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4.若$(x-1)^2=2$，则代数式$x^2-2x+5$的值为
6
。答案
6 【解析】由$(x-1)^2=2$,得$x^2-2x+1=2$,即$x^2-2x=1$,所以$x^2-2x+5=1+5=6.$
解析
【分析】
解题时可先观察已知条件和待求代数式的结构关联：已知是$(x-1)$的平方的形式，待求式中包含$x^2-2x$的部分，恰好是$(x-1)^2$展开后去掉常数项的部分。无需解出$x$的具体值，只需将已知条件用完全平方公式展开，求出$x^2-2x$的整体取值，再代入待求代数式计算即可，能大幅简化计算过程。
【解析】
已知$(x-1)^2=2$，根据完全平方公式展开左边得：
$x^2 - 2x + 1 = 2$
移项可得：$x^2 - 2x = 2 - 1 = 1$
将$x^2 - 2x = 1$整体代入代数式$x^2 - 2x + 5$得：
原式$= 1 + 5 = 6$
【答案】
6
【知识点】
完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，重点考查完全平方公式的运用和整体代入的数学思想，可避免求解未知数的复杂运算，掌握整体代入的技巧可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时可先观察已知条件和待求代数式的结构关联：已知是$(x-1)$的平方的形式，待求式中包含$x^2-2x$的部分，恰好是$(x-1)^2$展开后去掉常数项的部分。无需解出$x$的具体值，只需将已知条件用完全平方公式展开，求出$x^2-2x$的整体取值，再代入待求代数式计算即可，能大幅简化计算过程。
【解析】
已知$(x-1)^2=2$，根据完全平方公式展开左边得：
$x^2 - 2x + 1 = 2$
移项可得：$x^2 - 2x = 2 - 1 = 1$
将$x^2 - 2x = 1$整体代入代数式$x^2 - 2x + 5$得：
原式$= 1 + 5 = 6$
【答案】
6
【知识点】
完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，重点考查完全平方公式的运用和整体代入的数学思想，可避免求解未知数的复杂运算，掌握整体代入的技巧可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 运用完全平方公式计算：
(1)$(x+7)^2$；(2)$(1.5m - \dfrac{2}{3}n)^2$
(1)$(x+7)^2$；(2)$(1.5m - \dfrac{2}{3}n)^2$
答案
(1)原式$=x^2+2· x·7+7^2=x^2+14x+49.$
(2)原式$=(\frac{3}{2}m-\frac{2}{3}n)^2=(\frac{3}{2}m)^2-2×\frac{3}{2}m×\frac{2}{3}n+(\frac{2}{3}n)^2=\frac{9}{4}m^2-2mn+\frac{4}{9}n^2.$
(2)原式$=(\frac{3}{2}m-\frac{2}{3}n)^2=(\frac{3}{2}m)^2-2×\frac{3}{2}m×\frac{2}{3}n+(\frac{2}{3}n)^2=\frac{9}{4}m^2-2mn+\frac{4}{9}n^2.$
解析
【分析】
解题时首先要牢记完全平方公式的两种形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$（和的平方）、$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$（差的平方）。先判断每个式子属于和的平方还是差的平方，再准确对应公式里的$a$和$b$，最后代入公式展开化简即可。具体来看：(1)式是$x$与7的和的平方，对应和的平方公式，取$a=x$，$b=7$；(2)式是$1.5m$与$\frac{2}{3}n$的差的平方，对应差的平方公式，先把小数1.5化成分数$\frac{3}{2}$方便计算，取$a=\frac{3}{2}m$，$b=\frac{2}{3}n$，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 根据和的完全平方公式计算：
原式$=x^2+2· x·7+7^2=x^2+14x+49$
(2) 先将小数化为分数，再根据差的完全平方公式计算：
原式$=(\frac{3}{2}m-\frac{2}{3}n)^2=(\frac{3}{2}m)^2-2×\frac{3}{2}m×\frac{2}{3}n+(\frac{2}{3}n)^2=\frac{9}{4}m^2-2mn+\frac{4}{9}n^2$
【答案】
(1)$x^2+14x+49$；(2)$\frac{9}{4}m^2-2mn+\frac{4}{9}n^2$
【知识点】
完全平方公式；整式的乘法运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题核心是准确区分和的平方、差的平方的公式形式，正确匹配公式中的$a$和$b$，计算时注意系数的运算和字母的指数不要出错。
【难度系数】
0.85
解题时首先要牢记完全平方公式的两种形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$（和的平方）、$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$（差的平方）。先判断每个式子属于和的平方还是差的平方，再准确对应公式里的$a$和$b$，最后代入公式展开化简即可。具体来看：(1)式是$x$与7的和的平方，对应和的平方公式，取$a=x$，$b=7$；(2)式是$1.5m$与$\frac{2}{3}n$的差的平方，对应差的平方公式，先把小数1.5化成分数$\frac{3}{2}$方便计算，取$a=\frac{3}{2}m$，$b=\frac{2}{3}n$，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 根据和的完全平方公式计算：
原式$=x^2+2· x·7+7^2=x^2+14x+49$
(2) 先将小数化为分数，再根据差的完全平方公式计算：
原式$=(\frac{3}{2}m-\frac{2}{3}n)^2=(\frac{3}{2}m)^2-2×\frac{3}{2}m×\frac{2}{3}n+(\frac{2}{3}n)^2=\frac{9}{4}m^2-2mn+\frac{4}{9}n^2$
【答案】
(1)$x^2+14x+49$；(2)$\frac{9}{4}m^2-2mn+\frac{4}{9}n^2$
【知识点】
完全平方公式；整式的乘法运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题核心是准确区分和的平方、差的平方的公式形式，正确匹配公式中的$a$和$b$，计算时注意系数的运算和字母的指数不要出错。
【难度系数】
0.85
6.化简:(1)$2(a+1)^2+(a+1)(1-2a)$；
(2)$(2x+1)^2-(x+3)(x-3)$。
(2)$(2x+1)^2-(x+3)(x-3)$。
答案
(1)原式$=2a^2+4a+2+a-2a^2+1-2a=3a+3.$
(2)原式$=(4x^2+4x+1)-(x^2-9)=4x^2+1-x^2+9=3x^2+4x+10.$
(2)原式$=(4x^2+4x+1)-(x^2-9)=4x^2+1-x^2+9=3x^2+4x+10.$
解析
【分析】
这两道题都属于整式的化简运算，解题思路遵循整式混合运算的顺序：先算乘方、乘法，再算加减，最后合并同类项得到最简结果。
(1)题中存在完全平方式和多项式乘多项式的结构，先利用完全平方公式展开$(a+1)^2$，再用多项式乘多项式法则计算$(a+1)(1-2a)$，之后合并同类项即可。
(2)题中$(2x+1)^2$符合完全平方公式的结构，$(x+3)(x-3)$符合平方差公式的结构，先分别套用两个乘法公式展开，再去括号（注意括号前是减号，去括号后括号内各项要变号），最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 先利用完全平方公式、多项式乘多项式法则展开各项：
原式$=2(a^2+2a+1)+(a-2a^2+1-2a)$
$=2a^2+4a+2 + a - 2a^2 +1 -2a$
合并同类项：
$=(2a^2-2a^2)+(4a+a-2a)+(2+1)$
$=3a+3$
(2) 先利用完全平方公式、平方差公式展开各项：
原式$=(4x^2+4x+1)-(x^2-9)$
去括号：
$=4x^2+4x+1 -x^2 +9$
合并同类项：
$=(4x^2-x^2)+4x+(1+9)$
$=3x^2+4x+10$
【答案】
(1)$3a+3$；(2)$3x^2+4x+10$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，合并同类项
【点评】
本题考查整式的混合运算，核心是熟练掌握乘法公式与整式运算的规则，解题时需注意去括号的符号变化，展开计算时要细心避免系数、次数计算错误。
【难度系数】
0.8
这两道题都属于整式的化简运算，解题思路遵循整式混合运算的顺序：先算乘方、乘法，再算加减，最后合并同类项得到最简结果。
(1)题中存在完全平方式和多项式乘多项式的结构，先利用完全平方公式展开$(a+1)^2$，再用多项式乘多项式法则计算$(a+1)(1-2a)$，之后合并同类项即可。
(2)题中$(2x+1)^2$符合完全平方公式的结构，$(x+3)(x-3)$符合平方差公式的结构，先分别套用两个乘法公式展开，再去括号（注意括号前是减号，去括号后括号内各项要变号），最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 先利用完全平方公式、多项式乘多项式法则展开各项：
原式$=2(a^2+2a+1)+(a-2a^2+1-2a)$
$=2a^2+4a+2 + a - 2a^2 +1 -2a$
合并同类项：
$=(2a^2-2a^2)+(4a+a-2a)+(2+1)$
$=3a+3$
(2) 先利用完全平方公式、平方差公式展开各项：
原式$=(4x^2+4x+1)-(x^2-9)$
去括号：
$=4x^2+4x+1 -x^2 +9$
合并同类项：
$=(4x^2-x^2)+4x+(1+9)$
$=3x^2+4x+10$
【答案】
(1)$3a+3$；(2)$3x^2+4x+10$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，合并同类项
【点评】
本题考查整式的混合运算，核心是熟练掌握乘法公式与整式运算的规则，解题时需注意去括号的符号变化，展开计算时要细心避免系数、次数计算错误。
【难度系数】
0.8
7.若$x^2 +4x -4=0$，则$3(x-2)^2 -6(x+1)(x-1)$的值为（
A.$-6$
B.$6$
C.$18$
D.$30$
B
）A.$-6$
B.$6$
C.$18$
D.$30$
答案
B 【解析】原式$=-3(x^2+4x)+18$,由$x^2+4x-4=0$得$x^2+4x=4$,所以原式$=-3×4+18=6.$
解析
【分析】
题目给出了关于x的方程，若直接解方程求x的值再代入所求代数式计算会比较繁琐，因此优先考虑化简所求代数式。我们可以先利用完全平方公式、平方差公式将代数式展开，合并同类项后整理为含有已知方程中$x^2+4x$的形式，再通过整体代入的方法计算结果即可。
【解析】
首先利用乘法公式展开并化简代数式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3(x^2 - 4x + 4) - 6(x^2 - 1)\\&=3x^2 - 12x + 12 - 6x^2 + 6\\&=-3x^2 - 12x + 18\\&=-3(x^2 + 4x) + 18\end{aligned}$
由已知$x^2 + 4x - 4 = 0$，可得$x^2 + 4x = 4$，将其代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=-3×4 + 18 = -12 + 18 = 6$
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整体代入求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式乘法公式，运用整体代入的思想可避免复杂计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
题目给出了关于x的方程，若直接解方程求x的值再代入所求代数式计算会比较繁琐，因此优先考虑化简所求代数式。我们可以先利用完全平方公式、平方差公式将代数式展开，合并同类项后整理为含有已知方程中$x^2+4x$的形式，再通过整体代入的方法计算结果即可。
【解析】
首先利用乘法公式展开并化简代数式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3(x^2 - 4x + 4) - 6(x^2 - 1)\\&=3x^2 - 12x + 12 - 6x^2 + 6\\&=-3x^2 - 12x + 18\\&=-3(x^2 + 4x) + 18\end{aligned}$
由已知$x^2 + 4x - 4 = 0$，可得$x^2 + 4x = 4$，将其代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=-3×4 + 18 = -12 + 18 = 6$
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整体代入求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式乘法公式，运用整体代入的思想可避免复杂计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
8.若$(x+y)^2=19,(x-y)^2=3$,则$xy$的值为（
A.4
B.16
C.8
D.15
A
）A.4
B.16
C.8
D.15
答案
A 【解析】因为$(x+y)^2=19,(x-y)^2=3$,所以$x^2+2xy+y^2=19,x^2-2xy+y^2=3$,两式相减得$4xy=16$,故$xy=4.$
解析
【分析】
本题要求$xy$的值，已知两个完全平方式的计算结果，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的展开形式，将两个已知的完全平方式分别展开，会发现两个展开式中都含有$x^2+y^2$项，若将两个展开式相减，即可消去$x^2$和$y^2$的公共项，得到仅含$xy$的等式，进而求出$xy$的值。
【解析】
根据完全平方公式展开已知等式：
$\because (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 19$ ①
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = 3$ ②
用①式减去②式可得：
$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 19 - 3$
去括号合并同类项得：$4xy = 16$
解得：$xy = 4$
因此答案选A。
【答案】A
【知识点】完全平方公式；整式的加减运算
【点评】
本题是完全平方公式的典型应用类题目，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特点，通过两式作差消去相同的二次项，快速得到待求代数式的值，是整式运算章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
本题要求$xy$的值，已知两个完全平方式的计算结果，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的展开形式，将两个已知的完全平方式分别展开，会发现两个展开式中都含有$x^2+y^2$项，若将两个展开式相减，即可消去$x^2$和$y^2$的公共项，得到仅含$xy$的等式，进而求出$xy$的值。
【解析】
根据完全平方公式展开已知等式：
$\because (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 19$ ①
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = 3$ ②
用①式减去②式可得：
$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 19 - 3$
去括号合并同类项得：$4xy = 16$
解得：$xy = 4$
因此答案选A。
【答案】A
【知识点】完全平方公式；整式的加减运算
【点评】
本题是完全平方公式的典型应用类题目，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特点，通过两式作差消去相同的二次项，快速得到待求代数式的值，是整式运算章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
9.已知$(x-2025)^2+(x-2027)^2=34$，则$(x-2026)^2$的值是
16
。答案
16 【解析】设$t=x-2026$,
因为$(x-2025)^2+(x-2027)^2=34$,
所以$(t+1)^2+(t-1)^2=34$,即$2t^2+2=34$,
所以$t^2=16$,即$(x-2026)^2=16.$
因为$(x-2025)^2+(x-2027)^2=34$,
所以$(t+1)^2+(t-1)^2=34$,即$2t^2+2=34$,
所以$t^2=16$,即$(x-2026)^2=16.$
解析
【分析】
首先观察所求式子为$(x-2026)^2$，已知条件中两个平方的底数分别是$x-2025$、$x-2027$，三个底数的常数项2025、2026、2027是连续整数，可得$x-2025=(x-2026)+1$，$x-2027=(x-2026)-1$，因此可以用换元法，设$t=x-2026$，将已知等式转化为关于t的等式，再利用完全平方公式展开化简，就能直接求出$t^2$也就是所求式子的值，不需要解出x，大幅简化计算。
【解析】
设$t = x - 2026$，
则$x - 2025 = t + 1$，$x - 2027 = t - 1$，
代入已知等式得：$(t+1)^2 + (t-1)^2 = 34$，
根据完全平方公式展开：$(t^2 + 2t + 1) + (t^2 - 2t + 1) = 34$，
合并同类项得：$2t^2 + 2 = 34$，
移项计算得：$2t^2 = 32$，即$t^2 = 16$，
因此$(x-2026)^2 = t^2 = 16$。
【答案】
16
【知识点】
完全平方公式，换元法，代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式应用的典型题型，解题核心是通过观察代数式的结构特点，选用换元法简化运算，避免了直接展开含大常数项的多项式带来的计算繁琐和错误，考查了学生的观察能力和灵活运用公式的能力。
【难度系数】
0.7
首先观察所求式子为$(x-2026)^2$，已知条件中两个平方的底数分别是$x-2025$、$x-2027$，三个底数的常数项2025、2026、2027是连续整数，可得$x-2025=(x-2026)+1$，$x-2027=(x-2026)-1$，因此可以用换元法，设$t=x-2026$，将已知等式转化为关于t的等式，再利用完全平方公式展开化简，就能直接求出$t^2$也就是所求式子的值，不需要解出x，大幅简化计算。
【解析】
设$t = x - 2026$，
则$x - 2025 = t + 1$，$x - 2027 = t - 1$，
代入已知等式得：$(t+1)^2 + (t-1)^2 = 34$，
根据完全平方公式展开：$(t^2 + 2t + 1) + (t^2 - 2t + 1) = 34$，
合并同类项得：$2t^2 + 2 = 34$，
移项计算得：$2t^2 = 32$，即$t^2 = 16$，
因此$(x-2026)^2 = t^2 = 16$。
【答案】
16
【知识点】
完全平方公式，换元法，代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式应用的典型题型，解题核心是通过观察代数式的结构特点，选用换元法简化运算，避免了直接展开含大常数项的多项式带来的计算繁琐和错误，考查了学生的观察能力和灵活运用公式的能力。
【难度系数】
0.7
10. 先化简，再求值：
(1)$[(2a + b)^2 - (2a + b)(2a - b)] ÷ (2b)$，其中$a = 2$，$b = -1$；
(2)$(3a - 1)^2 - 2a(4a - 1)$，其中$a$满足$a^2 - 4a + 3 = 0$。
(1)$[(2a + b)^2 - (2a + b)(2a - b)] ÷ (2b)$，其中$a = 2$，$b = -1$；
(2)$(3a - 1)^2 - 2a(4a - 1)$，其中$a$满足$a^2 - 4a + 3 = 0$。
答案
(1)原式$=[4a^2+4ab+b^2-(4a^2-b^2)]÷(2b)=(4a^2+4ab+b^2-4a^2+b^2)÷(2b)=(4ab+2b^2)÷(2b)=2a+b$,
当$a=2,b=-1$时,原式$=2×2-1=3.$
(2)原式$=(9a^2-6a+1)-8a^2+2a=(9a^2-8a^2)+(-6a+2a)+1=a^2-4a+1.$
因为$a^2-4a+3=0$,
所以$a^2-4a=-3$,
所以原式$=a^2-4a+1=-3+1=-2.$
当$a=2,b=-1$时,原式$=2×2-1=3.$
(2)原式$=(9a^2-6a+1)-8a^2+2a=(9a^2-8a^2)+(-6a+2a)+1=a^2-4a+1.$
因为$a^2-4a+3=0$,
所以$a^2-4a=-3$,
所以原式$=a^2-4a+1=-3+1=-2.$
解析
【分析】
本题考查整式的化简求值，分两小问梳理思路：
(1) 先利用完全平方公式展开$(2a+b)^2$，用平方差公式展开$(2a+b)(2a-b)$，再去括号合并中括号内的同类项，接下来按照整式除法法则计算，最后将$a=2$、$b=-1$代入化简后的式子计算结果即可。
(2) 先利用完全平方公式展开$(3a-1)^2$，按照单项式乘多项式法则计算$2a(4a-1)$，再去括号合并同类项得到最简式，观察最简式和已知方程$a^2-4a+3=0$的关系，将$a^2-4a$看作整体求出值后代入计算，不需要单独求解$a$的值，可简化运算。
【解析】
(1) 先计算中括号内的运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[4a^2+4ab+b^2-(4a^2-b^2)]÷(2b)\\&=(4a^2+4ab+b^2-4a^2+b^2)÷(2b)\\&=(4ab+2b^2)÷(2b)\\&=2a+b\end{aligned}$
当$a=2$，$b=-1$时，代入得：
原式$=2×2 + (-1)=4-1=3$
(2) 先展开合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(9a^2-6a+1)-8a^2+2a\\&=(9a^2-8a^2)+(-6a+2a)+1\\&=a^2-4a+1\end{aligned}$
已知$a^2-4a+3=0$，变形可得$a^2-4a=-3$，将其代入化简后的式子：
原式$=-3+1=-2$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{-2}$
【知识点】
整式化简求值、乘法公式、整体代入求值
【点评】
本题是整式运算的常规题型，需要熟练掌握完全平方公式、平方差公式的展开规则，去括号时注意符号变化，第二问运用整体代入的思想，可避免求解方程，有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.75
本题考查整式的化简求值，分两小问梳理思路：
(1) 先利用完全平方公式展开$(2a+b)^2$，用平方差公式展开$(2a+b)(2a-b)$，再去括号合并中括号内的同类项，接下来按照整式除法法则计算，最后将$a=2$、$b=-1$代入化简后的式子计算结果即可。
(2) 先利用完全平方公式展开$(3a-1)^2$，按照单项式乘多项式法则计算$2a(4a-1)$，再去括号合并同类项得到最简式，观察最简式和已知方程$a^2-4a+3=0$的关系，将$a^2-4a$看作整体求出值后代入计算，不需要单独求解$a$的值，可简化运算。
【解析】
(1) 先计算中括号内的运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[4a^2+4ab+b^2-(4a^2-b^2)]÷(2b)\\&=(4a^2+4ab+b^2-4a^2+b^2)÷(2b)\\&=(4ab+2b^2)÷(2b)\\&=2a+b\end{aligned}$
当$a=2$，$b=-1$时，代入得：
原式$=2×2 + (-1)=4-1=3$
(2) 先展开合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(9a^2-6a+1)-8a^2+2a\\&=(9a^2-8a^2)+(-6a+2a)+1\\&=a^2-4a+1\end{aligned}$
已知$a^2-4a+3=0$，变形可得$a^2-4a=-3$，将其代入化简后的式子：
原式$=-3+1=-2$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{-2}$
【知识点】
整式化简求值、乘法公式、整体代入求值
【点评】
本题是整式运算的常规题型，需要熟练掌握完全平方公式、平方差公式的展开规则，去括号时注意符号变化，第二问运用整体代入的思想，可避免求解方程，有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.75
11. 阅读下列材料.
若 $ x $ 满足 $(9 - x)(x - 4) = 4$，求 $(4 - x)^2 + (x - 9)^2$ 的值.
解:设 $9 - x = a$，$x - 4 = b$，则 $(9 - x)(x - 4) = ab = 4$，$a + b = (9 - x) + (x - 4) = 5$，
故 $(4 - x)^2 + (x - 9)^2 = (9 - x)^2 + (x - 4)^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2×4 = 17$.
请仿照上面的方法求解下面的问题:
(1)若 $ x $ 满足 $(5 - x)(x - 2) = 2$，求 $(5 - x)^2 + (x - 2)^2$ 的值.
(2)如图，已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $x$，$E,F$ 分别是 $AD,DC$ 上的点，且 $AE = 1$，$CF = 3$，长方形 $EMFD$ 的面积是 48，分别以 $MF,DF$ 为边作正方形.
① $MF = \_\_\_\_\_\_$，$DF = \_\_\_\_\_\_$；(用含 $x$ 的式子表示)
②求阴影部分的面积.
若 $ x $ 满足 $(9 - x)(x - 4) = 4$，求 $(4 - x)^2 + (x - 9)^2$ 的值.
解:设 $9 - x = a$，$x - 4 = b$，则 $(9 - x)(x - 4) = ab = 4$，$a + b = (9 - x) + (x - 4) = 5$，
故 $(4 - x)^2 + (x - 9)^2 = (9 - x)^2 + (x - 4)^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2×4 = 17$.
请仿照上面的方法求解下面的问题:
(1)若 $ x $ 满足 $(5 - x)(x - 2) = 2$，求 $(5 - x)^2 + (x - 2)^2$ 的值.
(2)如图，已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $x$，$E,F$ 分别是 $AD,DC$ 上的点，且 $AE = 1$，$CF = 3$，长方形 $EMFD$ 的面积是 48，分别以 $MF,DF$ 为边作正方形.
① $MF = \_\_\_\_\_\_$，$DF = \_\_\_\_\_\_$；(用含 $x$ 的式子表示)
②求阴影部分的面积.
答案
(1)设$5-x=a,x-2=b$,则$(5-x)(x-2)=ab=2,a+b=(5-x)+(x-2)=3$,故$(5-x)^2+(x-2)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×2=5.$
(2)①$x-1$ $x-3$
②$(x-1)(x-3)=48$,阴影部分的面积$=FM^2-DF^2=(x-1)^2-(x-3)^2.$
设$x-1=m,x-3=n$,则$(x-1)(x-3)=mn=48,m-n=(x-1)-(x-3)=2$,
因为$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn=2^2+4×48=196$,
所以$m+n=\pm14.$
又$m+n＞0$,所以$m+n=14$,
所以$(x-1)^2-(x-3)^2=m^2-n^2=(m+n)·(m-n)=14×2=28$,即阴影部分的面积是28.
(2)①$x-1$ $x-3$
②$(x-1)(x-3)=48$,阴影部分的面积$=FM^2-DF^2=(x-1)^2-(x-3)^2.$
设$x-1=m,x-3=n$,则$(x-1)(x-3)=mn=48,m-n=(x-1)-(x-3)=2$,
因为$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn=2^2+4×48=196$,
所以$m+n=\pm14.$
又$m+n＞0$,所以$m+n=14$,
所以$(x-1)^2-(x-3)^2=m^2-n^2=(m+n)·(m-n)=14×2=28$,即阴影部分的面积是28.
解析
【分析】
本题考查换元法结合乘法公式求解代数式的值，解题思路如下：
(1) 仿照题干给出的示例，将$(5-x)$和$(x-2)$分别设为$a$、$b$，先求出$a+b$与$ab$的值，再利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$代入计算即可。
(2) ①根据正方形$ABCD$的边长为$x$，结合线段的和差关系：$MF=DE=AD-AE$，$DF=CD-CF$，代入数据即可用含$x$的式子表示两条线段长度；
②阴影部分面积是以$MF$为边长的正方形面积减去以$DF$为边长的正方形面积，即$(x-1)^2-(x-3)^2$，先根据长方形$EMFD$的面积得$(x-1)(x-3)=48$，再将$x-1$设为$m$，$x-3$设为$n$，先求出$m-n$的值，再利用完全平方公式变形求出$m+n$的值，最后用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$代入计算即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 设$5-x=a$，$x-2=b$，
则$ab=(5-x)(x-2)=2$，$a+b=(5-x)+(x-2)=3$，
因此$(5-x)^2+(x-2)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×2=5$。
(2) ① 因为正方形$ABCD$边长为$x$，$AE=1$，$CF=3$，
所以$MF=DE=AD-AE=x-1$，$DF=CD-CF=x-3$。
② 已知长方形$EMFD$的面积是48，可得$(x-1)(x-3)=48$，
阴影部分面积为以$MF$为边长的正方形面积减去以$DF$为边长的正方形面积，即：
$S_{\mathrm{阴影}}=(x-1)^2-(x-3)^2$
设$x-1=m$，$x-3=n$，则$mn=(x-1)(x-3)=48$，
$m-n=(x-1)-(x-3)=2$，
根据完全平方公式变形得：$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn=2^2+4×48=196$，
因为线段长度为正，$m=x-1＞0$，$n=x-3＞0$，所以$m+n＞0$，因此$m+n=14$，
再由平方差公式得：$m^2-n^2=(m+n)(m-n)=14×2=28$，即阴影部分的面积为28。
【答案】
(1) $\boxed{5}$
(2) ① $\boxed{x-1}$；$\boxed{x-3}$ ② $\boxed{28}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，换元法求值
【点评】
本题将代数换元法与几何图形的面积计算结合，重点考查乘法公式的灵活变形应用，通过换元可以简化计算过程，降低运算难度，要求学生熟练掌握乘法公式的常见变形形式，同时能结合几何图形的性质准确列出代数式。
【难度系数】
0.7
本题考查换元法结合乘法公式求解代数式的值，解题思路如下：
(1) 仿照题干给出的示例，将$(5-x)$和$(x-2)$分别设为$a$、$b$，先求出$a+b$与$ab$的值，再利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$代入计算即可。
(2) ①根据正方形$ABCD$的边长为$x$，结合线段的和差关系：$MF=DE=AD-AE$，$DF=CD-CF$，代入数据即可用含$x$的式子表示两条线段长度；
②阴影部分面积是以$MF$为边长的正方形面积减去以$DF$为边长的正方形面积，即$(x-1)^2-(x-3)^2$，先根据长方形$EMFD$的面积得$(x-1)(x-3)=48$，再将$x-1$设为$m$，$x-3$设为$n$，先求出$m-n$的值，再利用完全平方公式变形求出$m+n$的值，最后用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$代入计算即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 设$5-x=a$，$x-2=b$，
则$ab=(5-x)(x-2)=2$，$a+b=(5-x)+(x-2)=3$，
因此$(5-x)^2+(x-2)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×2=5$。
(2) ① 因为正方形$ABCD$边长为$x$，$AE=1$，$CF=3$，
所以$MF=DE=AD-AE=x-1$，$DF=CD-CF=x-3$。
② 已知长方形$EMFD$的面积是48，可得$(x-1)(x-3)=48$，
阴影部分面积为以$MF$为边长的正方形面积减去以$DF$为边长的正方形面积，即：
$S_{\mathrm{阴影}}=(x-1)^2-(x-3)^2$
设$x-1=m$，$x-3=n$，则$mn=(x-1)(x-3)=48$，
$m-n=(x-1)-(x-3)=2$，
根据完全平方公式变形得：$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn=2^2+4×48=196$，
因为线段长度为正，$m=x-1＞0$，$n=x-3＞0$，所以$m+n＞0$，因此$m+n=14$，
再由平方差公式得：$m^2-n^2=(m+n)(m-n)=14×2=28$，即阴影部分的面积为28。
【答案】
(1) $\boxed{5}$
(2) ① $\boxed{x-1}$；$\boxed{x-3}$ ② $\boxed{28}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，换元法求值
【点评】
本题将代数换元法与几何图形的面积计算结合，重点考查乘法公式的灵活变形应用，通过换元可以简化计算过程，降低运算难度，要求学生熟练掌握乘法公式的常见变形形式，同时能结合几何图形的性质准确列出代数式。
【难度系数】
0.7
