4.计算:(1)$(-x+2y)(-x-2y)=$;
(2)$(2a-1)(2a+1)(4a^2+1)=$.

4. (1)$x^2-4y^2$ (2)$16a^4-1$ 【解析】(1)原式$=(-x)^2-(2y)^2=x^2-4y^2$.
(2)原式$=(4a^2-1)(4a^2+1)=16a^4-1$.

【分析】
这两道题均考查平方差公式的应用，平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，解题核心是先识别出两个因式中相同的项（作为公式里的$a$）和互为相反数的项（作为公式里的$b$），再代入公式计算即可。第(1)题中两个因式的相同项是$-x$，互为相反数的项是$2y$和$-2y$，直接套用公式即可；第(2)题需要连续两次使用平方差公式，先计算前两个因式的乘积，得到的结果再和第三个因式继续用平方差公式计算。
【解析】
(1) 根据平方差公式，将相同项$-x$看作$a$，相反项$2y$看作$b$，可得：
原式$=(-x)^2-(2y)^2=x^2-4y^2$
(2) 先对前两个因式应用平方差公式，再将所得结果与第三个因式继续应用平方差公式：
第一步：$(2a-1)(2a+1)=(2a)^2-1^2=4a^2-1$
第二步：原式$=(4a^2-1)(4a^2+1)=(4a^2)^2-1^2=16a^4-1$
【答案】
(1)$x^2-4y^2$；(2)$16a^4-1$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，解题的关键是准确区分公式中的相同项和相反项，连续应用公式时要注意按运算顺序逐步计算，避免符号和乘方运算出错。
【难度系数】
0.8

5.运用平方差公式计算：
(1)$(a+4b)(a-4b)$；
(2)$(m^2+\dfrac{2}{3}n)(m^2-\dfrac{2}{3}n)$；
(3)$\dfrac{1}{4}x^2+(y+\dfrac{1}{2}x)(y-\dfrac{1}{2}x)$。

5.【解】(1)原式$=a^2-(4b)^2=a^2-16b^2$.
(2)原式$=(m^2)^2-(\dfrac{2}{3}n)^2=m^4-\dfrac{4}{9}n^2$.
(3)原式$=\dfrac{1}{4}x^2+y^2-(\dfrac{1}{2}x)^2=y^2$.

【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题思路如下：首先明确平方差公式的形式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$。解题时先识别每个乘法式子里的“相同项”和“相反项”，将相同项对应公式里的$x$，相反项对应公式里的$y$，代入公式展开；对于含混合运算的第(3)小题，遵循先乘除后加减的运算顺序，先利用平方差公式计算乘法部分，再合并同类项得到结果，计算时注意系数、字母的乘方运算要正确。
【解析】
(1) 式子$(a+4b)(a-4b)$中相同项是$a$，相反项是$4b$和$-4b$，直接套用平方差公式：
原式$=a^2-(4b)^2=a^2-16b^2$
(2) 式子$(m^2+\dfrac{2}{3}n)(m^2-\dfrac{2}{3}n)$中相同项是$m^2$，相反项是$\dfrac{2}{3}n$和$-\dfrac{2}{3}n$，套用平方差公式：
原式$=(m^2)^2-(\dfrac{2}{3}n)^2=m^4-\dfrac{4}{9}n^2$
(3) 先计算乘法部分$(y+\dfrac{1}{2}x)(y-\dfrac{1}{2}x)$，相同项是$y$，相反项是$\dfrac{1}{2}x$和$-\dfrac{1}{2}x$，套用平方差公式展开后再合并同类项：
原式$=\dfrac{1}{4}x^2+[y^2-(\dfrac{1}{2}x)^2]=\dfrac{1}{4}x^2+y^2-\dfrac{1}{4}x^2=y^2$
【答案】
(1)$a^2-16b^2$；(2)$m^4-\dfrac{4}{9}n^2$；(3)$y^2$
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，合并同类项
【点评】
本题是平方差公式的基础应用类题目，解题核心是准确识别公式中的“相同项”与“相反项”，计算时需注意项的系数也要参与平方运算，避免出现漏乘系数平方的错误，混合运算要遵循正确的运算顺序。
【难度系数】
0.85

6.已知$a+b=3$，$a-b=2$，则$a^2 - b^2$等于（）

A.3
B.4
C.5
D.6

6. D 【解析】因为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2,a+b=3,a-b=2$,
所以$a^2-b^2=3×2=6$.

【分析】
解题时首先观察所求代数式$a^2 - b^2$的结构特征，联想到平方差公式的逆用形式，即$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，发现题目已经直接给出了$a+b$和$a-b$的数值，不需要单独求解a、b的值，直接整体代入计算即可快速得到结果，比先解方程组求a、b再代入计算更简便。
【解析】
根据平方差公式可得：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，
已知$a + b = 3$，$a - b = 2$，将两个值代入上式：
$a^2 - b^2 = 3 × 2 = 6$。
【答案】D
【知识点】平方差公式，代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的逆用，解题时运用整体代入的思想可以简化计算过程、降低运算量，需要熟练掌握乘法公式的正用、逆用变形。
【难度系数】
0.9

7.如图，点D，C，H，G分别在长方形ABJI的边上，点E，F在CD上，若正方形ABCD的面积等于15，图中阴影部分的面积总和为6，则正方形EFGH的面积等于（）

A.3
B.4
C.5
D.6

7. A 【解析】设大、小正方形边长分别为$a,b$,则有$a^2=15$,阴影部分的面积为$\dfrac{1}{2}(a+b)(a-b)=6$,即$a^2-b^2=12$,可得$b^2=3$,即所求面积是 3.

【分析】要计算正方形EFGH的面积，可先设正方形ABCD的边长为a，正方形EFGH的边长为b，目标是求$b^2$的值。首先由正方形ABCD的面积可得$a^2=15$，再观察阴影部分的面积构成，推导得到阴影面积的表达式，结合平方差公式变形即可求出$b^2$。
【解析】设正方形ABCD的边长为$a$，正方形EFGH的边长为$b$。
由正方形ABCD面积为15，得：$a^2=15$。
观察图形可知，阴影部分的总面积可表示为：$\dfrac{1}{2}(a+b)(a-b)=6$。
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入上式得：
$\dfrac{1}{2}(a^2 - b^2)=6$，即$a^2 - b^2=12$。
将$a^2=15$代入得：$15 - b^2=12$，解得$b^2=3$，即正方形EFGH的面积为3。
【答案】A
【知识点】平方差公式，正方形面积计算，阴影面积计算
【点评】本题将几何面积计算与代数公式应用结合，解题关键是正确推导阴影部分的面积表达式，利用平方差公式简化计算，不需要单独求出边长即可得到小正方形的面积，体现了数形结合的思想。
【难度系数】0.7

8. 计算：
(1)$(2x - 1)(x + 3) - 2(x - 1)(x + 1)$；
(2)$x^2 - (x - 2y)(x + 2y) + (x^2 - y)(y + x^2)$。

8.【解】(1)原式$=(2x^2+5x-3)-2(x^2-1)=2x^2+5x-3-2x^2+2=5x-1$.
(2)原式$=x^2-(x^2-4y^2)+(x^4-y^2)=x^2-x^2+4y^2+x^4-y^2=3y^2+x^4$.

【分析】
这两道题均属于整式的混合运算，解题遵循“先乘除、后加减”的运算顺序：①先识别式子中的乘法部分，符合平方差公式特征的优先用平方差公式计算，不符合的用多项式乘多项式法则展开；②去括号时注意符号变化，括号前是负号的，括号内各项要变号；③最后合并同类项得到最简结果。
第(1)题：先计算(2x-1)(x+3)的乘积，再利用平方差公式计算(x-1)(x+1)后乘2，再去括号合并同类项即可。
第(2)题：(x-2y)(x+2y)、(x²-y)(y+x²)都符合平方差公式“(a-b)(a+b)=a²-b²”的特征，先分别用公式计算，再去括号合并同类项。
【解析】
(1) 先按多项式乘多项式法则展开第一个乘积，再用平方差公式计算第二个乘积部分：
原式$=(2x^2+5x-3)-2(x^2-1)$
去括号得：$=2x^2+5x-3-2x^2+2$
合并同类项得：$=5x-1$
(2) 先对两个乘法部分用平方差公式简化计算：
原式$=x^2-(x^2-4y^2)+(x^4-y^2)$
去括号得：$=x^2-x^2+4y^2+x^4-y^2$
合并同类项得：$=x^4+3y^2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{5x-1}$；(2) $\boldsymbol{x^4+3y^2}$
【知识点】
平方差公式；多项式乘多项式；整式混合运算
【点评】
本题核心考查整式运算规则和平方差公式的灵活应用，解题时要先观察式子特征，优先用公式简化计算，去括号时注意符号规则，合并同类项要确保同类项判断准确、计算无误。
【难度系数】
0.8

9. 如图1,在边长为a的正方形中,剪去一个边长为b的小正方形(a＞b),如图2,将余下部分拼成一个梯形.
(1)图2中,梯形的高为;(用含a,b的代数式表示)
(2)请结合图1、图2,写出一个关于a,b的乘法公式,并通过计算图1、图2阴影部分的面积加以证明.

9.【解】(1)$a-b$
(2)$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.
证明:因为题图1中$S_{阴影}=a^2-b^2$,题图2中$S_{阴影}=\dfrac{1}{2}(2a+2b)(a-b)=(a+b)(a-b)$,又因为两个阴影部分的面积相同,所以$a^2-b^2=(a+b)·(a-b)$.

【分析】
(1) 求梯形的高时，观察图形拼接前后的边长关系：图1是边长为a的正方形剪去边长为b的小正方形，拼接为图2的梯形后，竖直方向的高度差就是大正方形与小正方形的边长差，由此即可得到梯形的高。
(2) 推导乘法公式的核心是利用拼接前后阴影部分面积相等的原理：先分别计算图1、图2的阴影面积，再联立两个面积表达式，即可得到对应乘法公式。
【解析】
(1) 拼接后梯形的高等于大正方形边长减去小正方形边长，即高为$a-b$。
(2) 乘法公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
证明：
图1中阴影部分为大正方形减去小正方形，因此面积$S_{阴影1}=a^2 - b^2$；
图2中梯形的上底长为$2b$，下底长为$2a$，高为$a-b$，根据梯形面积公式可得：
$S_{阴影2}=\frac{1}{2}×(2a+2b)×(a-b)=(a+b)(a-b)$；
由于拼接前后阴影部分面积不变，因此$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a-b}$
(2) 乘法公式为$\boldsymbol{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$，证明过程如上。
【知识点】
平方差公式，正方形面积计算，梯形面积计算
【点评】
本题通过几何图形拼接验证代数公式，渗透了数形结合的思想，能帮助直观理解公式的几何含义，是公式推导类的典型基础题。
【难度系数】
0.8