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基础知识·预习
问题1 请你从几何直观的角度用图形的面积解释完全平方公式.
问题2 请你说一说完全平方公式的结构特征.
问题1 请你从几何直观的角度用图形的面积解释完全平方公式.
问题2 请你说一说完全平方公式的结构特征.
答案
解：
问题1
1. 解释完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
构造边长为$a+b$的大正方形，将其分割为4个部分：1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形，以及2个长为$a$、宽为$b$的长方形。
大正方形的总面积为$(a+b)^2$，4个部分的面积之和为$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2+2ab+b^2$，由面积相等可得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
2. 解释完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$：
构造边长为$a$的大正方形，在它的一组邻边上分别截取长度为$b$的线段，得到边长为$a-b$的小正方形。
该小正方形的面积等于大正方形面积减去2个长为$a$、宽为$b$的长方形的面积，再补回多减去的1个边长为$b$的小正方形的面积，即面积为$a^2-2ab+b^2$，同时小正方形的面积也可表示为$(a-b)^2$，由面积相等可得$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
问题2
完全平方公式的结构特征：
1. 公式左侧是两个数的和（或差）的平方，也就是两个完全相同的二项式相乘；
2. 公式右侧是二次三项式：其中两项是左侧二项式中两个数的平方和，剩余一项是这两个数乘积的2倍，该项的符号与左侧二项式中两项间的运算符号一致。
问题1
1. 解释完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
构造边长为$a+b$的大正方形，将其分割为4个部分：1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形，以及2个长为$a$、宽为$b$的长方形。
大正方形的总面积为$(a+b)^2$，4个部分的面积之和为$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2+2ab+b^2$，由面积相等可得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
2. 解释完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$：
构造边长为$a$的大正方形，在它的一组邻边上分别截取长度为$b$的线段，得到边长为$a-b$的小正方形。
该小正方形的面积等于大正方形面积减去2个长为$a$、宽为$b$的长方形的面积，再补回多减去的1个边长为$b$的小正方形的面积，即面积为$a^2-2ab+b^2$，同时小正方形的面积也可表示为$(a-b)^2$，由面积相等可得$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
问题2
完全平方公式的结构特征：
1. 公式左侧是两个数的和（或差）的平方，也就是两个完全相同的二项式相乘；
2. 公式右侧是二次三项式：其中两项是左侧二项式中两个数的平方和，剩余一项是这两个数乘积的2倍，该项的符号与左侧二项式中两项间的运算符号一致。
解析
【分析】
本题分为两个小问，解题思路如下：
1. 针对问题1采用数形结合的面积法：验证完全平方和公式时，构造边长为$a+b$的大正方形，将其拆分为若干规则图形，通过“大正方形面积=各拆分图形面积之和”建立等式验证公式；验证完全平方差公式时，构造边长为$a$的大正方形，通过“边长为$a-b$的小正方形面积=大正方形面积减去多余部分面积（多减部分需补回）”建立等式验证公式。
2. 针对问题2从公式左右两侧的代数式特征入手：先分析左侧的运算结构，再分析右侧展开后的项数、每一项的来源以及符号规律，梳理总结即可。
【解析】
问题1解答
1. 解释完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
构造边长为$a+b$的大正方形，将其分割为4个部分：1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形，以及2个长为$a$、宽为$b$的长方形。
大正方形的总面积为$(a+b)^2$，4个部分的面积之和为$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2+2ab+b^2$，由面积相等可得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
2. 解释完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$：
构造边长为$a$的大正方形，在它的一组邻边上分别截取长度为$b$的线段，得到边长为$a-b$的小正方形。
该小正方形的面积等于大正方形面积减去2个长为$a$、宽为$b$的长方形的面积，再补回多减去的1个边长为$b$的小正方形的面积，即面积为$a^2-2ab+b^2$，同时小正方形的面积也可表示为$(a-b)^2$，由面积相等可得$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
问题2解答
完全平方公式的结构特征：
1. 公式左侧是两个数的和（或差）的平方，也就是两个完全相同的二项式相乘；
2. 公式右侧是二次三项式：其中两项是左侧二项式中两个数的平方和，剩余一项是这两个数乘积的2倍，该项的符号与左侧二项式中两项间的运算符号一致。
【答案】
问题1：通过上述面积相等的几何方法可分别验证$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$与$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；
问题2：完全平方公式左侧为两数和（或差）的平方，右侧为二次三项式，包含两数的平方和以及两数乘积的2倍，乘积2倍的符号与左侧和/差的符号一致。
【知识点】
完全平方公式的几何意义，完全平方公式的结构特征，数形结合思想
【点评】
本题属于基础概念理解类题目，借助几何直观降低了公式理解的难度，同时梳理公式结构规律，能够加深对公式的记忆，为后续公式的灵活运用夯实基础，注重对基础能力和数形结合思维的培养。
【难度系数】
0.8
本题分为两个小问，解题思路如下：
1. 针对问题1采用数形结合的面积法：验证完全平方和公式时，构造边长为$a+b$的大正方形，将其拆分为若干规则图形，通过“大正方形面积=各拆分图形面积之和”建立等式验证公式；验证完全平方差公式时，构造边长为$a$的大正方形，通过“边长为$a-b$的小正方形面积=大正方形面积减去多余部分面积（多减部分需补回）”建立等式验证公式。
2. 针对问题2从公式左右两侧的代数式特征入手：先分析左侧的运算结构，再分析右侧展开后的项数、每一项的来源以及符号规律，梳理总结即可。
【解析】
问题1解答
1. 解释完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
构造边长为$a+b$的大正方形，将其分割为4个部分：1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形，以及2个长为$a$、宽为$b$的长方形。
大正方形的总面积为$(a+b)^2$，4个部分的面积之和为$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2+2ab+b^2$，由面积相等可得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
2. 解释完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$：
构造边长为$a$的大正方形，在它的一组邻边上分别截取长度为$b$的线段，得到边长为$a-b$的小正方形。
该小正方形的面积等于大正方形面积减去2个长为$a$、宽为$b$的长方形的面积，再补回多减去的1个边长为$b$的小正方形的面积，即面积为$a^2-2ab+b^2$，同时小正方形的面积也可表示为$(a-b)^2$，由面积相等可得$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
问题2解答
完全平方公式的结构特征：
1. 公式左侧是两个数的和（或差）的平方，也就是两个完全相同的二项式相乘；
2. 公式右侧是二次三项式：其中两项是左侧二项式中两个数的平方和，剩余一项是这两个数乘积的2倍，该项的符号与左侧二项式中两项间的运算符号一致。
【答案】
问题1：通过上述面积相等的几何方法可分别验证$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$与$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；
问题2：完全平方公式左侧为两数和（或差）的平方，右侧为二次三项式，包含两数的平方和以及两数乘积的2倍，乘积2倍的符号与左侧和/差的符号一致。
【知识点】
完全平方公式的几何意义，完全平方公式的结构特征，数形结合思想
【点评】
本题属于基础概念理解类题目，借助几何直观降低了公式理解的难度，同时梳理公式结构规律，能够加深对公式的记忆，为后续公式的灵活运用夯实基础，注重对基础能力和数形结合思维的培养。
【难度系数】
0.8
【典型例题1】运用完全平方公式计算：
(1)$(4x - 5y)^2$；
(2)$(-3a + 2)^2$；
(3)$(-2a - b)^2$。
思路导引 运用完全平方公式进行计算时，先确定好公式中的a与b及运算符号，然后再套公式进行计算。注意：$(-a - b)^2$与$(a + b)^2$相等；$(b - a)^2$与$(a - b)^2$相等。
【解】(1)原式$=(4x)^2 - 2 · 4x · 5y + (5y)^2 = 16x^2 - 40xy + 25y^2$。
(2)原式$=(-3a)^2 + 2 · (-3a) · 2 + 2^2 = 9a^2 - 12a + 4$。
(3)$(-2a - b)^2 = (2a + b)^2 = (2a)^2 + 2 · 2a · b + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$。
规律方法 完全平方公式的结构特征：等式左边是a，b两数和(或差)的平方，右边为三项之和，即“首平方、尾平方、2倍乘积在中央，符号确定看前方”。
(1)$(4x - 5y)^2$；
(2)$(-3a + 2)^2$；
(3)$(-2a - b)^2$。
思路导引 运用完全平方公式进行计算时，先确定好公式中的a与b及运算符号，然后再套公式进行计算。注意：$(-a - b)^2$与$(a + b)^2$相等；$(b - a)^2$与$(a - b)^2$相等。
【解】(1)原式$=(4x)^2 - 2 · 4x · 5y + (5y)^2 = 16x^2 - 40xy + 25y^2$。
(2)原式$=(-3a)^2 + 2 · (-3a) · 2 + 2^2 = 9a^2 - 12a + 4$。
(3)$(-2a - b)^2 = (2a + b)^2 = (2a)^2 + 2 · 2a · b + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$。
规律方法 完全平方公式的结构特征：等式左边是a，b两数和(或差)的平方，右边为三项之和，即“首平方、尾平方、2倍乘积在中央，符号确定看前方”。
答案
解：
(1) 原式$=(4x)^2 - 2·4x·5y + (5y)^2$
$=16x^2 - 40xy + 25y^2$
(2) 原式$=(-3a)^2 + 2·(-3a)·2 + 2^2$
$=9a^2 - 12a + 4$
(3) 原式$=(2a + b)^2$
$=(2a)^2 + 2·2a· b + b^2$
$=4a^2 + 4ab + b^2$
(1) 原式$=(4x)^2 - 2·4x·5y + (5y)^2$
$=16x^2 - 40xy + 25y^2$
(2) 原式$=(-3a)^2 + 2·(-3a)·2 + 2^2$
$=9a^2 - 12a + 4$
(3) 原式$=(2a + b)^2$
$=(2a)^2 + 2·2a· b + b^2$
$=4a^2 + 4ab + b^2$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题需先牢记完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对应口诀为“首平方、尾平方、2倍乘积在中央，符号确定看前方”。解题思路如下：①先确定每个式子中对应公式里的“a”和“b”；②判断式子是两数和的平方还是差的平方，确定2ab项的符号；③分别计算各项后合并得到结果。对于底数带负号的式子，可利用“互为相反数的两个数的偶次幂相等”的性质先转化式子，简化计算，比如$(-2a-b)^2=(2a+b)^2$。
【解析】
(1) 计算$(4x - 5y)^2$，对应公式中$a=4x$，$b=5y$，属于两数差的平方，代入差的完全平方公式：
原式$=(4x)^2 - 2·4x·5y + (5y)^2$
$=16x^2 - 40xy + 25y^2$
(2) 计算$(-3a + 2)^2$，对应公式中$a=-3a$，$b=2$，属于两数和的平方，代入和的完全平方公式：
原式$=(-3a)^2 + 2·(-3a)·2 + 2^2$
$=9a^2 - 12a + 4$
(3) 计算$(-2a - b)^2$，先利用偶次幂的性质转化为$(2a + b)^2$，对应公式中$a=2a$，$b=b$，代入和的完全平方公式：
原式$=(2a + b)^2$
$=(2a)^2 + 2·2a·b + b^2$
$=4a^2 + 4ab + b^2$
【答案】
(1)$16x^2 - 40xy + 25y^2$
(2)$9a^2 - 12a + 4$
(3)$4a^2 + 4ab + b^2$
【知识点】
完全平方公式；积的乘方；偶次幂的性质
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，解题核心是准确识别公式中的对应项和运算符号，熟练掌握公式口诀可有效提升解题效率和正确率。计算时需注意积的乘方运算不要漏算系数的乘方，避免出现$(4x)^2=4x^2$这类错误。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，解题需先牢记完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对应口诀为“首平方、尾平方、2倍乘积在中央，符号确定看前方”。解题思路如下：①先确定每个式子中对应公式里的“a”和“b”；②判断式子是两数和的平方还是差的平方，确定2ab项的符号；③分别计算各项后合并得到结果。对于底数带负号的式子，可利用“互为相反数的两个数的偶次幂相等”的性质先转化式子，简化计算，比如$(-2a-b)^2=(2a+b)^2$。
【解析】
(1) 计算$(4x - 5y)^2$，对应公式中$a=4x$，$b=5y$，属于两数差的平方，代入差的完全平方公式：
原式$=(4x)^2 - 2·4x·5y + (5y)^2$
$=16x^2 - 40xy + 25y^2$
(2) 计算$(-3a + 2)^2$，对应公式中$a=-3a$，$b=2$，属于两数和的平方，代入和的完全平方公式：
原式$=(-3a)^2 + 2·(-3a)·2 + 2^2$
$=9a^2 - 12a + 4$
(3) 计算$(-2a - b)^2$，先利用偶次幂的性质转化为$(2a + b)^2$，对应公式中$a=2a$，$b=b$，代入和的完全平方公式：
原式$=(2a + b)^2$
$=(2a)^2 + 2·2a·b + b^2$
$=4a^2 + 4ab + b^2$
【答案】
(1)$16x^2 - 40xy + 25y^2$
(2)$9a^2 - 12a + 4$
(3)$4a^2 + 4ab + b^2$
【知识点】
完全平方公式；积的乘方；偶次幂的性质
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，解题核心是准确识别公式中的对应项和运算符号，熟练掌握公式口诀可有效提升解题效率和正确率。计算时需注意积的乘方运算不要漏算系数的乘方，避免出现$(4x)^2=4x^2$这类错误。
【难度系数】
0.8
1. 下列计算正确的是 （
A.$(m-n)^2 = m^2 - n^2$
B.$(m-n)(m+n) = m^2 + n^2$
C.$(m - \frac{1}{2})^2 = m^2 - m + \frac{1}{4}$
D.$(m+n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$
C
）A.$(m-n)^2 = m^2 - n^2$
B.$(m-n)(m+n) = m^2 + n^2$
C.$(m - \frac{1}{2})^2 = m^2 - m + \frac{1}{4}$
D.$(m+n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$
答案
C 【解析】$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2,(m-n)(m+n)=m^2-n^2,(m-\frac{1}{2})^2=m^2-m+\frac{1}{4},(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$,只有选项C正确.
解析
【分析】
本题考查整式乘法中平方差公式和完全平方公式的应用，解题思路为：首先回忆平方差公式和完全平方公式的标准形式，再逐一将各选项等号左侧的式子按照公式展开，和等号右侧的式子对比判断是否相等，最终选出正确选项。
【解析】
首先明确两个整式乘法的常用公式：
1. 平方差公式：$\boldsymbol{(a-b)(a+b)=a^2-b^2}$
2. 完全平方公式：$\boldsymbol{(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2}$
逐个分析选项：
A选项：根据完全平方公式，$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2≠ m^2-n^2$，故A错误；
B选项：根据平方差公式，$(m-n)(m+n)=m^2-n^2≠ m^2+n^2$，故B错误；
C选项：根据完全平方公式，$(m-\frac{1}{2})^2=m^2-2· m· \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=m^2-m+\frac{1}{4}$，等号两边相等，故C正确；
D选项：根据完全平方公式，$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2≠ m^2-2mn+n^2$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心要求是准确记忆两个乘法公式的结构特征，注意区分完全平方公式和平方差公式的形式，以及完全平方公式中间项的符号，避免因记忆混淆出错。
【难度系数】
0.8
本题考查整式乘法中平方差公式和完全平方公式的应用，解题思路为：首先回忆平方差公式和完全平方公式的标准形式，再逐一将各选项等号左侧的式子按照公式展开，和等号右侧的式子对比判断是否相等，最终选出正确选项。
【解析】
首先明确两个整式乘法的常用公式：
1. 平方差公式：$\boldsymbol{(a-b)(a+b)=a^2-b^2}$
2. 完全平方公式：$\boldsymbol{(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2}$
逐个分析选项：
A选项：根据完全平方公式，$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2≠ m^2-n^2$，故A错误；
B选项：根据平方差公式，$(m-n)(m+n)=m^2-n^2≠ m^2+n^2$，故B错误；
C选项：根据完全平方公式，$(m-\frac{1}{2})^2=m^2-2· m· \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=m^2-m+\frac{1}{4}$，等号两边相等，故C正确；
D选项：根据完全平方公式，$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2≠ m^2-2mn+n^2$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心要求是准确记忆两个乘法公式的结构特征，注意区分完全平方公式和平方差公式的形式，以及完全平方公式中间项的符号，避免因记忆混淆出错。
【难度系数】
0.8
