点评】
本题重点考查整式乘法公式的区分，解题关键是准确辨析完全平方公式和平方差公式的结构差异：完全平方公式要求两个因式的对应项全部相同（或可变形为全部相同），平方差公式要求两个因式一项相同、一项互为相反数，掌握两类公式的特征即可快速判断。
【难度系数】
0.8
2.如图，图1中的阴影部分移动成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证的计算公式是（
B
）答案
B
解析
【分析】
本题采用面积割补法验证整式乘法公式，解题思路核心是抓住“图形平移前后面积不变”的特点，分别计算两个图形中阴影部分的面积，令两个面积相等即可推导出对应的公式。第一步先计算原图1的阴影面积，第二步计算拼接后图2的阴影面积，第三步联立两个面积表达式得到公式，匹配选项即可。
【解析】
设大正方形的边长为$a$，挖去的小矩形对应的短边长为$b$：
1. 计算图1阴影面积：边长为$a$的大正方形面积为$a^2$，减去2个长为$a$、宽为$b$的矩形面积，此时两个矩形重叠的边长为$b$的小正方形被多减了1次，需要补回，因此$S_{\mathrm{阴影1}}=a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
2. 计算图2阴影面积：将图1阴影平移拼接后得到边长为$(a-b)$的正方形，因此$S_{\mathrm{阴影2}}=(a-b)^2$。
3. 由于平移前后阴影面积不变，故$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方差公式，割补法求面积，数形结合思想
【点评】
本题借助几何图形的面积关系验证代数公式，是数形结合思想的典型应用，解题的关键是准确计算两个图形中阴影部分的面积，抓住割补前后面积不变的隐含条件。
【难度系数】
0.7
本题采用面积割补法验证整式乘法公式，解题思路核心是抓住“图形平移前后面积不变”的特点，分别计算两个图形中阴影部分的面积，令两个面积相等即可推导出对应的公式。第一步先计算原图1的阴影面积，第二步计算拼接后图2的阴影面积，第三步联立两个面积表达式得到公式，匹配选项即可。
【解析】
设大正方形的边长为$a$，挖去的小矩形对应的短边长为$b$：
1. 计算图1阴影面积：边长为$a$的大正方形面积为$a^2$，减去2个长为$a$、宽为$b$的矩形面积，此时两个矩形重叠的边长为$b$的小正方形被多减了1次，需要补回，因此$S_{\mathrm{阴影1}}=a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
2. 计算图2阴影面积：将图1阴影平移拼接后得到边长为$(a-b)$的正方形，因此$S_{\mathrm{阴影2}}=(a-b)^2$。
3. 由于平移前后阴影面积不变，故$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方差公式，割补法求面积，数形结合思想
【点评】
本题借助几何图形的面积关系验证代数公式，是数形结合思想的典型应用，解题的关键是准确计算两个图形中阴影部分的面积，抓住割补前后面积不变的隐含条件。
【难度系数】
0.7
3.若$a+b=3,a^2+b^2=7$,则$ab$等于 （
A. 2 B. 1 C. $-2$ D. $-1$
业·测评
A. $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
B. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
C. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
D. $(a+b)^2=4ab+(a-b)^2$
B
）A. 2 B. 1 C. $-2$ D. $-1$
业·测评
A. $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
B. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
C. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
D. $(a+b)^2=4ab+(a-b)^2$
答案
B 【解析】因为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$,所以$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{3^2-7}{2}=1.$
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和所求代数式的关联，已知$a+b$与$a^2+b^2$的值，要求$ab$，可以联想到完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，该公式中恰好包含题目给出的三个量，因此只需对公式做变形，把$ab$单独整理到等式一侧，再代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
根据完全平方和公式可得：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
将公式变形推导$ab$的表达式：$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}$，
把$a+b=3$，$a^2+b^2=7$代入上述表达式计算：
$ab=\frac{3^2 - 7}{2}=\frac{9-7}{2}=\frac{2}{2}=1$。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题属于完全平方公式的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，能够结合已知条件灵活对公式做变形，计算时注意运算顺序，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件和所求代数式的关联，已知$a+b$与$a^2+b^2$的值，要求$ab$，可以联想到完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，该公式中恰好包含题目给出的三个量，因此只需对公式做变形，把$ab$单独整理到等式一侧，再代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
根据完全平方和公式可得：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
将公式变形推导$ab$的表达式：$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}$，
把$a+b=3$，$a^2+b^2=7$代入上述表达式计算：
$ab=\frac{3^2 - 7}{2}=\frac{9-7}{2}=\frac{2}{2}=1$。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题属于完全平方公式的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，能够结合已知条件灵活对公式做变形，计算时注意运算顺序，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
3. $(2x + 4y)^2 = 4x^2 + \_\_\_\_\_\_ + 16y^2.$
答案
16xy
解析
【分析】
本题考查完全平方和公式的应用，解题时首先回忆完全平方和公式的结构：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，接下来对应找到题干中$(2x+4y)^2$里的$a$和$b$，其中$a=2x$，$b=4y$，再代入公式计算中间项$2ab$的结果，即可得到横线上需要填写的内容。
【解析】
根据完全平方和公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
在$(2x+4y)^2$中，$a=2x$，$b=4y$，
因此中间项为$2ab = 2× 2x× 4y = 16xy$。
【答案】
16xy
【知识点】
完全平方公式，单项式乘法
【点评】
本题属于基础题，重点考察对完全平方公式结构的熟悉程度，解题的核心是准确对应公式中的$a$、$b$项，计算中间项时注意不要遗漏系数，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方和公式的应用，解题时首先回忆完全平方和公式的结构：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，接下来对应找到题干中$(2x+4y)^2$里的$a$和$b$，其中$a=2x$，$b=4y$，再代入公式计算中间项$2ab$的结果，即可得到横线上需要填写的内容。
【解析】
根据完全平方和公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
在$(2x+4y)^2$中，$a=2x$，$b=4y$，
因此中间项为$2ab = 2× 2x× 4y = 16xy$。
【答案】
16xy
【知识点】
完全平方公式，单项式乘法
【点评】
本题属于基础题，重点考察对完全平方公式结构的熟悉程度，解题的核心是准确对应公式中的$a$、$b$项，计算中间项时注意不要遗漏系数，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
