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1.如图，直线$l$上有三个正方形A,B,C。若正方形A,C的面积分别为5和11，则正方形B的边长为（
A.55
B.16
C.6
D.4
D
）A.55
B.16
C.6
D.4
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：正方形B的底边与直线l相交形成两个直角三角形，首先利用同角的余角相等找到两个三角形相等的角，结合正方形的边相等证明两个直角三角形全等，得到对应边相等；再结合勾股定理，可知正方形B的边长的平方等于正方形A、C的面积之和，最后计算算术平方根得到B的边长即可。
【解析】
设正方形B下方直线l上的公共点为M，正方形A的右上角顶点为P，正方形C的左上角顶点为Q。
∵ 四边形A、B、C都是正方形，
∴ ∠PMQ=90°，PM=MQ（正方形B的边长），∠PAM=∠QCM=90°，
∴ ∠APM + ∠AMP = 90°，∠AMP + ∠QMC = 180° - 90° = 90°，
∴ ∠APM = ∠QMC。
在△APM和△CMQ中：
$\{\begin{array}{l}∠ PAM=∠ MCQ\\ ∠ APM=∠ CMQ\\ PM=MQ\end{array} $
∴ △APM ≌ △CMQ（AAS），
∴ AP = CM，AM = CQ。
由勾股定理得：$PM^2 = AP^2 + AM^2$，
∵ 正方形A的面积$=AP^2=5$，正方形C的面积$=CQ^2=AM^2=11$，
∴ $PM^2 = 5 + 11 = 16$，
∴ PM = 4（边长为正数，舍去负根），即正方形B的边长为4。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，巧妙地将正方形性质、全等三角形和勾股定理结合，解题的突破口是通过角的互余关系证明三角形全等，从而将三个正方形的面积通过勾股定理建立关联，做题时要注意区分正方形的面积和边长，避免误选面积对应的选项。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：正方形B的底边与直线l相交形成两个直角三角形，首先利用同角的余角相等找到两个三角形相等的角，结合正方形的边相等证明两个直角三角形全等，得到对应边相等；再结合勾股定理，可知正方形B的边长的平方等于正方形A、C的面积之和，最后计算算术平方根得到B的边长即可。
【解析】
设正方形B下方直线l上的公共点为M，正方形A的右上角顶点为P，正方形C的左上角顶点为Q。
∵ 四边形A、B、C都是正方形，
∴ ∠PMQ=90°，PM=MQ（正方形B的边长），∠PAM=∠QCM=90°，
∴ ∠APM + ∠AMP = 90°，∠AMP + ∠QMC = 180° - 90° = 90°，
∴ ∠APM = ∠QMC。
在△APM和△CMQ中：
$\{\begin{array}{l}∠ PAM=∠ MCQ\\ ∠ APM=∠ CMQ\\ PM=MQ\end{array} $
∴ △APM ≌ △CMQ（AAS），
∴ AP = CM，AM = CQ。
由勾股定理得：$PM^2 = AP^2 + AM^2$，
∵ 正方形A的面积$=AP^2=5$，正方形C的面积$=CQ^2=AM^2=11$，
∴ $PM^2 = 5 + 11 = 16$，
∴ PM = 4（边长为正数，舍去负根），即正方形B的边长为4。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，巧妙地将正方形性质、全等三角形和勾股定理结合，解题的突破口是通过角的互余关系证明三角形全等，从而将三个正方形的面积通过勾股定理建立关联，做题时要注意区分正方形的面积和边长，避免误选面积对应的选项。
【难度系数】
0.7
2.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a，b，c。下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A:∠B:∠C=1:2:3
C.$a^2 = c^2 - b^2$
D.$a:b:c=3:4:6$
D
)A.∠A+∠B=∠C
B.∠A:∠B:∠C=1:2:3
C.$a^2 = c^2 - b^2$
D.$a:b:c=3:4:6$
答案
2. D
解析
【分析】
这道题考查直角三角形的判定，我们可以分别从角、边两个维度逐一分析选项：①从角的维度：利用三角形内角和为180°，验证是否存在内角为90°；②从边的维度：利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。只要满足其中一个条件即可判定为直角三角形，据此逐个排查选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：已知∠A+∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，可得∠A+∠B+∠C=2∠C=180°，解得∠C=90°，可判定△ABC为直角三角形。
B选项：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，根据内角和公式得x+2x+3x=180°，解得x=30°，则最大角∠C=3×30°=90°，可判定△ABC为直角三角形。
C选项：对$a^2 = c^2 - b^2$移项可得$a^2+b^2=c^2$，符合勾股定理的逆定理，可判定△ABC为直角三角形。
D选项：设a=3k，b=4k，c=6k（k＞0），计算得两条短边平方和为$(3k)^2+(4k)^2=25k^2$，最长边平方为$(6k)^2=36k^2$，$25k^2≠36k^2$，不满足勾股定理的逆定理，不能判定△ABC为直角三角形。
综上，符合题意的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查直角三角形的两种判定思路，解题时分别从角、边两个角度结合对应定理验证即可，只要熟练掌握基础定理就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
这道题考查直角三角形的判定，我们可以分别从角、边两个维度逐一分析选项：①从角的维度：利用三角形内角和为180°，验证是否存在内角为90°；②从边的维度：利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。只要满足其中一个条件即可判定为直角三角形，据此逐个排查选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：已知∠A+∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，可得∠A+∠B+∠C=2∠C=180°，解得∠C=90°，可判定△ABC为直角三角形。
B选项：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，根据内角和公式得x+2x+3x=180°，解得x=30°，则最大角∠C=3×30°=90°，可判定△ABC为直角三角形。
C选项：对$a^2 = c^2 - b^2$移项可得$a^2+b^2=c^2$，符合勾股定理的逆定理，可判定△ABC为直角三角形。
D选项：设a=3k，b=4k，c=6k（k＞0），计算得两条短边平方和为$(3k)^2+(4k)^2=25k^2$，最长边平方为$(6k)^2=36k^2$，$25k^2≠36k^2$，不满足勾股定理的逆定理，不能判定△ABC为直角三角形。
综上，符合题意的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查直角三角形的两种判定思路，解题时分别从角、边两个角度结合对应定理验证即可，只要熟练掌握基础定理就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3. 如图,一个大正方形由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成。设直角三角形的两条直角边长分别为 $ m,n(m＞n) $。若中间的小正方形的面积为5,$ (m+n)^2=21 $,则大正方形的面积为(
A.12
B.13
C.14
D.15
B
)A.12
B.13
C.14
D.15
答案
3. B
解析
【分析】
首先明确各图形的边长与m、n的关系：中间小正方形的边长为较长直角边减较短直角边，即$m-n$，因此小正方形的面积可表示为$(m-n)^2=5$；大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，大正方形的面积等于斜边的平方，即$m^2+n^2$，因此解题目标是求出$m^2+n^2$的值。结合已知条件$(m+n)^2=21$，利用完全平方公式展开两个式子，消去$mn$项即可求出目标值。
【解析】
解：由题意得，中间小正方形的边长为$m-n$，因此：
$(m-n)^2=5$
展开得：$m^2-2mn+n^2=5$ ①
已知$(m+n)^2=21$，展开得：
$m^2+2mn+n^2=21$ ②
将①+②，得：
$2(m^2+n^2)=26$
解得$m^2+n^2=13$
根据勾股定理，大正方形的边长为直角三角形的斜边，其面积等于斜边的平方，即$m^2+n^2$，因此大正方形的面积为13。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，解题的关键是建立几何图形的边长与代数式的对应关系，灵活运用完全平方公式的变形消去中间量$mn$，从而快速求出结果，对公式的变形应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
首先明确各图形的边长与m、n的关系：中间小正方形的边长为较长直角边减较短直角边，即$m-n$，因此小正方形的面积可表示为$(m-n)^2=5$；大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，大正方形的面积等于斜边的平方，即$m^2+n^2$，因此解题目标是求出$m^2+n^2$的值。结合已知条件$(m+n)^2=21$，利用完全平方公式展开两个式子，消去$mn$项即可求出目标值。
【解析】
解：由题意得，中间小正方形的边长为$m-n$，因此：
$(m-n)^2=5$
展开得：$m^2-2mn+n^2=5$ ①
已知$(m+n)^2=21$，展开得：
$m^2+2mn+n^2=21$ ②
将①+②，得：
$2(m^2+n^2)=26$
解得$m^2+n^2=13$
根据勾股定理，大正方形的边长为直角三角形的斜边，其面积等于斜边的平方，即$m^2+n^2$，因此大正方形的面积为13。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，解题的关键是建立几何图形的边长与代数式的对应关系，灵活运用完全平方公式的变形消去中间量$mn$，从而快速求出结果，对公式的变形应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
4.如图,长方形BCFG是一块草地,折线ABCDE是一条人行道,其中BC=15 m,CD=8 m。为了避免行人穿过草地(走虚线BD),践踏绿草,管理部门分别在B,D处各挂了一块布告牌,牌上写着“少走
6
米,踏之何忍”。答案
4. 6米
解析
【分析】要解决这个问题，首先明确少走的路程是走折线BCD的长度减去走直线路径BD的长度。根据长方形的性质可知∠C为直角，因此△BCD是直角三角形，我们可以利用勾股定理求出BD的长度，再计算两条路径的长度差即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形BCFG是长方形，
∴∠C=90°，即△BCD是直角三角形。
在Rt△BCD中，BC=15m，CD=8m，
根据勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17(m)$
原来走折线BCD的路程为：$BC+CD=15+8=23(m)$
因此少走的路程为：$23-17=6(m)$
【答案】
6米
【知识点】
长方形的性质，勾股定理
【点评】
本题将数学知识与生活实际结合，解题关键是从实际场景中抽象出直角三角形模型，利用勾股定理求出捷径长度，再通过作差得到少走的路程，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.8
【解析】
解：
∵四边形BCFG是长方形，
∴∠C=90°，即△BCD是直角三角形。
在Rt△BCD中，BC=15m，CD=8m，
根据勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17(m)$
原来走折线BCD的路程为：$BC+CD=15+8=23(m)$
因此少走的路程为：$23-17=6(m)$
【答案】
6米
【知识点】
长方形的性质，勾股定理
【点评】
本题将数学知识与生活实际结合，解题关键是从实际场景中抽象出直角三角形模型，利用勾股定理求出捷径长度，再通过作差得到少走的路程，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.8
5.如图,在四边形$ABCD$中,$∠ A=90°$,$AB=4\ \mathrm{cm}$,$AD=2\ \mathrm{cm}$,$BC=CD$,$E$是$AB$上一点。若将四边形$ABCD$沿$CE$折叠,恰好使$B,D$两点重合,则$DE=$
2.5 cm
。答案
5. 2.5 cm
解析
【分析】
遇到折叠问题首先考虑折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。本题折叠后B、D两点重合，可得DE=BE，这是解题的突破口。已知∠A=90°，说明△ADE是直角三角形，已知AD、AB的长度，可设DE的长为x，用含x的式子表示出AE的长，再借助勾股定理列方程求解即可。
【解析】
根据折叠的性质，折叠后B、D重合，因此DE=BE。
设DE的长度为x cm，则BE=x cm，
∵AB=4 cm，
∴AE=AB-BE=(4-x) cm，
又
∵∠A=90°，
∴△ADE为直角三角形，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：$AD^2 + AE^2 = DE^2$，
将AD=2 cm代入得：$2^2 + (4-x)^2 = x^2$，
展开计算：$4 + 16 - 8x + x^2 = x^2$，
消去$x^2$后化简得：$20 = 8x$，
解得$x = 2.5$。
【答案】
2.5 cm
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；方程思想
【点评】
本题是典型的几何计算题型，将折叠变换与勾股定理相结合，核心是利用折叠得到相等线段，把未知量和已知量集中到同一个直角三角形中，通过列方程求解，能很好地考查学生对几何性质的运用和方程思想的掌握。
【难度系数】
0.7
遇到折叠问题首先考虑折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。本题折叠后B、D两点重合，可得DE=BE，这是解题的突破口。已知∠A=90°，说明△ADE是直角三角形，已知AD、AB的长度，可设DE的长为x，用含x的式子表示出AE的长，再借助勾股定理列方程求解即可。
【解析】
根据折叠的性质，折叠后B、D重合，因此DE=BE。
设DE的长度为x cm，则BE=x cm，
∵AB=4 cm，
∴AE=AB-BE=(4-x) cm，
又
∵∠A=90°，
∴△ADE为直角三角形，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：$AD^2 + AE^2 = DE^2$，
将AD=2 cm代入得：$2^2 + (4-x)^2 = x^2$，
展开计算：$4 + 16 - 8x + x^2 = x^2$，
消去$x^2$后化简得：$20 = 8x$，
解得$x = 2.5$。
【答案】
2.5 cm
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；方程思想
【点评】
本题是典型的几何计算题型，将折叠变换与勾股定理相结合，核心是利用折叠得到相等线段，把未知量和已知量集中到同一个直角三角形中，通过列方程求解，能很好地考查学生对几何性质的运用和方程思想的掌握。
【难度系数】
0.7
6. 提升题 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=4$,$BC=3$。$P$是$AC$边上的一个动点,过点$P$作$PQ ⊥ AB$,垂足为$Q$,连接$BP$,则$BP+PQ$的最小值为
$\frac{24}{5}$
。答案
6. $\frac{24}{5}$
解析
【分析】
本题是求两条线段和的最小值问题，解题思路如下：① 利用轴对称的性质转化线段：作点B关于AC的对称点B'，则AC上任意点P满足BP=B'P，因此BP+PQ可转化为B'P+PQ；② 结合垂线段最短确定最小值的位置：要让B'P+PQ最小，需满足B'、P、Q三点共线且B'Q⊥AB，此时最小值就是点B'到直线AB的垂线段长度；③ 最后用勾股定理和面积法计算该垂线段的长度即可。
【解析】
1. 计算AB的长度：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
2. 作对称点转化线段：作点B关于AC的对称点$B'$，连接$B'P$，由轴对称的性质可得：$BP=B'P$，$B'C=BC=3$，$AC⊥ BB'$，因此$BB'=BC+B'C=6$。
3. 确定最小值：过$B'$作$B'Q⊥ AB$于点Q，交AC于点P，此时$BP+PQ=B'P+PQ=B'Q$，根据“垂线段最短”，此时$BP+PQ$取得最小值，最小值为$B'Q$的长度。
4. 用面积法求$B'Q$：
$△ ABB'$的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABB'}=\frac{1}{2}× BB'× AC=\frac{1}{2}×6×4=12$
同时$S_{△ ABB'}=\frac{1}{2}× AB× B'Q$，代入数据得：
$\frac{1}{2}×5× B'Q=12$
解得$B'Q=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
轴对称的性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题属于典型的最短路径综合题，解题核心是通过轴对称将折线和转化为点到直线的距离，再结合垂线段的性质和面积法求解，能有效考查对最短路径原理的运用和几何计算能力。
【难度系数】
0.6
本题是求两条线段和的最小值问题，解题思路如下：① 利用轴对称的性质转化线段：作点B关于AC的对称点B'，则AC上任意点P满足BP=B'P，因此BP+PQ可转化为B'P+PQ；② 结合垂线段最短确定最小值的位置：要让B'P+PQ最小，需满足B'、P、Q三点共线且B'Q⊥AB，此时最小值就是点B'到直线AB的垂线段长度；③ 最后用勾股定理和面积法计算该垂线段的长度即可。
【解析】
1. 计算AB的长度：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
2. 作对称点转化线段：作点B关于AC的对称点$B'$，连接$B'P$，由轴对称的性质可得：$BP=B'P$，$B'C=BC=3$，$AC⊥ BB'$，因此$BB'=BC+B'C=6$。
3. 确定最小值：过$B'$作$B'Q⊥ AB$于点Q，交AC于点P，此时$BP+PQ=B'P+PQ=B'Q$，根据“垂线段最短”，此时$BP+PQ$取得最小值，最小值为$B'Q$的长度。
4. 用面积法求$B'Q$：
$△ ABB'$的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABB'}=\frac{1}{2}× BB'× AC=\frac{1}{2}×6×4=12$
同时$S_{△ ABB'}=\frac{1}{2}× AB× B'Q$，代入数据得：
$\frac{1}{2}×5× B'Q=12$
解得$B'Q=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
轴对称的性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题属于典型的最短路径综合题，解题核心是通过轴对称将折线和转化为点到直线的距离，再结合垂线段的性质和面积法求解，能有效考查对最短路径原理的运用和几何计算能力。
【难度系数】
0.6
