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【典型例题2】如图,一名运动员将篮球从点A处抛出,点A到地面的距离OA=2 m,篮球的运动路线是抛物线的一部分,当篮球运动的水平距离OB为4 m时,达到最大高度3.6 m.以O为原点,OA所在直线为y轴,OB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.
(1)求该抛物线对应的函数解析式.
(2)当篮球运动的水平距离为5 m时,竖直高度y满足3.2 m≤y≤3.5 m,此时视为有效投篮,请你通过计算说明该运动员此次投篮是不是有效投篮.
【解】(1)设该抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-4)^2+3.6$.
把$(0,2)$代入$y=a(x-4)^2+3.6$,得
$2=16a+3.6$.
解得$a=-0.1$.
∴该抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1(x-4)^2+3.6$.
(2)把$x=5$代入$y=-0.1(x-4)^2+3.6$,得$y=-0.1×(5-4)^2+3.6=3.5$.
∴该运动员此次投篮是有效投篮.
规律方法 解决二次函数的实际应用问题时,首先结合二次函数的图象确定关键点的坐标,进而使用待定系数法求出函数解析式,最后利用函数的图象和性质解决问题.
(1)求该抛物线对应的函数解析式.
(2)当篮球运动的水平距离为5 m时,竖直高度y满足3.2 m≤y≤3.5 m,此时视为有效投篮,请你通过计算说明该运动员此次投篮是不是有效投篮.
【解】(1)设该抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-4)^2+3.6$.
把$(0,2)$代入$y=a(x-4)^2+3.6$,得
$2=16a+3.6$.
解得$a=-0.1$.
∴该抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1(x-4)^2+3.6$.
(2)把$x=5$代入$y=-0.1(x-4)^2+3.6$,得$y=-0.1×(5-4)^2+3.6=3.5$.
∴该运动员此次投篮是有效投篮.
规律方法 解决二次函数的实际应用问题时,首先结合二次函数的图象确定关键点的坐标,进而使用待定系数法求出函数解析式,最后利用函数的图象和性质解决问题.
答案
解：
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4, 3.6)$，设该抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-4)^2+3.6$。
把点$(0,2)$代入解析式，得
$2=16a+3.6$
解得$a=-0.1$
∴该抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1(x-4)^2+3.6$。
(2) 把$x=5$代入$y=-0.1(x-4)^2+3.6$，得
$y=-0.1×(5-4)^2+3.6=3.5$
∵$3.2\ \mathrm{m}≤ 3.5\ \mathrm{m}≤ 3.5\ \mathrm{m}$，满足有效投篮的竖直高度要求，
∴该运动员此次投篮是有效投篮。
答：该运动员此次投篮是有效投篮。
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4, 3.6)$，设该抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-4)^2+3.6$。
把点$(0,2)$代入解析式，得
$2=16a+3.6$
解得$a=-0.1$
∴该抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1(x-4)^2+3.6$。
(2) 把$x=5$代入$y=-0.1(x-4)^2+3.6$，得
$y=-0.1×(5-4)^2+3.6=3.5$
∵$3.2\ \mathrm{m}≤ 3.5\ \mathrm{m}≤ 3.5\ \mathrm{m}$，满足有效投篮的竖直高度要求，
∴该运动员此次投篮是有效投篮。
答：该运动员此次投篮是有效投篮。
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，首先从题干提取关键信息：篮球在水平距离4m处达到最大高度3.6m，可知抛物线顶点坐标为$(4,3.6)$，因此优先选择顶点式设函数解析式，简化计算；再将已知点$A(0,2)$代入所设解析式，求出未知参数$a$即可得到完整解析式。
(2) 判断是否为有效投篮，只需将水平距离$x=5$代入已求得的解析式，计算出对应的竖直高度$y$，再判断$y$是否落在$3.2\ \mathrm{m}≤y≤3.5\ \mathrm{m}$的有效范围内，即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意得抛物线的顶点坐标为$(4, 3.6)$，设该抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-4)^2+3.6\ (a≠0)$。
把点$(0,2)$代入解析式，可得：
$2=a×(0-4)^2+3.6$
整理得$2=16a+3.6$
解得$a=-0.1$
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1(x-4)^2+3.6$。
(2) 当水平距离为5m时，即$x=5$，将其代入解析式$y=-0.1(x-4)^2+3.6$得：
$y=-0.1×(5-4)^2+3.6=3.5$
因为$3.2\ \mathrm{m}≤ 3.5\ \mathrm{m}≤ 3.5\ \mathrm{m}$，符合有效投篮的竖直高度要求，所以此次投篮是有效投篮。
【答案】
(1) $y=-0.1(x-4)^2+3.6$
(2) 该运动员此次投篮是有效投篮
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数求值
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题关键是结合抛物线顶点特征选择合适的解析式形式，降低计算难度，再通过代入求值即可解决实际判断问题，能帮助学生建立用函数模型解决实际问题的思维。
【难度系数】
0.8
(1) 求抛物线解析式时，首先从题干提取关键信息：篮球在水平距离4m处达到最大高度3.6m，可知抛物线顶点坐标为$(4,3.6)$，因此优先选择顶点式设函数解析式，简化计算；再将已知点$A(0,2)$代入所设解析式，求出未知参数$a$即可得到完整解析式。
(2) 判断是否为有效投篮，只需将水平距离$x=5$代入已求得的解析式，计算出对应的竖直高度$y$，再判断$y$是否落在$3.2\ \mathrm{m}≤y≤3.5\ \mathrm{m}$的有效范围内，即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意得抛物线的顶点坐标为$(4, 3.6)$，设该抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-4)^2+3.6\ (a≠0)$。
把点$(0,2)$代入解析式，可得：
$2=a×(0-4)^2+3.6$
整理得$2=16a+3.6$
解得$a=-0.1$
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1(x-4)^2+3.6$。
(2) 当水平距离为5m时，即$x=5$，将其代入解析式$y=-0.1(x-4)^2+3.6$得：
$y=-0.1×(5-4)^2+3.6=3.5$
因为$3.2\ \mathrm{m}≤ 3.5\ \mathrm{m}≤ 3.5\ \mathrm{m}$，符合有效投篮的竖直高度要求，所以此次投篮是有效投篮。
【答案】
(1) $y=-0.1(x-4)^2+3.6$
(2) 该运动员此次投篮是有效投篮
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数求值
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题关键是结合抛物线顶点特征选择合适的解析式形式，降低计算难度，再通过代入求值即可解决实际判断问题，能帮助学生建立用函数模型解决实际问题的思维。
【难度系数】
0.8
2. 从喷灌器喷水口喷出的水柱呈抛物线形.某家庭喷灌器OA喷水时的截面示意图如图所示,喷水口点A离地高度为0.25 m(即OA=0.25 m),喷出的水柱在离喷水口水平距离为2 m处达到最大高度,最大高度为0.45 m,以喷灌器OA(与地面垂直)所在直线为y轴,水柱落地点与点O所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求喷出的水柱所在抛物线对应的函数解析式.
(2)若水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处,求喷灌器OA到围墙的距离OB的长.
(1)求喷出的水柱所在抛物线对应的函数解析式.
(2)若水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处,求喷灌器OA到围墙的距离OB的长.
答案
2.【解】(1)设喷出的水柱所在抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+0.45$.
把$x=0,y=0.25$代入$y=a(x-2)^2+0.45$,得$4a+0.45=0.25$.
解得$a=-\frac{1}{20}$.
∴喷出的水柱所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45$.
(2)把$y=0$代入$y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45$,
列得方程$-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45=0$.
解得$x_1=5,x_2=-1$(不合题意,舍去).
∴点B的坐标为$(5,0)$.
∴$OB=5$.
把$x=0,y=0.25$代入$y=a(x-2)^2+0.45$,得$4a+0.45=0.25$.
解得$a=-\frac{1}{20}$.
∴喷出的水柱所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45$.
(2)把$y=0$代入$y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45$,
列得方程$-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45=0$.
解得$x_1=5,x_2=-1$(不合题意,舍去).
∴点B的坐标为$(5,0)$.
∴$OB=5$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线的顶点坐标为$(2,0.45)$，因此优先用顶点式设抛物线的函数解析式，再将点A$(0,0.25)$代入解析式，即可求出未知系数$a$，得到完整的函数解析式。
(2) 水柱落在地面B点时纵坐标$y=0$，将$y=0$代入第一问求出的解析式，解对应的一元二次方程，结合实际意义舍去不符合的负根，得到的正根就是OB的长度。
【解析】
(1) 由题意可知水柱抛物线的顶点为$(2,0.45)$，设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+0.45$（$a\ne0$）。
将点A$(0,0.25)$代入解析式得：
$4a+0.45=0.25$
解得$a=-\frac{1}{20}$。
因此喷出的水柱所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45$。
(2) 水柱落在地面B点时高度为0，即$y=0$，将$y=0$代入解析式得：
$-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-1$（水平距离不能为负，舍去）。
因此点B坐标为$(5,0)$，$OB=5\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45$
(2) $5\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数实际应用，解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的生活应用类基础题，解题核心是结合题意确定抛物线上的已知点坐标，选取合适的形式求解解析式，同时要结合实际情境对计算结果进行取舍，熟练掌握二次函数的基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线的顶点坐标为$(2,0.45)$，因此优先用顶点式设抛物线的函数解析式，再将点A$(0,0.25)$代入解析式，即可求出未知系数$a$，得到完整的函数解析式。
(2) 水柱落在地面B点时纵坐标$y=0$，将$y=0$代入第一问求出的解析式，解对应的一元二次方程，结合实际意义舍去不符合的负根，得到的正根就是OB的长度。
【解析】
(1) 由题意可知水柱抛物线的顶点为$(2,0.45)$，设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+0.45$（$a\ne0$）。
将点A$(0,0.25)$代入解析式得：
$4a+0.45=0.25$
解得$a=-\frac{1}{20}$。
因此喷出的水柱所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45$。
(2) 水柱落在地面B点时高度为0，即$y=0$，将$y=0$代入解析式得：
$-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-1$（水平距离不能为负，舍去）。
因此点B坐标为$(5,0)$，$OB=5\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45$
(2) $5\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数实际应用，解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的生活应用类基础题，解题核心是结合题意确定抛物线上的已知点坐标，选取合适的形式求解解析式，同时要结合实际情境对计算结果进行取舍，熟练掌握二次函数的基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
