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7.如图，A,B,C三个村之间分别修建了一条互通公路，其中$AB=BC$。现计划在公路BC旁开发一个景点M(B,C,M在同一条直线上)。为方便A村村民前往景点M，又修建了一条公路AM，测得$AC=13\ \mathrm{km}$，$CM=5\ \mathrm{km}$，$AM=12\ \mathrm{km}$。
(1)判断$△ ACM$的形状，并说明理由。
(2)求公路AB的长。
(1)判断$△ ACM$的形状，并说明理由。
(2)求公路AB的长。
答案
7. 解:(1)$△ACM$是直角三角形。理由如下：
因为 $AC=13\ \mathrm{km},CM=5\ \mathrm{km},AM=12\ \mathrm{km}$，
所以 $CM^2+AM^2=AC^2$，
所以$△ACM$是直角三角形。
(2)设 $AB=BC=x\ \mathrm{km}$, 则 $BM=(x-5)\mathrm{km}$。
由(1)可知,$∠AMC=90°$，
所以$∠AMB=180°-∠AMC=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ABM$ 中,由勾股定理,得 $12^2+(x-5)^2=x^2$，
解得 $x=16.9$。
故公路 $AB$ 的长为 $16.9\ \mathrm{km}$。
解析
【分析】
(1) 判断△ACM的形状时，已知三边长度，优先采用勾股定理的逆定理验证：先确定最长边为AC，再计算两条短边CM、AM的平方和，判断其是否等于最长边AC的平方，即可得出三角形的形状。
(2) 求AB的长度时，已知AB=BC，可设AB=BC为未知数x，先由(1)的结论推导得∠AMB为直角，再在Rt△ABM中利用勾股定理列方程，求解方程即可得到AB的长度。
【解析】
(1) △ACM是直角三角形，理由如下：
已知$AC=13\ \mathrm{km}$，$CM=5\ \mathrm{km}$，$AM=12\ \mathrm{km}$，
计算得$CM^2+AM^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AC^2=13^2=169$，
因此$CM^2+AM^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，△ACM是直角三角形。
(2) 设$AB=BC=x\ \mathrm{km}$，则$BM=BC-CM=(x-5)\ \mathrm{km}$。
由(1)得$∠ AMC=90°$，因此$∠ AMB=180°-∠ AMC=90°$，即△ABM为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，根据勾股定理得$AM^2+BM^2=AB^2$，代入数值得：
$12^2+(x-5)^2=x^2$
展开化简得$144+x^2-10x+25=x^2$，解得$x=16.9$。
【答案】
7. 解:(1)$△ACM$是直角三角形。理由如下：
因为 $AC=13\ \mathrm{km},CM=5\ \mathrm{km},AM=12\ \mathrm{km}$，
所以 $CM^2+AM^2=AC^2$，
所以$△ACM$是直角三角形。
(2)设 $AB=BC=x\ \mathrm{km}$, 则 $BM=(x-5)\mathrm{km}$。
由(1)可知,$∠AMC=90°$，
所以$∠AMB=180°-∠AMC=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ABM$ 中,由勾股定理,得 $12^2+(x-5)^2=x^2$，
解得 $x=16.9$。
故公路 $AB$ 的长为 $16.9\ \mathrm{km}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，方程解几何问题
【点评】
本题是基础几何综合题，将勾股定理及其逆定理结合考查，同时融入了用方程思想解决几何边长问题的思路，能有效检验学生对基础定理的掌握程度和数形结合解题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 判断△ACM的形状时，已知三边长度，优先采用勾股定理的逆定理验证：先确定最长边为AC，再计算两条短边CM、AM的平方和，判断其是否等于最长边AC的平方，即可得出三角形的形状。
(2) 求AB的长度时，已知AB=BC，可设AB=BC为未知数x，先由(1)的结论推导得∠AMB为直角，再在Rt△ABM中利用勾股定理列方程，求解方程即可得到AB的长度。
【解析】
(1) △ACM是直角三角形，理由如下：
已知$AC=13\ \mathrm{km}$，$CM=5\ \mathrm{km}$，$AM=12\ \mathrm{km}$，
计算得$CM^2+AM^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AC^2=13^2=169$，
因此$CM^2+AM^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，△ACM是直角三角形。
(2) 设$AB=BC=x\ \mathrm{km}$，则$BM=BC-CM=(x-5)\ \mathrm{km}$。
由(1)得$∠ AMC=90°$，因此$∠ AMB=180°-∠ AMC=90°$，即△ABM为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，根据勾股定理得$AM^2+BM^2=AB^2$，代入数值得：
$12^2+(x-5)^2=x^2$
展开化简得$144+x^2-10x+25=x^2$，解得$x=16.9$。
【答案】
7. 解:(1)$△ACM$是直角三角形。理由如下：
因为 $AC=13\ \mathrm{km},CM=5\ \mathrm{km},AM=12\ \mathrm{km}$，
所以 $CM^2+AM^2=AC^2$，
所以$△ACM$是直角三角形。
(2)设 $AB=BC=x\ \mathrm{km}$, 则 $BM=(x-5)\mathrm{km}$。
由(1)可知,$∠AMC=90°$，
所以$∠AMB=180°-∠AMC=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ABM$ 中,由勾股定理,得 $12^2+(x-5)^2=x^2$，
解得 $x=16.9$。
故公路 $AB$ 的长为 $16.9\ \mathrm{km}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，方程解几何问题
【点评】
本题是基础几何综合题，将勾股定理及其逆定理结合考查，同时融入了用方程思想解决几何边长问题的思路，能有效检验学生对基础定理的掌握程度和数形结合解题的能力。
【难度系数】
0.7
8. 提升题 如图①，直角三角形的两条直角边的长度分别是$a,b(a＜b)$，斜边的长度为$c$。
(1)探究:如图②，用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形。
①小正方形的边长为$c$，大正方形的边长为
②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式
(2)应用:将两个这样的直角三角形按图③所示进行摆放，使$BC$和$CD$在同一条直线上，连接$AE$。请你类比(1)中的方法，用图③验证勾股定理。
(1)探究:如图②，用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形。
①小正方形的边长为$c$，大正方形的边长为
$a+b$
；②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式
$(a+b)^2 = 4×\frac{1}{2}ab + c^2$
，整理，得$a^2+b^2=c^2$
，从而验证勾股定理。(2)应用:将两个这样的直角三角形按图③所示进行摆放，使$BC$和$CD$在同一条直线上，连接$AE$。请你类比(1)中的方法，用图③验证勾股定理。
答案
8. 解:(2) 因为$∠BAC+∠ACB=90°,∠BAC=∠ECD$，
所以$∠ECD+∠ACB=90°$，
所以$∠ACE=90°$。
用两种不同的方法表示出梯形$ABDE$的面积,可得$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$，
所以 $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，
所以 $a^2+b^2=c^2$。
解析
【分析】
(1) ①观察图②的拼接结构，大正方形的每条边都由直角三角形的两条直角边a、b依次拼接组成，因此可直接得到边长；②验证勾股定理的核心是利用同一图形面积的不同表示方法构造等式：大正方形面积既可以直接用边长平方计算，也可以拆分为4个直角三角形面积加中间小正方形的面积，联立等式化简即可得到勾股定理。
(2) 类比(1)的面积法思路：首先根据直角三角形两锐角互余、全等三角形对应角相等的性质，证明中间的△ACE是直角三角形，再分别用梯形面积公式和三个三角形面积和两种方式表示梯形ABDE的面积，联立等式化简即可验证勾股定理。
【解析】
(1) ①大正方形的边由直角三角形的直角边a、b首尾连接组成，因此边长为$a+b$；
②大正方形面积直接计算：$S_{\mathrm{大}}=(a+b)^2$；大正方形面积拆分计算：$S_{\mathrm{大}}=4×\frac{1}{2}ab + c^2=2ab + c^2$，因此可得等式$(a+b)^2=2ab + c^2$，展开整理后得$a^2+b^2=c^2$。
(2) 由题意得△ABC≌△CDE，因此∠BAC=∠ECD，
在Rt△ABC中，∠BAC+∠ACB=90°，
所以∠ECD+∠ACB=90°，
因为B、C、D在同一直线上，因此∠ACE=180°-(∠ECD+∠ACB)=90°。
用两种方法表示梯形ABDE的面积：
方法1：根据梯形面积公式，上底$ED=a$，下底$AB=b$，高$BD=a+b$，因此$S_{\mathrm{梯形}ABDE}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$；
方法2：梯形面积等于3个三角形面积之和，$S_{\mathrm{梯形}ABDE}=S_{△ ABC}+S_{△ CDE}+S_{△ ACE}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$；
联立两个表达式得$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$，
整理得$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，化简后得$a^2+b^2=c^2$，即可验证勾股定理。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{a+b}$；②$\boldsymbol{(a+b)^2=2ab + c^2}$，$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$
(2) 因为$∠BAC+∠ACB=90°,∠BAC=∠ECD$，
所以$∠ECD+∠ACB=90°$，
所以$∠ACE=90°$。
用两种不同的方法表示出梯形$ABDE$的面积,可得$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$，
所以 $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，
所以 $a^2+b^2=c^2$。
【知识点】
勾股定理的验证、面积法的应用、直角三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理推导的典型题型，通过数形结合的方式，利用几何图形的面积等量关系验证结论，既考查了基础的几何推理能力，也帮助理解面积法的核心应用思路。
【难度系数】
0.7
(1) ①观察图②的拼接结构，大正方形的每条边都由直角三角形的两条直角边a、b依次拼接组成，因此可直接得到边长；②验证勾股定理的核心是利用同一图形面积的不同表示方法构造等式：大正方形面积既可以直接用边长平方计算，也可以拆分为4个直角三角形面积加中间小正方形的面积，联立等式化简即可得到勾股定理。
(2) 类比(1)的面积法思路：首先根据直角三角形两锐角互余、全等三角形对应角相等的性质，证明中间的△ACE是直角三角形，再分别用梯形面积公式和三个三角形面积和两种方式表示梯形ABDE的面积，联立等式化简即可验证勾股定理。
【解析】
(1) ①大正方形的边由直角三角形的直角边a、b首尾连接组成，因此边长为$a+b$；
②大正方形面积直接计算：$S_{\mathrm{大}}=(a+b)^2$；大正方形面积拆分计算：$S_{\mathrm{大}}=4×\frac{1}{2}ab + c^2=2ab + c^2$，因此可得等式$(a+b)^2=2ab + c^2$，展开整理后得$a^2+b^2=c^2$。
(2) 由题意得△ABC≌△CDE，因此∠BAC=∠ECD，
在Rt△ABC中，∠BAC+∠ACB=90°，
所以∠ECD+∠ACB=90°，
因为B、C、D在同一直线上，因此∠ACE=180°-(∠ECD+∠ACB)=90°。
用两种方法表示梯形ABDE的面积：
方法1：根据梯形面积公式，上底$ED=a$，下底$AB=b$，高$BD=a+b$，因此$S_{\mathrm{梯形}ABDE}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$；
方法2：梯形面积等于3个三角形面积之和，$S_{\mathrm{梯形}ABDE}=S_{△ ABC}+S_{△ CDE}+S_{△ ACE}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$；
联立两个表达式得$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$，
整理得$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，化简后得$a^2+b^2=c^2$，即可验证勾股定理。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{a+b}$；②$\boldsymbol{(a+b)^2=2ab + c^2}$，$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$
(2) 因为$∠BAC+∠ACB=90°,∠BAC=∠ECD$，
所以$∠ECD+∠ACB=90°$，
所以$∠ACE=90°$。
用两种不同的方法表示出梯形$ABDE$的面积,可得$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$，
所以 $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，
所以 $a^2+b^2=c^2$。
【知识点】
勾股定理的验证、面积法的应用、直角三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理推导的典型题型，通过数形结合的方式，利用几何图形的面积等量关系验证结论，既考查了基础的几何推理能力，也帮助理解面积法的核心应用思路。
【难度系数】
0.7
