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6.某商店购进一批进价为每个50元的日用商品，售价为每个60元时，每星期能卖出120个.若这种日用商品的零售单价不能低于60元，且每上涨1元，则每星期少卖3个.若该地相关部门规定，单个商品利润不能超过成本价的30％，则这种日用商品每星期获得的最大利润为
1575
元.答案
6.1575
解析
【分析】
解决本题首先要明确利润问题的核心等量关系：总利润=单个商品利润×销售数量。第一步先根据题干的两个限制条件（售价不低于60元、单个利润不超过成本的30%）确定售价的取值范围；第二步设售价为自变量，分别表示出单个利润和销售数量，再根据等量关系列出总利润关于售价的二次函数解析式；最后结合二次函数的增减性，在自变量的取值范围内求出最大利润即可，注意需判断二次函数顶点的横坐标是否在取值范围内，不能直接取顶点值作为最值。
【解析】
设该商品的售价为$x$元，每星期获得的总利润为$w$元。
1. 求售价的取值范围：
由单个商品利润不能超过成本价的30%，得：
$x - 50 ≤ 50 × 30\%$，解得$x ≤ 65$
又因为零售单价不能低于60元，所以$60 ≤ x ≤ 65$。
2. 表示销售数量：
售价每上涨1元，每星期少卖3个，因此销量为：
$120 - 3(x - 60) = 300 - 3x$
3. 列总利润函数并求最值：
总利润$w = (x - 50)(300 - 3x)$
整理得：$w = -3x^2 + 450x - 15000 = -3(x - 75)^2 + 1875$
因为二次项系数$-3 ＜ 0$，抛物线开口向下，在对称轴$x=75$左侧，$w$随$x$的增大而增大。
由于$60 ≤ x ≤ 65 ＜ 75$，因此当$x = 65$时，$w$取得最大值：
$w_{最大} = (65 - 50) × (300 - 3 × 65) = 15 × 105 = 1575$
【答案】
1575
【知识点】
二次函数的应用，利润问题计算，二次函数增减性
【点评】
本题属于实际应用类的最值问题，解题的易错点是忽略题目中对售价的限制条件，直接取二次函数顶点对应的利润作为最大值，解题时需先明确自变量的取值范围，再结合函数增减性判断最值对应的取值点。
【难度系数】
0.65
解决本题首先要明确利润问题的核心等量关系：总利润=单个商品利润×销售数量。第一步先根据题干的两个限制条件（售价不低于60元、单个利润不超过成本的30%）确定售价的取值范围；第二步设售价为自变量，分别表示出单个利润和销售数量，再根据等量关系列出总利润关于售价的二次函数解析式；最后结合二次函数的增减性，在自变量的取值范围内求出最大利润即可，注意需判断二次函数顶点的横坐标是否在取值范围内，不能直接取顶点值作为最值。
【解析】
设该商品的售价为$x$元，每星期获得的总利润为$w$元。
1. 求售价的取值范围：
由单个商品利润不能超过成本价的30%，得：
$x - 50 ≤ 50 × 30\%$，解得$x ≤ 65$
又因为零售单价不能低于60元，所以$60 ≤ x ≤ 65$。
2. 表示销售数量：
售价每上涨1元，每星期少卖3个，因此销量为：
$120 - 3(x - 60) = 300 - 3x$
3. 列总利润函数并求最值：
总利润$w = (x - 50)(300 - 3x)$
整理得：$w = -3x^2 + 450x - 15000 = -3(x - 75)^2 + 1875$
因为二次项系数$-3 ＜ 0$，抛物线开口向下，在对称轴$x=75$左侧，$w$随$x$的增大而增大。
由于$60 ≤ x ≤ 65 ＜ 75$，因此当$x = 65$时，$w$取得最大值：
$w_{最大} = (65 - 50) × (300 - 3 × 65) = 15 × 105 = 1575$
【答案】
1575
【知识点】
二次函数的应用，利润问题计算，二次函数增减性
【点评】
本题属于实际应用类的最值问题，解题的易错点是忽略题目中对售价的限制条件，直接取二次函数顶点对应的利润作为最大值，解题时需先明确自变量的取值范围，再结合函数增减性判断最值对应的取值点。
【难度系数】
0.65
7.某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y(单位:件)与销售单价x(单位:元)满足一次函数关系，销售这种文具每天的利润为w(单位:元)，部分数据如下表所示。
(1)直接写出y关于x、w关于x的函数解析式。
(2)若该超市销售这种文具每天的利润为192元，则销售单价为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
(1)直接写出y关于x、w关于x的函数解析式。
(2)若该超市销售这种文具每天的利润为192元，则销售单价为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
答案
7.【解】(1)$y=-2x+60(10≤x≤19)$,
$w=-2x^2+80x-600(10≤x≤19)$.
(2)根据题意,列得方程 $-2x^2+80x-600=192$.
解得 $x_1=18$,$x_2=22$.
$\because$ 该文具的销售单价不低于进价且不高于 19 元,
$\therefore x=18$.
故这种文具的销售单价为 18 元.
(3)$\because w=-2x^2+80x-600$,
即 $w=-2(x-20)^2+200$.
$\therefore$ 当 $x＜20$ 时,$w$ 随 $x$ 的增大而增大.
$\because 10≤x≤19$,
$\therefore$ 当 $x=19$ 时,$w$ 取最大值,最大值为 $-2×(19-20)^2+200=198$.
故当销售单价为 19 元时,每天的利润最大,最大利润是 198 元.
$w=-2x^2+80x-600(10≤x≤19)$.
(2)根据题意,列得方程 $-2x^2+80x-600=192$.
解得 $x_1=18$,$x_2=22$.
$\because$ 该文具的销售单价不低于进价且不高于 19 元,
$\therefore x=18$.
故这种文具的销售单价为 18 元.
(3)$\because w=-2x^2+80x-600$,
即 $w=-2(x-20)^2+200$.
$\therefore$ 当 $x＜20$ 时,$w$ 随 $x$ 的增大而增大.
$\because 10≤x≤19$,
$\therefore$ 当 $x=19$ 时,$w$ 取最大值,最大值为 $-2×(19-20)^2+200=198$.
故当销售单价为 19 元时,每天的利润最大,最大利润是 198 元.
解析
【分析】
(1) 已知y与x满足一次函数关系，先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，选取表格中两组对应值代入即可求出k、b，再结合销售单价的限制确定x的取值范围，就能得到y关于x的解析式；利润=单件利润×销售数量，单件利润为$(x-10)$元，代入y的解析式整理即可得到w关于x的函数解析式。
(2) 令w=192，代入w的解析式得到一元二次方程，求解后结合x的取值范围筛选出符合条件的解即可。
(3) 先将w的二次函数解析式配方为顶点式，结合二次函数的开口方向、增减性，以及x的取值范围，即可求出w的最大值和对应的销售单价。
【解析】
(1) 设$y=kx+b(k≠0)$，将$\begin{cases}x=12,y=36 \\x=13,y=34 \end{cases}$代入得：
$\begin{cases}12k+b=36 \\13k+b=34 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2 \\b=60 \end{cases}$
结合销售单价的范围$10≤x≤19$，得$y=-2x+60(10≤x≤19)$。
由“总利润=单件利润×销售量”可得：
$w=(x-10)y=(x-10)(-2x+60)=-2x^2+80x-600(10≤x≤19)$。
(2) 根据题意列方程：$-2x^2+80x-600=192$
整理求解得$x_1=18$，$x_2=22$。
∵ 销售单价不低于10元且不高于19元，$22＞19$不符合要求，舍去，
∴$x=18$。
(3) 将w的解析式配方：
$w=-2x^2+80x-600=-2(x-20)^2+200$
∵ $-2＜0$，抛物线开口向下，当$x＜20$时，w随x的增大而增大。
又
∵ $10≤x≤19$，
∴ 当$x=19$时，w取得最大值，最大值为：
$w=-2×(19-20)^2+200=198$。
【答案】
(1)$y=-2x+60(10≤x≤19)$，$w=-2x^2+80x-600(10≤x≤19)$；
(2)18元；
(3)当销售单价为19元时，每天的利润最大，最大利润是198元。
【知识点】
一次函数解析式确定，二次函数实际应用，一元二次方程应用
【点评】
本题是典型的销售利润类应用题，综合考查了一次函数、一元二次方程和二次函数的相关知识，解题的关键是结合自变量的实际取值范围分析问题，求最值时需结合函数增减性判断，避免忽略取值范围直接取顶点横坐标导致错误。
【难度系数】
0.7
(1) 已知y与x满足一次函数关系，先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，选取表格中两组对应值代入即可求出k、b，再结合销售单价的限制确定x的取值范围，就能得到y关于x的解析式；利润=单件利润×销售数量，单件利润为$(x-10)$元，代入y的解析式整理即可得到w关于x的函数解析式。
(2) 令w=192，代入w的解析式得到一元二次方程，求解后结合x的取值范围筛选出符合条件的解即可。
(3) 先将w的二次函数解析式配方为顶点式，结合二次函数的开口方向、增减性，以及x的取值范围，即可求出w的最大值和对应的销售单价。
【解析】
(1) 设$y=kx+b(k≠0)$，将$\begin{cases}x=12,y=36 \\x=13,y=34 \end{cases}$代入得：
$\begin{cases}12k+b=36 \\13k+b=34 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2 \\b=60 \end{cases}$
结合销售单价的范围$10≤x≤19$，得$y=-2x+60(10≤x≤19)$。
由“总利润=单件利润×销售量”可得：
$w=(x-10)y=(x-10)(-2x+60)=-2x^2+80x-600(10≤x≤19)$。
(2) 根据题意列方程：$-2x^2+80x-600=192$
整理求解得$x_1=18$，$x_2=22$。
∵ 销售单价不低于10元且不高于19元，$22＞19$不符合要求，舍去，
∴$x=18$。
(3) 将w的解析式配方：
$w=-2x^2+80x-600=-2(x-20)^2+200$
∵ $-2＜0$，抛物线开口向下，当$x＜20$时，w随x的增大而增大。
又
∵ $10≤x≤19$，
∴ 当$x=19$时，w取得最大值，最大值为：
$w=-2×(19-20)^2+200=198$。
【答案】
(1)$y=-2x+60(10≤x≤19)$，$w=-2x^2+80x-600(10≤x≤19)$；
(2)18元；
(3)当销售单价为19元时，每天的利润最大，最大利润是198元。
【知识点】
一次函数解析式确定，二次函数实际应用，一元二次方程应用
【点评】
本题是典型的销售利润类应用题，综合考查了一次函数、一元二次方程和二次函数的相关知识，解题的关键是结合自变量的实际取值范围分析问题，求最值时需结合函数增减性判断，避免忽略取值范围直接取顶点横坐标导致错误。
【难度系数】
0.7
8.某地计划利用一块矩形空地修建一个小型停车场,布局如图所示.已知$AB=41\ \mathrm{m}$,$AD=30\ \mathrm{m}$,阴影部分为车位区域,其余部分均是宽度为$x\ \mathrm{m}$的车道.已知车位区域的面积为$630\ \mathrm{m}^2$.
(1)求车道的宽度.
(2)该停车场共有36个车位,据市场调查分析,当每个车位日租金为10元时,可全部停满;每个车位的日租金每上涨1元,就会少租出2个车位.当每个车位日租金上涨多少元时,停车场的日租金收入最高?最高日租金收入是多少元?
(1)求车道的宽度.
(2)该停车场共有36个车位,据市场调查分析,当每个车位日租金为10元时,可全部停满;每个车位的日租金每上涨1元,就会少租出2个车位.当每个车位日租金上涨多少元时,停车场的日租金收入最高?最高日租金收入是多少元?
答案
8.【解】(1)根据题意,列得方程 $(41-x)(30-2x)=630$.
解得 $x_1=6$,$x_2=50$(不合题意,舍去).
故车道的宽度为 6 m.
(2)设每个车位日租金上涨 $a$ 元,停车场日租金收入为 $y$ 元,则每个车位的日租金为 $(10+a)$ 元,租出车位 $(36-2a)$ 个.
根据题意,得 $y=(10+a)(36-2a)$.
即 $y=-2a^2+16a+360=-2(a-4)^2+392$.
$\therefore$ 当 $a=4$ 时,$y$ 取最大值,最大值为 392.
故每个车位日租金上涨 4 元时,停车场的日租金收入最高,最高日租金收入为 392 元.
解得 $x_1=6$,$x_2=50$(不合题意,舍去).
故车道的宽度为 6 m.
(2)设每个车位日租金上涨 $a$ 元,停车场日租金收入为 $y$ 元,则每个车位的日租金为 $(10+a)$ 元,租出车位 $(36-2a)$ 个.
根据题意,得 $y=(10+a)(36-2a)$.
即 $y=-2a^2+16a+360=-2(a-4)^2+392$.
$\therefore$ 当 $a=4$ 时,$y$ 取最大值,最大值为 392.
故每个车位日租金上涨 4 元时,停车场的日租金收入最高,最高日租金收入为 392 元.
解析
【分析】
(1) 本题第一问是一元二次方程的实际应用，解题时可通过平移将分散的阴影车位区域拼接为一个完整的矩形：观察图形可知拼接后阴影矩形的长为$(41-x)\mathrm{m}$，宽为$(30-2x)\mathrm{m}$，结合已知的车位区域面积即可列出方程求解，最后要结合实际意义舍去不符合要求的根。
(2) 第二问是二次函数的最值应用问题，先设日租金上涨金额为自变量，日租金总收入为因变量，根据“日租金总收入=单个车位日租金×租出车位数量”的等量关系列出函数表达式，再将二次函数化为顶点式，结合开口方向即可求出最大值对应的自变量取值和最大收入。
【解析】
(1) 根据题意列方程：
$\quad(41-x)(30-2x)=630$
展开整理得$x^2-56x+300=0$，因式分解得$(x-6)(x-50)=0$
解得$x_1=6$，$x_2=50$
由于空地$AD$边长仅为$30\ \mathrm{m}$，$x=50$不符合实际意义，故舍去。
(2) 设每个车位日租金上涨$a$元，停车场日租金收入为$y$元，此时单个车位日租金为$(10+a)$元，租出车位数量为$(36-2a)$个，根据题意得：
$\quad y=(10+a)(36-2a)$
整理配方得：
$\quad y=-2a^2+16a+360=-2(a-4)^2+392$
由于二次项系数$-2＜0$，函数图像开口向下，因此当$a=4$时，$y$取最大值，最大值为$392$。
【答案】
(1) 车道的宽度为$\boldsymbol{6\ \mathrm{m}}$；
(2) 当每个车位日租金上涨$\boldsymbol{4}$元时，停车场的日租金收入最高，最高日租金收入为$\boldsymbol{392}$元。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数应用；二次函数最值
【点评】
本题结合生活实际场景考查方程与函数的应用，解题核心是准确梳理题目中的等量关系，正确列出方程和函数表达式，同时要注意结合实际场景验证解的合理性。
【难度系数】
0.7
(1) 本题第一问是一元二次方程的实际应用，解题时可通过平移将分散的阴影车位区域拼接为一个完整的矩形：观察图形可知拼接后阴影矩形的长为$(41-x)\mathrm{m}$，宽为$(30-2x)\mathrm{m}$，结合已知的车位区域面积即可列出方程求解，最后要结合实际意义舍去不符合要求的根。
(2) 第二问是二次函数的最值应用问题，先设日租金上涨金额为自变量，日租金总收入为因变量，根据“日租金总收入=单个车位日租金×租出车位数量”的等量关系列出函数表达式，再将二次函数化为顶点式，结合开口方向即可求出最大值对应的自变量取值和最大收入。
【解析】
(1) 根据题意列方程：
$\quad(41-x)(30-2x)=630$
展开整理得$x^2-56x+300=0$，因式分解得$(x-6)(x-50)=0$
解得$x_1=6$，$x_2=50$
由于空地$AD$边长仅为$30\ \mathrm{m}$，$x=50$不符合实际意义，故舍去。
(2) 设每个车位日租金上涨$a$元，停车场日租金收入为$y$元，此时单个车位日租金为$(10+a)$元，租出车位数量为$(36-2a)$个，根据题意得：
$\quad y=(10+a)(36-2a)$
整理配方得：
$\quad y=-2a^2+16a+360=-2(a-4)^2+392$
由于二次项系数$-2＜0$，函数图像开口向下，因此当$a=4$时，$y$取最大值，最大值为$392$。
【答案】
(1) 车道的宽度为$\boldsymbol{6\ \mathrm{m}}$；
(2) 当每个车位日租金上涨$\boldsymbol{4}$元时，停车场的日租金收入最高，最高日租金收入为$\boldsymbol{392}$元。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数应用；二次函数最值
【点评】
本题结合生活实际场景考查方程与函数的应用，解题核心是准确梳理题目中的等量关系，正确列出方程和函数表达式，同时要注意结合实际场景验证解的合理性。
【难度系数】
0.7
