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1.若直角三角形的斜边长为20 cm，两直角边长之比为3：4，则这个直角三角形的周长为(
A.27 cm
B.30 cm
C.40 cm
D.48 cm
D
)A.27 cm
B.30 cm
C.40 cm
D.48 cm
答案
1.D
解析
【分析】
已知直角三角形的斜边长和两直角边的长度比，解题时可先根据比例关系设未知数表示两条直角边的长度，再结合直角三角形的勾股定理列出方程求解未知数，进而得到两条直角边的具体长度，最后将三边长度相加即可得到三角形周长，对应选出正确选项。
【解析】
解：设两直角边的长度分别为3x cm、4x cm（x＞0）。
根据直角三角形的勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$(3x)^2 + (4x)^2 = 20^2$
化简得：$9x^2 + 16x^2 = 400$
合并同类项得：$25x^2 = 400$
解得：$x^2 = 16$，因为边长为正数，所以$x=4$。
则两直角边的长度分别为：$3×4=12$cm，$4×4=16$cm。
三角形周长为：$12 + 16 + 20 = 48$cm。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；按比例设未知数；三角形周长计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，通过结合比例设未知数列方程的方法可快速求解，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键。
【难度系数】
0.8
已知直角三角形的斜边长和两直角边的长度比，解题时可先根据比例关系设未知数表示两条直角边的长度，再结合直角三角形的勾股定理列出方程求解未知数，进而得到两条直角边的具体长度，最后将三边长度相加即可得到三角形周长，对应选出正确选项。
【解析】
解：设两直角边的长度分别为3x cm、4x cm（x＞0）。
根据直角三角形的勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$(3x)^2 + (4x)^2 = 20^2$
化简得：$9x^2 + 16x^2 = 400$
合并同类项得：$25x^2 = 400$
解得：$x^2 = 16$，因为边长为正数，所以$x=4$。
则两直角边的长度分别为：$3×4=12$cm，$4×4=16$cm。
三角形周长为：$12 + 16 + 20 = 48$cm。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；按比例设未知数；三角形周长计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，通过结合比例设未知数列方程的方法可快速求解，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键。
【难度系数】
0.8
2.如图,若一个长方体木箱的长、宽、高分别为12 dm,4 dm,3 dm,则能放入此木箱中的木棒最长为( 
)
A.13 dm
B.15 dm
C.19 dm
D.24 dm
)A.13 dm
B.15 dm
C.19 dm
D.24 dm
答案
2.A
解析
【分析】
要确定木箱中能放入的最长木棒长度，首先明确长方体内最长的线段是体对角线。我们可以将立体问题转化为平面问题求解：第一步先用勾股定理计算出底面长方形的对角线长度，第二步将底面对角线和长方体的高作为直角边，再次运用勾股定理求出斜边，这个斜边的长度就是体对角线，也就是最长木棒的长度。
【解析】
解：设长方体底面的对角线长度为$a$，根据勾股定理，底面长为12dm、宽为4dm，可得：
$a^2=12^2+4^2=144+16=160$
设长方体体对角线长度为$l$，已知长方体高为3dm，体对角线、底面对角线、高可构成直角三角形，再次运用勾股定理：
$l^2=a^2+3^2=160+9=169$
解得$l=\sqrt{169}=13\ \mathrm{dm}$，即能放入的木棒最长为13dm。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，长方体的特征
【点评】
本题考查勾股定理的实际应用，核心是掌握“长方体内最长线段为体对角线”的结论，通过两次使用勾股定理即可求解，体现了立体问题平面化的转化思想。
【难度系数】
0.8
要确定木箱中能放入的最长木棒长度，首先明确长方体内最长的线段是体对角线。我们可以将立体问题转化为平面问题求解：第一步先用勾股定理计算出底面长方形的对角线长度，第二步将底面对角线和长方体的高作为直角边，再次运用勾股定理求出斜边，这个斜边的长度就是体对角线，也就是最长木棒的长度。
【解析】
解：设长方体底面的对角线长度为$a$，根据勾股定理，底面长为12dm、宽为4dm，可得：
$a^2=12^2+4^2=144+16=160$
设长方体体对角线长度为$l$，已知长方体高为3dm，体对角线、底面对角线、高可构成直角三角形，再次运用勾股定理：
$l^2=a^2+3^2=160+9=169$
解得$l=\sqrt{169}=13\ \mathrm{dm}$，即能放入的木棒最长为13dm。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，长方体的特征
【点评】
本题考查勾股定理的实际应用，核心是掌握“长方体内最长线段为体对角线”的结论，通过两次使用勾股定理即可求解，体现了立体问题平面化的转化思想。
【难度系数】
0.8
3.在勾股定理的学习中,我们通过图形直观地验证了这一重要定理。这种借助几何图形来推导或验证数学规律和公式的方法称为“无字证明”,它体现了数形结合的思想。下列图形中,不能验证勾股定理的是(
C
)答案
3.C
解析
【分析】
要判断哪个图形不能验证勾股定理，核心思路是用面积法：对同一图形，用两种不同方法计算面积，若化简后能推导出$a^2+b^2=c^2$，就可以验证勾股定理，反之则不能。我们逐个分析4个选项的面积表达式即可得出结论。
【解析】
我们对每个选项分别用面积法推导：
1. 选项A：
大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；同时大正方形面积等于边长为$c$的正方形面积加4个直角边为$a,b$的直角三角形面积，即$c^2 + 4×\frac{1}{2}ab = c^2+2ab$。
列等式：$(a+b)^2 = c^2+2ab$，展开左边得$a^2+2ab+b^2 = c^2+2ab$，消去$2ab$后得$a^2+b^2=c^2$，可以验证勾股定理。
2. 选项B：
大正方形边长为$c$，面积为$c^2$；同时大正方形面积等于边长为$b-a$的小正方形面积加4个直角边为$a,b$的直角三角形面积，即$(b-a)^2 + 4×\frac{1}{2}ab = a^2-2ab+b^2+2ab = a^2+b^2$。
列等式：$c^2=a^2+b^2$，可以验证勾股定理。
3. 选项C：
大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；同时大正方形面积等于两个小正方形和两个长方形的面积和，即$a^2+b^2+2ab$。
列等式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，这是完全平方和公式，推导不出$a^2+b^2=c^2$，不能验证勾股定理。
4. 选项D：
梯形的上底为$a$、下底为$b$、高为$a+b$，面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$；同时梯形面积等于2个直角边为$a,b$的直角三角形面积加1个腰为$c$的等腰直角三角形面积，即$2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 = ab+\frac{1}{2}c^2$。
列等式：$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$，两边同乘2化简后得$a^2+b^2=c^2$，可以验证勾股定理。
综上，只有C不能验证勾股定理。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的验证；面积法求面积；完全平方公式
【点评】
本题以勾股定理的无字证明为载体，考查数形结合思想的应用，解题的关键是掌握面积法的应用，通过不同方式表示同一图形的面积，再经代数化简判断是否符合勾股定理的形式。
【难度系数】
0.7
要判断哪个图形不能验证勾股定理，核心思路是用面积法：对同一图形，用两种不同方法计算面积，若化简后能推导出$a^2+b^2=c^2$，就可以验证勾股定理，反之则不能。我们逐个分析4个选项的面积表达式即可得出结论。
【解析】
我们对每个选项分别用面积法推导：
1. 选项A：
大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；同时大正方形面积等于边长为$c$的正方形面积加4个直角边为$a,b$的直角三角形面积，即$c^2 + 4×\frac{1}{2}ab = c^2+2ab$。
列等式：$(a+b)^2 = c^2+2ab$，展开左边得$a^2+2ab+b^2 = c^2+2ab$，消去$2ab$后得$a^2+b^2=c^2$，可以验证勾股定理。
2. 选项B：
大正方形边长为$c$，面积为$c^2$；同时大正方形面积等于边长为$b-a$的小正方形面积加4个直角边为$a,b$的直角三角形面积，即$(b-a)^2 + 4×\frac{1}{2}ab = a^2-2ab+b^2+2ab = a^2+b^2$。
列等式：$c^2=a^2+b^2$，可以验证勾股定理。
3. 选项C：
大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；同时大正方形面积等于两个小正方形和两个长方形的面积和，即$a^2+b^2+2ab$。
列等式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，这是完全平方和公式，推导不出$a^2+b^2=c^2$，不能验证勾股定理。
4. 选项D：
梯形的上底为$a$、下底为$b$、高为$a+b$，面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$；同时梯形面积等于2个直角边为$a,b$的直角三角形面积加1个腰为$c$的等腰直角三角形面积，即$2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 = ab+\frac{1}{2}c^2$。
列等式：$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$，两边同乘2化简后得$a^2+b^2=c^2$，可以验证勾股定理。
综上，只有C不能验证勾股定理。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的验证；面积法求面积；完全平方公式
【点评】
本题以勾股定理的无字证明为载体，考查数形结合思想的应用，解题的关键是掌握面积法的应用，通过不同方式表示同一图形的面积，再经代数化简判断是否符合勾股定理的形式。
【难度系数】
0.7
4.如图，一根圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直放置，墙砖ABCD为长方形，AD=6 dm，AB=5 dm，该管道的底面是周长为3 dm的圆。若一只蚂蚁从点A爬过管道到达点C，则需要走的最短路程为
（第4题）（第5题）
10
dm。（第4题）（第5题）
答案
4.10 dm
解析
【分析】
这是一道立体图形的最短路径求解问题，核心解题思路是将曲面转化为平面来计算：首先，根据“两点之间线段最短”的原理，我们需要把圆柱形管道的侧面展开为平面，将原本绕圆柱的曲线路径转化为平面上的线段；其次，确定展开后形成的直角三角形的两条直角边长度：竖直方向的直角边与长方形的AD边长度相等，水平方向的直角边为AB的长度与圆柱底面半个周长的2倍之和（即AB加底面周长），最后用勾股定理计算斜边长度，就是蚂蚁爬行的最短路程。
【解析】
要计算最短路径，将圆柱侧面展开为平面，此时最短路径为直角三角形的斜边：
1. 确定直角边长度：
竖直方向直角边长度 = AD = 6 dm；
水平方向直角边长度 = AB + 圆柱底面周长 = 5 + 3 = 8 dm；
2. 根据勾股定理计算斜边长度：
最短路程 = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 dm。
【答案】
10 dm
【知识点】
最短路径问题；圆柱侧面展开；勾股定理
【点评】
本题重点考查曲面最短路径的求解方法，解题的关键是掌握圆柱侧面展开的转化思路，准确确定展开后直角三角形的各边长，再结合勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.6
这是一道立体图形的最短路径求解问题，核心解题思路是将曲面转化为平面来计算：首先，根据“两点之间线段最短”的原理，我们需要把圆柱形管道的侧面展开为平面，将原本绕圆柱的曲线路径转化为平面上的线段；其次，确定展开后形成的直角三角形的两条直角边长度：竖直方向的直角边与长方形的AD边长度相等，水平方向的直角边为AB的长度与圆柱底面半个周长的2倍之和（即AB加底面周长），最后用勾股定理计算斜边长度，就是蚂蚁爬行的最短路程。
【解析】
要计算最短路径，将圆柱侧面展开为平面，此时最短路径为直角三角形的斜边：
1. 确定直角边长度：
竖直方向直角边长度 = AD = 6 dm；
水平方向直角边长度 = AB + 圆柱底面周长 = 5 + 3 = 8 dm；
2. 根据勾股定理计算斜边长度：
最短路程 = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 dm。
【答案】
10 dm
【知识点】
最短路径问题；圆柱侧面展开；勾股定理
【点评】
本题重点考查曲面最短路径的求解方法，解题的关键是掌握圆柱侧面展开的转化思路，准确确定展开后直角三角形的各边长，再结合勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.6
5.提升题 如图，直角三角形ABC的两条直角边长分别为5和12。若以直角三角形的三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积之和为
30
。答案
5.30
解析
【分析】
本题属于不规则图形面积计算问题，采用割补法求解最简便：首先观察图形，阴影面积可表示为“以AC为直径的半圆面积 + 以BC为直径的半圆面积 + 直角三角形ABC的面积 - 以AB为直径的大半圆面积”；再结合勾股定理可推导得两个小半圆的面积之和等于大半圆的面积，二者相互抵消后，阴影面积就等于直角三角形ABC的面积，直接计算三角形面积即可得到结果。
【解析】
在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠C=90°，根据勾股定理可得：
斜边AB的长为$\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$
分别表示三个半圆的面积：
$S_{半圆AC}=\frac{1}{2}π×(\frac{AC}{2})^2=\frac{π AC^2}{8}$
$S_{半圆BC}=\frac{1}{2}π×(\frac{BC}{2})^2=\frac{π BC^2}{8}$
$S_{半圆AB}=\frac{1}{2}π×(\frac{AB}{2})^2=\frac{π AB^2}{8}$
阴影面积计算如下：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=S_{半圆AC}+S_{半圆BC}+S_{△ ABC}-S_{半圆AB}\\&=\frac{π AC^2}{8}+\frac{π BC^2}{8}+S_{△ ABC}-\frac{π AB^2}{8}\\&=\frac{π(AC^2+BC^2-AB^2)}{8}+S_{△ ABC}\end{aligned}$
由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，因此$\frac{π(AC^2+BC^2-AB^2)}{8}=0$
故$S_{阴影}=S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×5×12=30$
【答案】
30
【知识点】
勾股定理，割补法求面积，半圆面积计算
【点评】
本题是经典的月牙面积求解问题，核心是利用勾股定理实现圆面积部分的抵消，将不规则阴影面积转化为熟悉的直角三角形面积，简化了计算过程，很好地考察了图形割补和公式结合应用的能力。
【难度系数】
0.6
本题属于不规则图形面积计算问题，采用割补法求解最简便：首先观察图形，阴影面积可表示为“以AC为直径的半圆面积 + 以BC为直径的半圆面积 + 直角三角形ABC的面积 - 以AB为直径的大半圆面积”；再结合勾股定理可推导得两个小半圆的面积之和等于大半圆的面积，二者相互抵消后，阴影面积就等于直角三角形ABC的面积，直接计算三角形面积即可得到结果。
【解析】
在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠C=90°，根据勾股定理可得：
斜边AB的长为$\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$
分别表示三个半圆的面积：
$S_{半圆AC}=\frac{1}{2}π×(\frac{AC}{2})^2=\frac{π AC^2}{8}$
$S_{半圆BC}=\frac{1}{2}π×(\frac{BC}{2})^2=\frac{π BC^2}{8}$
$S_{半圆AB}=\frac{1}{2}π×(\frac{AB}{2})^2=\frac{π AB^2}{8}$
阴影面积计算如下：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=S_{半圆AC}+S_{半圆BC}+S_{△ ABC}-S_{半圆AB}\\&=\frac{π AC^2}{8}+\frac{π BC^2}{8}+S_{△ ABC}-\frac{π AB^2}{8}\\&=\frac{π(AC^2+BC^2-AB^2)}{8}+S_{△ ABC}\end{aligned}$
由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，因此$\frac{π(AC^2+BC^2-AB^2)}{8}=0$
故$S_{阴影}=S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×5×12=30$
【答案】
30
【知识点】
勾股定理，割补法求面积，半圆面积计算
【点评】
本题是经典的月牙面积求解问题，核心是利用勾股定理实现圆面积部分的抵消，将不规则阴影面积转化为熟悉的直角三角形面积，简化了计算过程，很好地考察了图形割补和公式结合应用的能力。
【难度系数】
0.6
6. 下图是一种“羊头”形图案，其作法:从正方形A开始，以其一边为斜边向外作等腰直角三角形，再以该三角形的直角边为边长分别向外作正方形B和B'，以此类推。若正方形A的面积为64 cm²，则正方形E的面积为
4
cm²。答案
6.4 cm²
解析
【分析】
解题时可结合勾股定理与等腰直角三角形的性质推导面积变化规律：首先正方形面积等于边长的平方，观察图形可知，相邻两层的正方形以等腰直角三角形连接，根据勾股定理，等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即两个相邻小正方形的面积之和等于对应上层大正方形的面积；又因为等腰直角三角形两条直角边相等，因此单个下层正方形的面积是上层正方形面积的一半。只需确定从正方形A到E的层数变化，即可求出E的面积。
【解析】
已知正方形A的面积$ S_A = 64\ \mathrm{cm}^2 $。
根据勾股定理和等腰直角三角形的性质，每一层单个正方形的面积为上一层正方形面积的$\frac{1}{2}$：
1. 正方形B的面积：$ S_B = S_A ÷ 2 = 64 ÷ 2 = 32\ \mathrm{cm}^2 $
2. 正方形C的面积：$ S_C = S_B ÷ 2 = 32 ÷ 2 = 16\ \mathrm{cm}^2 $
3. 正方形D的面积：$ S_D = S_C ÷ 2 = 16 ÷ 2 = 8\ \mathrm{cm}^2 $
4. 正方形E的面积：$ S_E = S_D ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
4 cm²
【知识点】
勾股定理，等腰直角三角形的性质，图形规律探究
【点评】
本题是勾股定理在图形规律问题中的典型应用，核心是建立正方形面积和等腰直角三角形三边平方的对应关系，找到面积的递推规律即可解题，避免了反复计算边长的繁琐。
【难度系数】
0.7
解题时可结合勾股定理与等腰直角三角形的性质推导面积变化规律：首先正方形面积等于边长的平方，观察图形可知，相邻两层的正方形以等腰直角三角形连接，根据勾股定理，等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即两个相邻小正方形的面积之和等于对应上层大正方形的面积；又因为等腰直角三角形两条直角边相等，因此单个下层正方形的面积是上层正方形面积的一半。只需确定从正方形A到E的层数变化，即可求出E的面积。
【解析】
已知正方形A的面积$ S_A = 64\ \mathrm{cm}^2 $。
根据勾股定理和等腰直角三角形的性质，每一层单个正方形的面积为上一层正方形面积的$\frac{1}{2}$：
1. 正方形B的面积：$ S_B = S_A ÷ 2 = 64 ÷ 2 = 32\ \mathrm{cm}^2 $
2. 正方形C的面积：$ S_C = S_B ÷ 2 = 32 ÷ 2 = 16\ \mathrm{cm}^2 $
3. 正方形D的面积：$ S_D = S_C ÷ 2 = 16 ÷ 2 = 8\ \mathrm{cm}^2 $
4. 正方形E的面积：$ S_E = S_D ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
4 cm²
【知识点】
勾股定理，等腰直角三角形的性质，图形规律探究
【点评】
本题是勾股定理在图形规律问题中的典型应用，核心是建立正方形面积和等腰直角三角形三边平方的对应关系，找到面积的递推规律即可解题，避免了反复计算边长的繁琐。
【难度系数】
0.7
7.如图，$S_1$和$S_2$分别为正方形ABCD和正方形AEFG的面积，点B在EF上。若$S_1=140$，$S_2=124$，则EB的长为
（第7题）
4
。（第7题）答案
7.4
解析
【分析】
解题时首先回忆正方形的性质：正方形的面积等于边长的平方，且正方形的内角均为直角。观察图形可知△ABE是直角三角形，∠E为直角，要求EB的长，可先通过两个正方形的面积得到Rt△ABE中AB和AE的平方值，再利用勾股定理计算EB的长度即可。
【解析】
解：
∵ 正方形ABCD的面积为$S_1=140$，
∴ $AB^2 = S_1 = 140$，
∵ 正方形AEFG的面积为$S_2=124$，
∴ $AE^2 = S_2 = 124$，
∵ 四边形AEFG是正方形，
∴ $∠ E = 90°$，即$△ ABE$是直角三角形，
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AB^2 = AE^2 + EB^2$，
∴ $EB^2 = AB^2 - AE^2 = 140 - 124 = 16$，
∵ $EB＞0$，
∴ $EB = \sqrt{16} = 4$。
【答案】
4
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是建立正方形面积与直角三角形边长平方的关联，再借助勾股定理求解未知边长，对几何图形的性质结合应用能力有一定考察。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正方形的性质：正方形的面积等于边长的平方，且正方形的内角均为直角。观察图形可知△ABE是直角三角形，∠E为直角，要求EB的长，可先通过两个正方形的面积得到Rt△ABE中AB和AE的平方值，再利用勾股定理计算EB的长度即可。
【解析】
解：
∵ 正方形ABCD的面积为$S_1=140$，
∴ $AB^2 = S_1 = 140$，
∵ 正方形AEFG的面积为$S_2=124$，
∴ $AE^2 = S_2 = 124$，
∵ 四边形AEFG是正方形，
∴ $∠ E = 90°$，即$△ ABE$是直角三角形，
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AB^2 = AE^2 + EB^2$，
∴ $EB^2 = AB^2 - AE^2 = 140 - 124 = 16$，
∵ $EB＞0$，
∴ $EB = \sqrt{16} = 4$。
【答案】
4
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是建立正方形面积与直角三角形边长平方的关联，再借助勾股定理求解未知边长，对几何图形的性质结合应用能力有一定考察。
【难度系数】
0.7
