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9.一名在校大学生自主创业销售一种产品，这种产品的进价为10元/件，已知售价不低于进价，且生产商规定这种产品的售价不高于16元/件.市场调查发现，该产品每天的销售量y(单位:件)与售价x(单位:元/件)之间的函数关系图象如图所示.
(1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
(2)求每天的销售利润w(单位:元)关于售价x(单位:元/件)的函数解析式，并求出当每件售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少元？
(1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
(2)求每天的销售利润w(单位:元)关于售价x(单位:元/件)的函数解析式，并求出当每件售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少元？
答案
9.【解】(1)设 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=kx+b$ $(k≠0)$,
将 $(10,30)$,$(16,24)$ 分别代入 $y=kx+b$,
得 $\begin{cases}10k+b=30,\\16k+b=24,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-1,\\b=40.\end{cases}$
故 $y=-x+40(10≤x≤16)$.
(2)由题意,得 $w=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x^2+50x-400=-(x-25)^2+225$.
$\because -1＜0$,
$\therefore$ 当 $x＜25$ 时,$w$ 随 $x$ 的增大而增大.
$\because 10≤x≤16$,
$\therefore$ 当 $x=16$ 时,$w$ 取得最大值,最大值为 144.
$\therefore$ 当每件售价为 16 元时,每天的销售利润最大,最大利润是 144 元.
将 $(10,30)$,$(16,24)$ 分别代入 $y=kx+b$,
得 $\begin{cases}10k+b=30,\\16k+b=24,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-1,\\b=40.\end{cases}$
故 $y=-x+40(10≤x≤16)$.
(2)由题意,得 $w=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x^2+50x-400=-(x-25)^2+225$.
$\because -1＜0$,
$\therefore$ 当 $x＜25$ 时,$w$ 随 $x$ 的增大而增大.
$\because 10≤x≤16$,
$\therefore$ 当 $x=16$ 时,$w$ 取得最大值,最大值为 144.
$\therefore$ 当每件售价为 16 元时,每天的销售利润最大,最大利润是 144 元.
解析
【分析】
(1) 观察图象可知y与x满足一次函数关系，因此选用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，将图象上的两个已知点$(10,30)$和$(16,24)$代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出系数后，再结合题中“售价不低于进价、不高于16元/件”的要求，确定自变量x的取值范围即可。
(2) 根据“总利润=单件利润×销售量”的等量关系列函数式：单件利润为$(x-10)$元，销售量为第一问求出的y，代入即可得到w关于x的二次函数解析式。求最值时先将二次函数整理为顶点式，判断开口方向和增减性，再结合x的取值范围，在范围内找到使w最大的x值，代入计算得到最大利润，注意本题二次函数的顶点横坐标不在x的取值范围内，不能直接取顶点处的最值。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为 $y=kx+b$ $(k≠0)$，
将 $(10,30)$、$(16,24)$ 分别代入 $y=kx+b$，
得 $\begin{cases}10k+b=30\\16k+b=24\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k=-1\\b=40\end{cases}$。
结合题意售价范围为$10≤x≤16$，故$y$关于$x$的函数解析式为 $y=-x+40(10≤x≤16)$。
(2) 由题意得：
$w=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x^2+50x-400$，
整理为顶点式：$w=-(x-25)^2+225$，
$\because -1＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$ 当 $x＜25$ 时，$w$ 随 $x$ 的增大而增大，
又$\because 10≤x≤16$，该范围在对称轴$x=25$左侧，
$\therefore$ 当 $x=16$ 时，$w$ 取得最大值，最大值为$-(16-25)^2+225=144$。
【答案】
(1) $y=-x+40(10≤x≤16)$
(2) $w=-x^2+50x-400(10≤x≤16)$；当每件售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的性质
【点评】
本题是函数实际应用的常考题型，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，牢记销售问题的等量关系，求解二次函数最值时要注意结合自变量的取值范围判断，不能直接套用顶点坐标，避免出错。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图象可知y与x满足一次函数关系，因此选用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，将图象上的两个已知点$(10,30)$和$(16,24)$代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出系数后，再结合题中“售价不低于进价、不高于16元/件”的要求，确定自变量x的取值范围即可。
(2) 根据“总利润=单件利润×销售量”的等量关系列函数式：单件利润为$(x-10)$元，销售量为第一问求出的y，代入即可得到w关于x的二次函数解析式。求最值时先将二次函数整理为顶点式，判断开口方向和增减性，再结合x的取值范围，在范围内找到使w最大的x值，代入计算得到最大利润，注意本题二次函数的顶点横坐标不在x的取值范围内，不能直接取顶点处的最值。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为 $y=kx+b$ $(k≠0)$，
将 $(10,30)$、$(16,24)$ 分别代入 $y=kx+b$，
得 $\begin{cases}10k+b=30\\16k+b=24\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k=-1\\b=40\end{cases}$。
结合题意售价范围为$10≤x≤16$，故$y$关于$x$的函数解析式为 $y=-x+40(10≤x≤16)$。
(2) 由题意得：
$w=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x^2+50x-400$，
整理为顶点式：$w=-(x-25)^2+225$，
$\because -1＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$ 当 $x＜25$ 时，$w$ 随 $x$ 的增大而增大，
又$\because 10≤x≤16$，该范围在对称轴$x=25$左侧，
$\therefore$ 当 $x=16$ 时，$w$ 取得最大值，最大值为$-(16-25)^2+225=144$。
【答案】
(1) $y=-x+40(10≤x≤16)$
(2) $w=-x^2+50x-400(10≤x≤16)$；当每件售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的性质
【点评】
本题是函数实际应用的常考题型，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，牢记销售问题的等量关系，求解二次函数最值时要注意结合自变量的取值范围判断，不能直接套用顶点坐标，避免出错。
【难度系数】
0.7
10.某课外兴趣小组开展了以“销售中的数学”为主题的综合实践活动.
【收集信息】
信息一:某店销售一款冬季手套,每双进价为20元,销售期为30天.
信息二:每双手套当天的售价$y$(单位:元)与第$x$天($1≤x≤30$,且$x$为整数)的关系为
$y=\begin{cases}x+29&(1≤x≤10,且x为整数), \\40&(11≤x≤30,且x为整数).\end{cases}$
信息三:当天销量$m$(单位:双)与第$x$天之间满足一次函数关系,部分数据如下表:
【建立模型】
(1)求$m$关于$x$的函数解析式.
(2)设当天的利润为$w$(单位:元).
①当$1≤x≤10$时,$w$关于$x$的函数解析式为
②当$11≤x≤30$时,$w$关于$x$的函数解析式为
【应用模型】
(3)销售这款手套第几天时,当天的利润最大?最大利润是多少元?
【收集信息】
信息一:某店销售一款冬季手套,每双进价为20元,销售期为30天.
信息二:每双手套当天的售价$y$(单位:元)与第$x$天($1≤x≤30$,且$x$为整数)的关系为
$y=\begin{cases}x+29&(1≤x≤10,且x为整数), \\40&(11≤x≤30,且x为整数).\end{cases}$
信息三:当天销量$m$(单位:双)与第$x$天之间满足一次函数关系,部分数据如下表:
【建立模型】
(1)求$m$关于$x$的函数解析式.
(2)设当天的利润为$w$(单位:元).
①当$1≤x≤10$时,$w$关于$x$的函数解析式为
$w=-2x^2+44x+558$
;②当$11≤x≤30$时,$w$关于$x$的函数解析式为
$w=-40x+1240$
.【应用模型】
(3)销售这款手套第几天时,当天的利润最大?最大利润是多少元?
答案
10.【解】(1)设 $m$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $m=kx+b$ $(k≠0)$.
将 $x=1$,$m=60$ 和 $x=2$,$m=58$ 分别代入 $m=kx+b$,得 $\begin{cases}k+b=60,\\2k+b=58.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2,\\b=62.\end{cases}$
$\therefore m$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $m=-2x+62$ ($1≤x≤30$,且 $x$ 为整数).
(2)①$w=-2x^2+44x+558$
②$w=-40x+1240$
(3)当 $1≤x≤10$ 时,
$w=-2x^2+44x+558=-2(x-11)^2+800$.
当 $x＜11$ 时,$w$ 随 $x$ 的增大而增大,
故当 $x=10$ 时,$w$ 取最大值,最大值为 $-2×(10-11)^2+800=798$.
当 $11≤x≤30$ 时,$w=-40x+1240$,
$w$ 随 $x$ 的增大而减小.
故当 $x=11$ 时,$w$ 取最大值,最大值为 $-40×11+1240=800$.
$\because 798＜800$,
$\therefore$ 销售这款手套第 11 天时,当天的利润最大,最大利润是 800 元.
将 $x=1$,$m=60$ 和 $x=2$,$m=58$ 分别代入 $m=kx+b$,得 $\begin{cases}k+b=60,\\2k+b=58.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2,\\b=62.\end{cases}$
$\therefore m$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $m=-2x+62$ ($1≤x≤30$,且 $x$ 为整数).
(2)①$w=-2x^2+44x+558$
②$w=-40x+1240$
(3)当 $1≤x≤10$ 时,
$w=-2x^2+44x+558=-2(x-11)^2+800$.
当 $x＜11$ 时,$w$ 随 $x$ 的增大而增大,
故当 $x=10$ 时,$w$ 取最大值,最大值为 $-2×(10-11)^2+800=798$.
当 $11≤x≤30$ 时,$w=-40x+1240$,
$w$ 随 $x$ 的增大而减小.
故当 $x=11$ 时,$w$ 取最大值,最大值为 $-40×11+1240=800$.
$\because 798＜800$,
$\therefore$ 销售这款手套第 11 天时,当天的利润最大,最大利润是 800 元.
解析
【分析】
（1）已知销量m与x为一次函数关系，采用待定系数法，选取表格中两组x、m的对应值代入一次函数一般式，解方程组求出系数即可得到m的解析式。
（2）利润计算公式为：当天利润=每双手套的利润×当天销量，其中每双利润=当天售价-进价20元，分两个区间计算：①1≤x≤10时，售价为x+29，先计算单双利润，再乘销量m，展开化简即可得到对应解析式；②11≤x≤30时，售价为固定值40，同理计算即可得到对应解析式。
（3）分别求解两个区间内w的最大值：1≤x≤10时w是二次函数，根据开口方向和对称轴，结合x的取值范围判断增减性求最值；11≤x≤30时w是一次函数，根据斜率判断增减性求最值，最后比较两个区间的最大值即可得到最终结果。
【解析】
(1) 设$m$关于$x$的函数解析式为$m=kx+b$ $(k≠0)$。
将$x=1$，$m=60$和$x=2$，$m=58$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}k+b=60\\2k+b=58\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=62\end{cases}$
$\therefore m$关于$x$的函数解析式为$m=-2x+62$（$1≤x≤30$，且$x$为整数）。
(2) ①当$1≤x≤10$时，每双手套的利润为$y-20=(x+29)-20=x+9$，
则$w=(x+9)(-2x+62)=-2x^2+44x+558$。
②当$11≤x≤30$时，每双手套的利润为$40-20=20$，
则$w=20×(-2x+62)=-40x+1240$。
(3) 当$1≤x≤10$时，$w=-2x^2+44x+558=-2(x-11)^2+800$，
$\because -2＜0$，函数开口向下，对称轴为直线$x=11$，
$\therefore$在$1≤x≤10$范围内，$w$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=10$时，$w$取得最大值，最大值为$-2×(10-11)^2+800=798$元。
当$11≤x≤30$时，$w=-40x+1240$，
$\because -40＜0$，
$\therefore w$随$x$的增大而减小，
$\therefore$当$x=11$时，$w$取得最大值，最大值为$-40×11+1240=800$元。
$\because 798＜800$，
$\therefore$销售这款手套第11天时，当天的利润最大。
【答案】
(1) $m=-2x+62$（$1≤x≤30$，且$x$为整数）
(2) ①$w=-2x^2+44x+558$；②$w=-40x+1240$
(3) 第11天时当天利润最大，最大利润是800元。
【知识点】
一次函数的应用，二次函数的最值，销售利润计算
【点评】
本题结合实际销售场景考查分段函数的应用，解题核心是掌握利润的计算逻辑，求解最值时要注意结合自变量的取值范围判断，不能直接取二次函数顶点值，需要仔细核对取值区间内的增减性。
【难度系数】
0.7
（1）已知销量m与x为一次函数关系，采用待定系数法，选取表格中两组x、m的对应值代入一次函数一般式，解方程组求出系数即可得到m的解析式。
（2）利润计算公式为：当天利润=每双手套的利润×当天销量，其中每双利润=当天售价-进价20元，分两个区间计算：①1≤x≤10时，售价为x+29，先计算单双利润，再乘销量m，展开化简即可得到对应解析式；②11≤x≤30时，售价为固定值40，同理计算即可得到对应解析式。
（3）分别求解两个区间内w的最大值：1≤x≤10时w是二次函数，根据开口方向和对称轴，结合x的取值范围判断增减性求最值；11≤x≤30时w是一次函数，根据斜率判断增减性求最值，最后比较两个区间的最大值即可得到最终结果。
【解析】
(1) 设$m$关于$x$的函数解析式为$m=kx+b$ $(k≠0)$。
将$x=1$，$m=60$和$x=2$，$m=58$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}k+b=60\\2k+b=58\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=62\end{cases}$
$\therefore m$关于$x$的函数解析式为$m=-2x+62$（$1≤x≤30$，且$x$为整数）。
(2) ①当$1≤x≤10$时，每双手套的利润为$y-20=(x+29)-20=x+9$，
则$w=(x+9)(-2x+62)=-2x^2+44x+558$。
②当$11≤x≤30$时，每双手套的利润为$40-20=20$，
则$w=20×(-2x+62)=-40x+1240$。
(3) 当$1≤x≤10$时，$w=-2x^2+44x+558=-2(x-11)^2+800$，
$\because -2＜0$，函数开口向下，对称轴为直线$x=11$，
$\therefore$在$1≤x≤10$范围内，$w$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=10$时，$w$取得最大值，最大值为$-2×(10-11)^2+800=798$元。
当$11≤x≤30$时，$w=-40x+1240$，
$\because -40＜0$，
$\therefore w$随$x$的增大而减小，
$\therefore$当$x=11$时，$w$取得最大值，最大值为$-40×11+1240=800$元。
$\because 798＜800$，
$\therefore$销售这款手套第11天时，当天的利润最大。
【答案】
(1) $m=-2x+62$（$1≤x≤30$，且$x$为整数）
(2) ①$w=-2x^2+44x+558$；②$w=-40x+1240$
(3) 第11天时当天利润最大，最大利润是800元。
【知识点】
一次函数的应用，二次函数的最值，销售利润计算
【点评】
本题结合实际销售场景考查分段函数的应用，解题核心是掌握利润的计算逻辑，求解最值时要注意结合自变量的取值范围判断，不能直接取二次函数顶点值，需要仔细核对取值区间内的增减性。
【难度系数】
0.7
