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1.如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B与点C的距离为5。如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B,那么它爬行的最短距离是(
A.20
B.25
C.30
D.35
B
)A.20
B.25
C.30
D.35
答案
1.B
解析
【分析】
要解决长方体表面的最短爬行路径问题，核心思路是“化立体为平面”：蚂蚁只能沿长方体表面爬行，因此我们需要将长方体的相关面展开到同一平面内，根据“两点之间，线段最短”，此时A、B两点的线段长度就是该展开方式下的最短路径，再计算不同展开方式下的路径长度，比较后取最小值即可。
【解析】
我们分情况讨论不同的展开方式：
情况1：将长方体上表面与正面展开到同一平面，此时两点组成的直角三角形的两条直角边分别为：
水平边：$10+5=15$，竖直边：$20$
根据勾股定理，路径长为$\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25$
情况2：将长方体右侧面与上表面展开到同一平面，此时直角三角形的两条直角边分别为：$15$，$20+5=25$
路径长为$\sqrt{15^2+25^2}=\sqrt{225+625}=\sqrt{850}\approx29.15＞25$
情况3：将长方体右侧面与正面展开到同一平面，此时直角三角形的两条直角边分别为：$5$，$20+10=30$
路径长为$\sqrt{5^2+30^2}=\sqrt{25+900}=\sqrt{925}\approx30.41＞25$
比较三种情况的路径长度，最短距离为25。
【答案】
B
【知识点】
平面展开最短路径，勾股定理，两点之间线段最短
【点评】
本题是立体图形表面最短路径问题的典型考法，解题关键是将立体图形转化为平面图形求解，注意要枚举所有可能的展开方式，计算后比较得到最短路径，避免因漏算展开方式选错答案。
【难度系数】
0.7
要解决长方体表面的最短爬行路径问题，核心思路是“化立体为平面”：蚂蚁只能沿长方体表面爬行，因此我们需要将长方体的相关面展开到同一平面内，根据“两点之间，线段最短”，此时A、B两点的线段长度就是该展开方式下的最短路径，再计算不同展开方式下的路径长度，比较后取最小值即可。
【解析】
我们分情况讨论不同的展开方式：
情况1：将长方体上表面与正面展开到同一平面，此时两点组成的直角三角形的两条直角边分别为：
水平边：$10+5=15$，竖直边：$20$
根据勾股定理，路径长为$\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25$
情况2：将长方体右侧面与上表面展开到同一平面，此时直角三角形的两条直角边分别为：$15$，$20+5=25$
路径长为$\sqrt{15^2+25^2}=\sqrt{225+625}=\sqrt{850}\approx29.15＞25$
情况3：将长方体右侧面与正面展开到同一平面，此时直角三角形的两条直角边分别为：$5$，$20+10=30$
路径长为$\sqrt{5^2+30^2}=\sqrt{25+900}=\sqrt{925}\approx30.41＞25$
比较三种情况的路径长度，最短距离为25。
【答案】
B
【知识点】
平面展开最短路径，勾股定理，两点之间线段最短
【点评】
本题是立体图形表面最短路径问题的典型考法，解题关键是将立体图形转化为平面图形求解，注意要枚举所有可能的展开方式，计算后比较得到最短路径，避免因漏算展开方式选错答案。
【难度系数】
0.7
2.如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S处。若BC=6，点P移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为(
A.4
B.$4π$
C.8
D.10
C
)A.4
B.$4π$
C.8
D.10
答案
2.C
解析
【分析】
要求圆柱侧面上动点P从A到S的最短路径对应的底面周长，需用到“化曲为直”的思路：将圆柱侧面展开为平面长方形，根据两点之间线段最短，最短路径就是展开后A、S两点连线的长度，再结合勾股定理计算底面周长即可。首先明确已知：S是BC中点，故BS=3，最短路径长为5，展开后A到S的连线与BS、底面半周长构成直角三角形，利用勾股定理先求出半周长，再得到总周长。
【解析】
1. 将圆柱侧面沿高AD剪开，展开得到长方形，该长方形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高BC=6。
2. 由于点A和点B是底面直径的两个端点，因此展开后A点到B点对应的水平长度为底面周长的一半，设圆柱底面周长为$ C $，则该水平长度为$ \frac{C}{2} $。
3. 因为S是BC的中点，所以$ BS=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3 $。
4. 展开后A到S的最短路径为线段AS，长度为5，此时线段AS、BS、水平半周长构成直角三角形，由勾股定理可得：
$(\frac{C}{2})^2 + BS^2 = AS^2$
代入数值：
$(\frac{C}{2})^2 + 3^2 = 5^2$
计算得：
$(\frac{C}{2})^2=25-9=16$
因为长度为正，所以$ \frac{C}{2}=4 $，解得$ C=8 $。
【答案】
C
【知识点】
圆柱侧面展开图；勾股定理；最短路径计算
【点评】
本题是立体图形最短路径问题的典型考法，核心是掌握“化曲为直”的转化思想，将曲面的路径问题转化为平面内的线段长度问题，结合勾股定理即可快速求解，解题时要注意区分展开后水平距离是半周长还是全周长，避免出错。
【难度系数】
0.7
要求圆柱侧面上动点P从A到S的最短路径对应的底面周长，需用到“化曲为直”的思路：将圆柱侧面展开为平面长方形，根据两点之间线段最短，最短路径就是展开后A、S两点连线的长度，再结合勾股定理计算底面周长即可。首先明确已知：S是BC中点，故BS=3，最短路径长为5，展开后A到S的连线与BS、底面半周长构成直角三角形，利用勾股定理先求出半周长，再得到总周长。
【解析】
1. 将圆柱侧面沿高AD剪开，展开得到长方形，该长方形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高BC=6。
2. 由于点A和点B是底面直径的两个端点，因此展开后A点到B点对应的水平长度为底面周长的一半，设圆柱底面周长为$ C $，则该水平长度为$ \frac{C}{2} $。
3. 因为S是BC的中点，所以$ BS=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3 $。
4. 展开后A到S的最短路径为线段AS，长度为5，此时线段AS、BS、水平半周长构成直角三角形，由勾股定理可得：
$(\frac{C}{2})^2 + BS^2 = AS^2$
代入数值：
$(\frac{C}{2})^2 + 3^2 = 5^2$
计算得：
$(\frac{C}{2})^2=25-9=16$
因为长度为正，所以$ \frac{C}{2}=4 $，解得$ C=8 $。
【答案】
C
【知识点】
圆柱侧面展开图；勾股定理；最短路径计算
【点评】
本题是立体图形最短路径问题的典型考法，核心是掌握“化曲为直”的转化思想，将曲面的路径问题转化为平面内的线段长度问题，结合勾股定理即可快速求解，解题时要注意区分展开后水平距离是半周长还是全周长，避免出错。
【难度系数】
0.7
3.如图，一个二级台阶的每一级台阶的长、宽、高分别为60 cm，30 cm，10 cm。A和B是台阶上两个相对的端点。若点B处有一只蚂蚁想去点A处觅食，则蚂蚁爬行的最短路程是（
A.60 cm
B.80 cm
C.100 cm
D.140 cm
C
）A.60 cm
B.80 cm
C.100 cm
D.140 cm
答案
3.C
解析
【分析】
要求立体台阶上蚂蚁爬行的最短路程，需遵循“化立体为平面”的思路：首先将台阶的各个面展开到同一平面内，根据两点之间线段最短，可知最短路径就是展开后A、B两点的连线段，再利用勾股定理计算该线段长度即可。展开时要注意准确计算两条直角边的长度：一条是台阶的长60cm，另一条是两级台阶的总宽度与总高度之和。
【解析】
将二级台阶的表面展开为平面图形，连接A、B两点，此时线段AB的长度即为蚂蚁爬行的最短路程。
第一步，计算展开后直角三角形的两条直角边长度：
① 一条直角边为台阶的长度：60 cm；
② 另一条直角边为两级台阶的水平总宽度加竖直总高度：$30× 2 + 10× 2 = 80$ cm。
第二步，根据勾股定理计算AB的长度：
$AB = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100 \mathrm{ cm}$
因此蚂蚁爬行的最短路程是100 cm。
【答案】
C
【知识点】
1.最短路径问题 2.立体图形展开 3.勾股定理
【点评】
本题是勾股定理解决实际问题的典型题型，核心解题技巧是将立体表面的路径问题转化为平面内的线段长度计算，解题时需注意展开后对应边长的准确求和，避免漏算台阶的宽或高导致出错。
【难度系数】
0.7
要求立体台阶上蚂蚁爬行的最短路程，需遵循“化立体为平面”的思路：首先将台阶的各个面展开到同一平面内，根据两点之间线段最短，可知最短路径就是展开后A、B两点的连线段，再利用勾股定理计算该线段长度即可。展开时要注意准确计算两条直角边的长度：一条是台阶的长60cm，另一条是两级台阶的总宽度与总高度之和。
【解析】
将二级台阶的表面展开为平面图形，连接A、B两点，此时线段AB的长度即为蚂蚁爬行的最短路程。
第一步，计算展开后直角三角形的两条直角边长度：
① 一条直角边为台阶的长度：60 cm；
② 另一条直角边为两级台阶的水平总宽度加竖直总高度：$30× 2 + 10× 2 = 80$ cm。
第二步，根据勾股定理计算AB的长度：
$AB = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100 \mathrm{ cm}$
因此蚂蚁爬行的最短路程是100 cm。
【答案】
C
【知识点】
1.最短路径问题 2.立体图形展开 3.勾股定理
【点评】
本题是勾股定理解决实际问题的典型题型，核心解题技巧是将立体表面的路径问题转化为平面内的线段长度计算，解题时需注意展开后对应边长的准确求和，避免漏算台阶的宽或高导致出错。
【难度系数】
0.7
4. 提升题 葛属于藤本植物，自身无法直立生长。为获取充足的光照，葛藤常沿圆柱形树干向上生长，且总是沿着
最短路线盘旋上升。请结合情境解答下列问题(假设树干为圆柱形)。
(1)如图，若树干底面周长为3 dm，葛藤从点A绕树干1圈到点B，竖直升高了4 dm，则葛藤绕树干盘旋上升1圈的最短路程是多少分米？
(2)若树干底面周长为8 dm，葛藤绕树干1圈的路程为10 dm，则绕树干1圈竖直升高多少分米？若绕树干10圈到达树顶，则树干的高为多少分米？
（第4题）
最短路线盘旋上升。请结合情境解答下列问题(假设树干为圆柱形)。
(1)如图，若树干底面周长为3 dm，葛藤从点A绕树干1圈到点B，竖直升高了4 dm，则葛藤绕树干盘旋上升1圈的最短路程是多少分米？
(2)若树干底面周长为8 dm，葛藤绕树干1圈的路程为10 dm，则绕树干1圈竖直升高多少分米？若绕树干10圈到达树顶，则树干的高为多少分米？
（第4题）答案
解:(1)如答图①，将树干的一部分沿侧面展开，得到长方形ACBD，则长方形的对角线AB的长为最短路程。根据题意，得AC=3 dm，BC=4 dm。由勾股定理，得$AB^2=3^2+4^2$。解得AB=5(dm)。
答:葛藤绕树干盘旋上升1圈的最短路程是5 dm。
(2)如答图②，同(1)得到长方形ACBD。根据题意，得AC=8 dm，AB=10 dm。由勾股定理，得$8^2+BC^2=10^2$。解得BC=6(dm)，即葛藤绕树干1圈竖直升高6 dm。若绕树干10圈到达树顶，则树干的高为$10×6=60$(dm)。
答:绕树干1圈竖直升高6 dm；若绕树干10圈到达树顶，则树干的高为60 dm。
解析
【分析】
解决这类圆柱侧面的最短路径问题，核心是运用“化曲为直”的转化思想：首先将圆柱的侧面沿高展开为长方形，此时两点之间的线段就是最短路径，对应长方形的对角线。其中长方形的长等于圆柱底面周长，宽等于葛藤绕树干1圈竖直升高的高度，再结合勾股定理即可求解相关边长：
(1) 已知底面周长和升高的高度，直接用勾股定理求对角线长度即最短路程；
(2) 已知底面周长和路径长度，用勾股定理逆推升高的高度，再乘以圈数即可得到树干总高度。
【解析】
(1) 将树干的侧面沿竖直方向展开，得到长方形ACBD，葛藤的最短路径为长方形的对角线AB。
由题意可知，长方形的长AC等于底面周长，即AC=3 dm，长方形的宽BC等于竖直升高的高度，即BC=4 dm。
在Rt△ABC中，根据勾股定理：$AB^2=AC^2+BC^2$，代入数值可得$AB^2=3^2+4^2=25$，解得AB=5(dm)。
(2) 同理展开树干侧面得到长方形ACBD，由题意得AC=8 dm，路径长AB=10 dm。
在Rt△ABC中，根据勾股定理：$AC^2+BC^2=AB^2$，代入数值得$8^2+BC^2=10^2$，即$BC^2=100-64=36$，解得BC=6(dm)，即绕1圈竖直升高6 dm。
绕10圈的总高度为$10×6=60$(dm)。
【答案】
解:(1)如答图①，将树干的一部分沿侧面展开，得到长方形ACBD，则长方形的对角线AB的长为最短路程。根据题意，得AC=3 dm，BC=4 dm。由勾股定理，得$AB^2=3^2+4^2$。解得AB=5(dm)。
答:葛藤绕树干盘旋上升1圈的最短路程是5 dm。
(2)如答图②，同(1)得到长方形ACBD。根据题意，得AC=8 dm，AB=10 dm。由勾股定理，得$8^2+BC^2=10^2$。解得BC=6(dm)，即葛藤绕树干1圈竖直升高6 dm。若绕树干10圈到达树顶，则树干的高为$10×6=60$(dm)。
答:绕树干1圈竖直升高6 dm；若绕树干10圈到达树顶，则树干的高为60 dm。
【知识点】
1. 圆柱侧面展开图
2. 勾股定理
3. 最短路径求解
【点评】
本题结合生活实际场景，考查了将立体曲面问题转化为平面图形问题的转化思想，解题关键是明确圆柱侧面展开后长方形各边与实际量的对应关系，再用勾股定理计算，能很好地锻炼学生的空间想象能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
解决这类圆柱侧面的最短路径问题，核心是运用“化曲为直”的转化思想：首先将圆柱的侧面沿高展开为长方形，此时两点之间的线段就是最短路径，对应长方形的对角线。其中长方形的长等于圆柱底面周长，宽等于葛藤绕树干1圈竖直升高的高度，再结合勾股定理即可求解相关边长：
(1) 已知底面周长和升高的高度，直接用勾股定理求对角线长度即最短路程；
(2) 已知底面周长和路径长度，用勾股定理逆推升高的高度，再乘以圈数即可得到树干总高度。
【解析】
(1) 将树干的侧面沿竖直方向展开，得到长方形ACBD，葛藤的最短路径为长方形的对角线AB。
由题意可知，长方形的长AC等于底面周长，即AC=3 dm，长方形的宽BC等于竖直升高的高度，即BC=4 dm。
在Rt△ABC中，根据勾股定理：$AB^2=AC^2+BC^2$，代入数值可得$AB^2=3^2+4^2=25$，解得AB=5(dm)。
(2) 同理展开树干侧面得到长方形ACBD，由题意得AC=8 dm，路径长AB=10 dm。
在Rt△ABC中，根据勾股定理：$AC^2+BC^2=AB^2$，代入数值得$8^2+BC^2=10^2$，即$BC^2=100-64=36$，解得BC=6(dm)，即绕1圈竖直升高6 dm。
绕10圈的总高度为$10×6=60$(dm)。
【答案】
解:(1)如答图①，将树干的一部分沿侧面展开，得到长方形ACBD，则长方形的对角线AB的长为最短路程。根据题意，得AC=3 dm，BC=4 dm。由勾股定理，得$AB^2=3^2+4^2$。解得AB=5(dm)。
答:葛藤绕树干盘旋上升1圈的最短路程是5 dm。
(2)如答图②，同(1)得到长方形ACBD。根据题意，得AC=8 dm，AB=10 dm。由勾股定理，得$8^2+BC^2=10^2$。解得BC=6(dm)，即葛藤绕树干1圈竖直升高6 dm。若绕树干10圈到达树顶，则树干的高为$10×6=60$(dm)。
答:绕树干1圈竖直升高6 dm；若绕树干10圈到达树顶，则树干的高为60 dm。
【知识点】
1. 圆柱侧面展开图
2. 勾股定理
3. 最短路径求解
【点评】
本题结合生活实际场景，考查了将立体曲面问题转化为平面图形问题的转化思想，解题关键是明确圆柱侧面展开后长方形各边与实际量的对应关系，再用勾股定理计算，能很好地锻炼学生的空间想象能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
