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基础知识·预习
问题1 对于抛物线形问题，你认为如何建立平面直角坐标系求解析式较为简单？
问题2 你能根据不同的已知条件设合适的二次函数解析式吗？请举例说明。
问题1 对于抛物线形问题，你认为如何建立平面直角坐标系求解析式较为简单？
问题2 你能根据不同的已知条件设合适的二次函数解析式吗？请举例说明。
答案
解：
问题1：建立平面直角坐标系时，优先将抛物线的顶点放在坐标轴上，或将抛物线的对称轴设为y轴，将抛物线的底边所在直线设为x轴，尽可能把已知的特殊点（如顶点、抛物线与边界的交点）落在坐标轴上，这样可以减少解析式中待求参数的个数，大幅简化计算过程。
问题2：可以根据不同已知条件选择对应的二次函数解析式形式，举例如下：
① 若已知抛物线上任意三个点的坐标，设一般式$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$：例如已知抛物线过点$(0,1)$、$(1,3)$、$(2,7)$，将三个点坐标代入一般式得到三元一次方程组，即可求解出a、b、c的值得到解析式。
② 若已知抛物线的顶点坐标为$(h,k)$（或已知对称轴、函数最值），设顶点式$y=a(x-h)^2+k\ (a≠0)$：例如已知抛物线顶点为$(2,4)$，且过点$(0,0)$，将点$(0,0)$代入顶点式即可直接求出参数a，得到函数解析式。
③ 若已知抛物线与x轴的两个交点坐标为$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，设交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)\ (a≠0)$：例如已知抛物线与x轴交于$(-1,0)$和$(3,0)$，且过点$(0,3)$，将点$(0,3)$代入交点式即可快速求出a的值，得到函数解析式。
问题1：建立平面直角坐标系时，优先将抛物线的顶点放在坐标轴上，或将抛物线的对称轴设为y轴，将抛物线的底边所在直线设为x轴，尽可能把已知的特殊点（如顶点、抛物线与边界的交点）落在坐标轴上，这样可以减少解析式中待求参数的个数，大幅简化计算过程。
问题2：可以根据不同已知条件选择对应的二次函数解析式形式，举例如下：
① 若已知抛物线上任意三个点的坐标，设一般式$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$：例如已知抛物线过点$(0,1)$、$(1,3)$、$(2,7)$，将三个点坐标代入一般式得到三元一次方程组，即可求解出a、b、c的值得到解析式。
② 若已知抛物线的顶点坐标为$(h,k)$（或已知对称轴、函数最值），设顶点式$y=a(x-h)^2+k\ (a≠0)$：例如已知抛物线顶点为$(2,4)$，且过点$(0,0)$，将点$(0,0)$代入顶点式即可直接求出参数a，得到函数解析式。
③ 若已知抛物线与x轴的两个交点坐标为$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，设交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)\ (a≠0)$：例如已知抛物线与x轴交于$(-1,0)$和$(3,0)$，且过点$(0,3)$，将点$(0,3)$代入交点式即可快速求出a的值，得到函数解析式。
解析
【分析】
这两个问题是解决抛物线类实际问题的基础。思考问题1时，核心目标是简化后续计算，建系时要尽可能让抛物线的特殊点（顶点、与边界的交点等）落在坐标轴上，这类点的坐标会出现较多0，能减少解析式中待求参数的数量。思考问题2时，需对应二次函数的三种常见表达形式，根据已知条件选择最适配的解析式类型，减少计算量，举例时只要符合对应解析式的适用场景即可。
【解析】
问题1解答：
建立平面直角坐标系时，优先将抛物线的顶点放在坐标轴上，或将抛物线的对称轴设为y轴，将抛物线的底边所在直线设为x轴，尽可能把已知的特殊点（如顶点、抛物线与边界的交点）落在坐标轴上，这样可以减少解析式中待求参数的个数，大幅简化计算过程。
问题2解答：
可以根据不同已知条件选择对应的二次函数解析式形式，举例如下：
① 若已知抛物线上任意三个点的坐标，设一般式$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$：例如已知抛物线过点$(0,1)$、$(1,3)$、$(2,7)$，将三个点坐标代入一般式得到三元一次方程组，即可求解出a、b、c的值得到解析式。
② 若已知抛物线的顶点坐标为$(h,k)$（或已知对称轴、函数最值），设顶点式$y=a(x-h)^2+k\ (a≠0)$：例如已知抛物线顶点为$(2,4)$，且过点$(0,0)$，将点$(0,0)$代入顶点式即可直接求出参数a，得到函数解析式。
③ 若已知抛物线与x轴的两个交点坐标为$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，设交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)\ (a≠0)$：例如已知抛物线与x轴交于$(-1,0)$和$(3,0)$，且过点$(0,3)$，将点$(0,3)$代入交点式即可快速求出a的值，得到函数解析式。
【答案】
问题1：建立平面直角坐标系时，优先将抛物线的顶点放在坐标轴上，或将抛物线的对称轴设为y轴，将抛物线的底边所在直线设为x轴，尽可能把已知的特殊点（如顶点、抛物线与边界的交点）落在坐标轴上，这样可以减少解析式中待求参数的个数，大幅简化计算过程。
问题2：可以根据不同已知条件选择对应的二次函数解析式形式，举例如下：
① 若已知抛物线上任意三个点的坐标，设一般式$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$：例如已知抛物线过点$(0,1)$、$(1,3)$、$(2,7)$，将三个点坐标代入一般式得到三元一次方程组，即可求解出a、b、c的值得到解析式。
② 若已知抛物线的顶点坐标为$(h,k)$（或已知对称轴、函数最值），设顶点式$y=a(x-h)^2+k\ (a≠0)$：例如已知抛物线顶点为$(2,4)$，且过点$(0,0)$，将点$(0,0)$代入顶点式即可直接求出参数a，得到函数解析式。
③ 若已知抛物线与x轴的两个交点坐标为$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，设交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)\ (a≠0)$：例如已知抛物线与x轴交于$(-1,0)$和$(3,0)$，且过点$(0,3)$，将点$(0,3)$代入交点式即可快速求出a的值，得到函数解析式。
【知识点】
1. 坐标系的合理建立
2. 二次函数解析式的设定
3. 二次函数实际应用
【点评】
本题是抛物线实际应用的基础问题，掌握合理建系的方法、根据已知条件灵活选择二次函数的解析式形式，能够大幅简化抛物线类问题的计算过程，是解决生活中抛物线相关实际问题的核心前提。
【难度系数】
0.8
这两个问题是解决抛物线类实际问题的基础。思考问题1时，核心目标是简化后续计算，建系时要尽可能让抛物线的特殊点（顶点、与边界的交点等）落在坐标轴上，这类点的坐标会出现较多0，能减少解析式中待求参数的数量。思考问题2时，需对应二次函数的三种常见表达形式，根据已知条件选择最适配的解析式类型，减少计算量，举例时只要符合对应解析式的适用场景即可。
【解析】
问题1解答：
建立平面直角坐标系时，优先将抛物线的顶点放在坐标轴上，或将抛物线的对称轴设为y轴，将抛物线的底边所在直线设为x轴，尽可能把已知的特殊点（如顶点、抛物线与边界的交点）落在坐标轴上，这样可以减少解析式中待求参数的个数，大幅简化计算过程。
问题2解答：
可以根据不同已知条件选择对应的二次函数解析式形式，举例如下：
① 若已知抛物线上任意三个点的坐标，设一般式$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$：例如已知抛物线过点$(0,1)$、$(1,3)$、$(2,7)$，将三个点坐标代入一般式得到三元一次方程组，即可求解出a、b、c的值得到解析式。
② 若已知抛物线的顶点坐标为$(h,k)$（或已知对称轴、函数最值），设顶点式$y=a(x-h)^2+k\ (a≠0)$：例如已知抛物线顶点为$(2,4)$，且过点$(0,0)$，将点$(0,0)$代入顶点式即可直接求出参数a，得到函数解析式。
③ 若已知抛物线与x轴的两个交点坐标为$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，设交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)\ (a≠0)$：例如已知抛物线与x轴交于$(-1,0)$和$(3,0)$，且过点$(0,3)$，将点$(0,3)$代入交点式即可快速求出a的值，得到函数解析式。
【答案】
问题1：建立平面直角坐标系时，优先将抛物线的顶点放在坐标轴上，或将抛物线的对称轴设为y轴，将抛物线的底边所在直线设为x轴，尽可能把已知的特殊点（如顶点、抛物线与边界的交点）落在坐标轴上，这样可以减少解析式中待求参数的个数，大幅简化计算过程。
问题2：可以根据不同已知条件选择对应的二次函数解析式形式，举例如下：
① 若已知抛物线上任意三个点的坐标，设一般式$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$：例如已知抛物线过点$(0,1)$、$(1,3)$、$(2,7)$，将三个点坐标代入一般式得到三元一次方程组，即可求解出a、b、c的值得到解析式。
② 若已知抛物线的顶点坐标为$(h,k)$（或已知对称轴、函数最值），设顶点式$y=a(x-h)^2+k\ (a≠0)$：例如已知抛物线顶点为$(2,4)$，且过点$(0,0)$，将点$(0,0)$代入顶点式即可直接求出参数a，得到函数解析式。
③ 若已知抛物线与x轴的两个交点坐标为$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，设交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)\ (a≠0)$：例如已知抛物线与x轴交于$(-1,0)$和$(3,0)$，且过点$(0,3)$，将点$(0,3)$代入交点式即可快速求出a的值，得到函数解析式。
【知识点】
1. 坐标系的合理建立
2. 二次函数解析式的设定
3. 二次函数实际应用
【点评】
本题是抛物线实际应用的基础问题，掌握合理建系的方法、根据已知条件灵活选择二次函数的解析式形式，能够大幅简化抛物线类问题的计算过程，是解决生活中抛物线相关实际问题的核心前提。
【难度系数】
0.8
【典型例题1】某抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m.若水面下降2 m，则水面宽度增加
【解析】如图，建立平面直角坐标系.
设这条抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$.
由抛物线经过点$(2,-2)$，可得$-2=a×2^2$.解得$a=-\frac{1}{2}$.
因此，这条抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$.
当水面下降2 m时，水面的纵坐标为-4.
把$y=-4$代入$y=-\frac{1}{2}x^2$，得$-4=-\frac{1}{2}x^2$.
解得$x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$.
此时水面宽$2\sqrt{2}-(-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}$(m).
所以水面宽度增加了$(4\sqrt{2}-4)$m.
【答案】$(4\sqrt{2}-4)$
$(4\sqrt{2}-4)$
m.【解析】如图，建立平面直角坐标系.
设这条抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$.
由抛物线经过点$(2,-2)$，可得$-2=a×2^2$.解得$a=-\frac{1}{2}$.
因此，这条抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$.
当水面下降2 m时，水面的纵坐标为-4.
把$y=-4$代入$y=-\frac{1}{2}x^2$，得$-4=-\frac{1}{2}x^2$.
解得$x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$.
此时水面宽$2\sqrt{2}-(-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}$(m).
所以水面宽度增加了$(4\sqrt{2}-4)$m.
【答案】$(4\sqrt{2}-4)$
答案
水面宽度增加了$(4\sqrt{2}-4)$m.
解析
【分析】
要解决抛物线形的实际应用问题，首先要建立合适的平面直角坐标系，将实际几何条件转化为二次函数的代数条件。本题可将拱顶设为坐标原点、抛物线对称轴为y轴建立坐标系，此时抛物线顶点在原点，解析式可设为最简形式$y=ax^2(a≠0)$。接下来利用已知的“拱顶离水面2m时水面宽4m”的条件，找到抛物线上的已知点代入解析式求出参数$a$，确定函数解析式。再根据水面下降2m的条件得到对应水面的纵坐标，代入解析式求出对应的横坐标，计算出下降后的水面宽度，最后减去原水面宽度即可得到增量。
【解析】
解：以拱顶为原点，过原点的水平线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。
设这条抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意可知，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，因此抛物线经过点$(2,-2)$，将点代入解析式得：
$-2=a×2^2$
解得$a=-\frac{1}{2}$
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$
当水面下降2m时，水面的纵坐标为$y=-2-2=-4$，将$y=-4$代入解析式得：
$-4=-\frac{1}{2}x^2$
解得$x_1=2\sqrt{2}，x_2=-2\sqrt{2}$
此时水面宽度为$2\sqrt{2}-(-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
已知原水面宽度为4m，因此水面宽度增加了$4\sqrt{2}-4\ \mathrm{m}$。
【答案】
$(4\sqrt{2}-4)$
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数解决实际拱桥问题的典型习题，解题核心是建立简便的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数的代数问题求解，计算时要注意所求为宽度的增量，而非下降后的总宽度，避免因审题不清出错。
【难度系数】
0.6
要解决抛物线形的实际应用问题，首先要建立合适的平面直角坐标系，将实际几何条件转化为二次函数的代数条件。本题可将拱顶设为坐标原点、抛物线对称轴为y轴建立坐标系，此时抛物线顶点在原点，解析式可设为最简形式$y=ax^2(a≠0)$。接下来利用已知的“拱顶离水面2m时水面宽4m”的条件，找到抛物线上的已知点代入解析式求出参数$a$，确定函数解析式。再根据水面下降2m的条件得到对应水面的纵坐标，代入解析式求出对应的横坐标，计算出下降后的水面宽度，最后减去原水面宽度即可得到增量。
【解析】
解：以拱顶为原点，过原点的水平线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。
设这条抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意可知，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，因此抛物线经过点$(2,-2)$，将点代入解析式得：
$-2=a×2^2$
解得$a=-\frac{1}{2}$
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$
当水面下降2m时，水面的纵坐标为$y=-2-2=-4$，将$y=-4$代入解析式得：
$-4=-\frac{1}{2}x^2$
解得$x_1=2\sqrt{2}，x_2=-2\sqrt{2}$
此时水面宽度为$2\sqrt{2}-(-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
已知原水面宽度为4m，因此水面宽度增加了$4\sqrt{2}-4\ \mathrm{m}$。
【答案】
$(4\sqrt{2}-4)$
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数解决实际拱桥问题的典型习题，解题核心是建立简便的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数的代数问题求解，计算时要注意所求为宽度的增量，而非下降后的总宽度，避免因审题不清出错。
【难度系数】
0.6
【即学即练】
1. 某蔬菜大棚的纵截面示意图如图所示，纵截面中的棚顶可以近似看作抛物线的一部分，其中点O是棚顶与地面的交点，AB是保温墙（点A在地面上），并且棚顶的最高点到点O的水平距离是6 m，到OA的距离是3 m. 现以点O为原点，OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
(1)求棚顶所在抛物线对应的函数解析式.
(2)若点O到保温墙AB的距离OA＝8 m，求保温墙AB的高度.
1. 某蔬菜大棚的纵截面示意图如图所示，纵截面中的棚顶可以近似看作抛物线的一部分，其中点O是棚顶与地面的交点，AB是保温墙（点A在地面上），并且棚顶的最高点到点O的水平距离是6 m，到OA的距离是3 m. 现以点O为原点，OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
(1)求棚顶所在抛物线对应的函数解析式.
(2)若点O到保温墙AB的距离OA＝8 m，求保温墙AB的高度.
答案
1.【解】(1)设棚顶所在抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-6)^2+3(a≠0)$.
把$x=0,y=0$代入$y=a(x-6)^2+3$,得$36a+3=0$. 解得$a=-\frac{1}{12}$.
∴棚顶所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+3$.
(2)把$x=8$代入$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+3$,得
$y=-\frac{1}{12}×(8-6)^2+3=\frac{8}{3}$.
故保温墙AB的高度为$\frac{8}{3}$ m.
把$x=0,y=0$代入$y=a(x-6)^2+3$,得$36a+3=0$. 解得$a=-\frac{1}{12}$.
∴棚顶所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+3$.
(2)把$x=8$代入$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+3$,得
$y=-\frac{1}{12}×(8-6)^2+3=\frac{8}{3}$.
故保温墙AB的高度为$\frac{8}{3}$ m.
解析
【分析】
（1）求解抛物线解析式时，已知抛物线最高点即顶点坐标为$(6,3)$，因此选择顶点式设解析式可简化计算，设解析式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，代入顶点坐标后仅剩余参数$a$未知，再结合抛物线过原点$O(0,0)$，将点代入即可求出$a$，得到完整解析式。
（2）$OA=8\ \mathrm{m}$说明保温墙$AB$对应的横坐标为$x=8$，$AB$的高度就是$x=8$时对应的函数值，将$x=8$代入第一问求出的解析式计算，即可得到$AB$的高度。
【解析】
(1) 由题意得抛物线的顶点坐标为$(6,3)$，设棚顶所在抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-6)^2+3\ (a≠0)$。
把$x=0,y=0$代入解析式，得：
$36a+3=0$
解得$a=-\frac{1}{12}$。
因此棚顶所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+3$。
(2) 已知$OA=8\ \mathrm{m}$，即点$B$的横坐标为$8$，将$x=8$代入$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+3$，得：
$y=-\frac{1}{12}×(8-6)^2+3=-\frac{1}{3}+3=\frac{8}{3}$
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+3$；(2) $\frac{8}{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数实际应用；二次函数求值
【点评】
本题是抛物线实际应用的基础题型，解题关键是从题干和图形中提取顶点、过定点等关键信息，选择合适的解析式形式简化计算，再结合实际场景的几何意义代入数值求解即可。
【难度系数】
0.8
（1）求解抛物线解析式时，已知抛物线最高点即顶点坐标为$(6,3)$，因此选择顶点式设解析式可简化计算，设解析式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，代入顶点坐标后仅剩余参数$a$未知，再结合抛物线过原点$O(0,0)$，将点代入即可求出$a$，得到完整解析式。
（2）$OA=8\ \mathrm{m}$说明保温墙$AB$对应的横坐标为$x=8$，$AB$的高度就是$x=8$时对应的函数值，将$x=8$代入第一问求出的解析式计算，即可得到$AB$的高度。
【解析】
(1) 由题意得抛物线的顶点坐标为$(6,3)$，设棚顶所在抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-6)^2+3\ (a≠0)$。
把$x=0,y=0$代入解析式，得：
$36a+3=0$
解得$a=-\frac{1}{12}$。
因此棚顶所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+3$。
(2) 已知$OA=8\ \mathrm{m}$，即点$B$的横坐标为$8$，将$x=8$代入$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+3$，得：
$y=-\frac{1}{12}×(8-6)^2+3=-\frac{1}{3}+3=\frac{8}{3}$
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+3$；(2) $\frac{8}{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数实际应用；二次函数求值
【点评】
本题是抛物线实际应用的基础题型，解题关键是从题干和图形中提取顶点、过定点等关键信息，选择合适的解析式形式简化计算，再结合实际场景的几何意义代入数值求解即可。
【难度系数】
0.8
