登录
8. 提升题 物理课上，老师带领科技小组的同学开展实验。同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降。实验初始状态如图①所示，物体C静止在地面上，它到滑块B的水平距离是6 dm，到定滑轮A的垂直距离是8 dm。（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小均忽略不计）
(1)绳子的总长度为
(2)如图②，若物体C升高7 dm，求滑块B向左滑动的距离。
(1)绳子的总长度为
18
dm。(2)如图②，若物体C升高7 dm，求滑块B向左滑动的距离。
答案
8.(1)18 dm
(2)解:如答图,根据题意,得 $CC_1 = 7\ \mathrm{dm}$,
$AC_1=8\ \mathrm{dm}$。
所以 $AC=AC_1-CC_1=8-7=1(\mathrm{dm})$。
由(1)得,绳子的总长度为 18 dm,
所以 $AB=18-AC=18-1=17(\mathrm{dm})$。
由勾股定理,得 $AB^2=AC_1^2+BC_1^2$。
所以 $BC_1^2=17^2-8^2=225$。
所以 $BC_1=15\ \mathrm{dm}$。
所以 $BB_1=BC_1-B_1C_1=15-6=9(\mathrm{dm})$。
答:滑块 B 向左滑动的距离为 9 dm。
解析
【分析】
(1) 求解初始绳子总长度时，可将绳子分为AB、AC两段计算：初始状态下AC垂直地面，长度为8dm，滑块B和物体C的水平距离为6dm，因此△ABC为直角三角形，可先用勾股定理算出斜边AB的长度，再将AB与AC的长度相加即可得到绳子总长度。
(2) 求解滑块B向左滑动的距离时，首先明确两个不变量：绳子总长度始终为18dm，定滑轮A到地面的垂直高度始终为8dm。当物体C升高7dm后，先计算出此时AC段的长度，用绳子总长减去AC长度得到新的AB段长度；再将新的AB作为斜边，A到地面的垂直高度作为直角边，用勾股定理算出此时B到C初始位置的水平距离，最后减去初始的水平距离6dm，即可得到滑块滑动的距离。
【解析】
(1) 初始状态下，AC⊥BC，AC=8dm，BC=6dm。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\ \mathrm{dm}$
因此绳子总长度为 $AB + AC = 10 + 8 = 18\ \mathrm{dm}$。
(2) 当物体C升高7dm时，此时AC的长度为 $8 - 7 = 1\ \mathrm{dm}$。
由于绳子总长不变，因此此时AB段的长度为 $18 - 1 = 17\ \mathrm{dm}$。
设定滑轮A在地面的投影为C₁（即C的初始位置），则AC₁=8dm，设此时B到C₁的水平距离为$BC_1$，在Rt△ABC₁中，由勾股定理得：
$BC_1^2 + AC_1^2 = AB^2$
代入数值：$BC_1^2 + 8^2 = 17^2$
解得$BC_1^2 = 289 - 64 = 225$，即$BC_1 = 15\ \mathrm{dm}$（长度为正，舍去负根）。
初始时B到C₁的水平距离为6dm，因此滑块B向左滑动的距离为 $15 - 6 = 9\ \mathrm{dm}$。
【答案】
(1) 18 dm
(2) 滑块B向左滑动的距离为9 dm。
【知识点】
勾股定理的应用，动态几何定值分析，线段长度计算
【点评】
本题结合物理实验场景考查几何知识的实际应用，解题核心是准确识别问题中的不变量，再结合勾股定理计算变化的线段长度，能够锻炼学生的问题分析能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解初始绳子总长度时，可将绳子分为AB、AC两段计算：初始状态下AC垂直地面，长度为8dm，滑块B和物体C的水平距离为6dm，因此△ABC为直角三角形，可先用勾股定理算出斜边AB的长度，再将AB与AC的长度相加即可得到绳子总长度。
(2) 求解滑块B向左滑动的距离时，首先明确两个不变量：绳子总长度始终为18dm，定滑轮A到地面的垂直高度始终为8dm。当物体C升高7dm后，先计算出此时AC段的长度，用绳子总长减去AC长度得到新的AB段长度；再将新的AB作为斜边，A到地面的垂直高度作为直角边，用勾股定理算出此时B到C初始位置的水平距离，最后减去初始的水平距离6dm，即可得到滑块滑动的距离。
【解析】
(1) 初始状态下，AC⊥BC，AC=8dm，BC=6dm。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\ \mathrm{dm}$
因此绳子总长度为 $AB + AC = 10 + 8 = 18\ \mathrm{dm}$。
(2) 当物体C升高7dm时，此时AC的长度为 $8 - 7 = 1\ \mathrm{dm}$。
由于绳子总长不变，因此此时AB段的长度为 $18 - 1 = 17\ \mathrm{dm}$。
设定滑轮A在地面的投影为C₁（即C的初始位置），则AC₁=8dm，设此时B到C₁的水平距离为$BC_1$，在Rt△ABC₁中，由勾股定理得：
$BC_1^2 + AC_1^2 = AB^2$
代入数值：$BC_1^2 + 8^2 = 17^2$
解得$BC_1^2 = 289 - 64 = 225$，即$BC_1 = 15\ \mathrm{dm}$（长度为正，舍去负根）。
初始时B到C₁的水平距离为6dm，因此滑块B向左滑动的距离为 $15 - 6 = 9\ \mathrm{dm}$。
【答案】
(1) 18 dm
(2) 滑块B向左滑动的距离为9 dm。
【知识点】
勾股定理的应用，动态几何定值分析，线段长度计算
【点评】
本题结合物理实验场景考查几何知识的实际应用，解题核心是准确识别问题中的不变量，再结合勾股定理计算变化的线段长度，能够锻炼学生的问题分析能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
9. 提升题 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ ACB = 90°$，$AB = 10\ \mathrm{cm}$，$AC = 6\ \mathrm{cm}$。动点$P$从点$B$出发，沿射线$BC$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动。设运动时间为$t\ \mathrm{s}$。
(1)$BC$的长为
(2)当$△ ABP$为直角三角形时，求$t$的值。
(1)$BC$的长为
8
$\mathrm{cm}$。(2)当$△ ABP$为直角三角形时，求$t$的值。
答案
9.(1)8 cm
(2)解:由题意可知,$BP=2t\ \mathrm{cm}$。分两种情况讨论：
①当$∠APB$为直角时(图略),点 P 与点 C 重合,$BP=BC=8\ \mathrm{cm}$,即 $t=4$；
②当$∠BAP$为直角时(图略),$BP=2t\ \mathrm{cm}$,$CP=(2t-8)\mathrm{cm}$,$AC=6\ \mathrm{cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ACP$ 中,$AP^2=6^2+(2t-8)^2$,
在 $\mathrm{Rt}△BAP$ 中,$AB^2+AP^2=BP^2$,
所以 $10^2+6^2+(2t-8)^2=(2t)^2$,
解得 $t=\dfrac{25}{4}$。
故当$△ABP$ 为直角三角形时,$t=4$ 或 $\dfrac{25}{4}$。
解析
【分析】
(1) 第一问已知Rt△ABC的斜边AB和直角边AC，直接利用勾股定理即可求出BC的长度。
(2) 第二问△ABP为直角三角形时，直角顶点未明确，需分两种情况讨论：①直角顶点为点P，此时AP⊥BC，结合已知AC⊥BC，可知点P与点C重合，据此求出BP长度后即可计算t；②直角顶点为点A，此时∠BAP=90°，分别在Rt△ACP和Rt△ABP中用勾股定理表示AP²，结合等量关系列方程求解即可，注意点P沿射线BC运动，可运动到点C右侧。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{cm}$。
(2) 由题意得，动点P的运动路程$BP=2t\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
① 当$∠APB$为直角时，此时$AP⊥BC$，
∵$AC⊥BC$，
∴点P与点C重合，
∴$BP=BC=8\ \mathrm{cm}$，即$2t=8$，解得$t=4$；
② 当$∠BAP$为直角时，此时点P在点C的右侧，$CP=BP-BC=(2t-8)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ACP$中，由勾股定理得：$AP^2=AC^2+CP^2=6^2+(2t-8)^2$，
在$\mathrm{Rt}△BAP$中，由勾股定理得：$BP^2=AB^2+AP^2$，
将$AP^2$代入得：$(2t)^2=10^2+6^2+(2t-8)^2$，
展开整理得：$4t^2=136+4t^2-32t+64$，
消去$4t^2$后解得：$32t=200$，即$t=\frac{25}{4}$。
综上，当△ABP为直角三角形时，t的值为4或$\frac{25}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$
(2) $t$的值为$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{\dfrac{25}{4}}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；动点问题求解
【点评】
本题结合动点场景考查勾股定理的应用，解题的核心是对直角三角形的直角顶点进行分类讨论，避免出现漏解的情况，同时要注意动点沿射线运动的特征，准确表示线段长度并列方程计算。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问已知Rt△ABC的斜边AB和直角边AC，直接利用勾股定理即可求出BC的长度。
(2) 第二问△ABP为直角三角形时，直角顶点未明确，需分两种情况讨论：①直角顶点为点P，此时AP⊥BC，结合已知AC⊥BC，可知点P与点C重合，据此求出BP长度后即可计算t；②直角顶点为点A，此时∠BAP=90°，分别在Rt△ACP和Rt△ABP中用勾股定理表示AP²，结合等量关系列方程求解即可，注意点P沿射线BC运动，可运动到点C右侧。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{cm}$。
(2) 由题意得，动点P的运动路程$BP=2t\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
① 当$∠APB$为直角时，此时$AP⊥BC$，
∵$AC⊥BC$，
∴点P与点C重合，
∴$BP=BC=8\ \mathrm{cm}$，即$2t=8$，解得$t=4$；
② 当$∠BAP$为直角时，此时点P在点C的右侧，$CP=BP-BC=(2t-8)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ACP$中，由勾股定理得：$AP^2=AC^2+CP^2=6^2+(2t-8)^2$，
在$\mathrm{Rt}△BAP$中，由勾股定理得：$BP^2=AB^2+AP^2$，
将$AP^2$代入得：$(2t)^2=10^2+6^2+(2t-8)^2$，
展开整理得：$4t^2=136+4t^2-32t+64$，
消去$4t^2$后解得：$32t=200$，即$t=\frac{25}{4}$。
综上，当△ABP为直角三角形时，t的值为4或$\frac{25}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$
(2) $t$的值为$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{\dfrac{25}{4}}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；动点问题求解
【点评】
本题结合动点场景考查勾股定理的应用，解题的核心是对直角三角形的直角顶点进行分类讨论，避免出现漏解的情况，同时要注意动点沿射线运动的特征，准确表示线段长度并列方程计算。
【难度系数】
0.6
