登录
13. (★★★)(1)如图,已知$∠ AOB=90°$,$∠ BOC=30°$,$OM$平分$∠ AOC$,$ON$平分$∠ BOC$,求$∠ MON$的度数；
(2)如果(1)中$∠ AOB=∠ α$,其他条件不变,求$∠ MON$的度数；
(3)如果(1)中$∠ AOB=∠ α$,$∠ BOC=∠ β$,其他条件不变,求$∠ MON$的度数；
(4)从(1)(2)(3)的结果中,你能得出什么结论？
(2)如果(1)中$∠ AOB=∠ α$,其他条件不变,求$∠ MON$的度数；
(3)如果(1)中$∠ AOB=∠ α$,$∠ BOC=∠ β$,其他条件不变,求$∠ MON$的度数；
(4)从(1)(2)(3)的结果中,你能得出什么结论？
答案
解：
(1) 因为∠AOB=90°，∠BOC=30°，
所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°。
因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=15°，
所以∠MON=∠MOC - ∠NOC=60°-15°=45°。
(2) 因为∠AOB=∠α，∠BOC=30°，
所以∠AOC=∠α + 30°。
因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠α + 30°)，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=15°，
所以∠MON=$\frac{1}{2}$(∠α + 30°) - 15°=$\frac{1}{2}$∠α。
(3) 因为∠AOB=∠α，∠BOC=∠β，
所以∠AOC=∠α + ∠β。
因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠α + ∠β)，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$∠β，
所以∠MON=$\frac{1}{2}$(∠α + ∠β) - $\frac{1}{2}$∠β=$\frac{1}{2}$∠α。
(4) 结论：当OC在∠AOB外部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC时，∠MON的度数总等于∠AOB度数的一半，与∠BOC的大小无关。
(1) 因为∠AOB=90°，∠BOC=30°，
所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°。
因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=15°，
所以∠MON=∠MOC - ∠NOC=60°-15°=45°。
(2) 因为∠AOB=∠α，∠BOC=30°，
所以∠AOC=∠α + 30°。
因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠α + 30°)，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=15°，
所以∠MON=$\frac{1}{2}$(∠α + 30°) - 15°=$\frac{1}{2}$∠α。
(3) 因为∠AOB=∠α，∠BOC=∠β，
所以∠AOC=∠α + ∠β。
因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠α + ∠β)，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$∠β，
所以∠MON=$\frac{1}{2}$(∠α + ∠β) - $\frac{1}{2}$∠β=$\frac{1}{2}$∠α。
(4) 结论：当OC在∠AOB外部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC时，∠MON的度数总等于∠AOB度数的一半，与∠BOC的大小无关。
解析
【分析】
这是角的计算与规律探究类题目，解题思路统一：首先观察图形可得$∠ MON=∠ MOC-∠ NOC$，因此先求出$∠ AOC$的度数，再利用角平分线的性质，分别求出$∠ MOC$（$∠ AOC$的一半）和$∠ NOC$（$∠ BOC$的一半），最后作差即可得到$∠ MON$的度数。前三问从具体数值到字母参数，计算方法完全一致，最后通过前三问的结果归纳出通用规律即可。
【解析】
(1) 因为$∠ AOB=90°$，$∠ BOC=30°$，
所以$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=90°+30°=120°$。
因为$OM$平分$∠ AOC$，$ON$平分$∠ BOC$，
所以$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×120°=60°$，$∠ NOC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×30°=15°$，
所以$∠ MON=∠ MOC - ∠ NOC=60°-15°=45°$。
(2) 因为$∠ AOB=∠ α$，$∠ BOC=30°$，
所以$∠ AOC=∠ α + 30°$。
因为$OM$平分$∠ AOC$，$ON$平分$∠ BOC$，
所以$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(∠ α + 30°)$，$∠ NOC=\frac{1}{2}∠ BOC=15°$，
所以$∠ MON=\frac{1}{2}(∠ α + 30°) - 15°=\frac{1}{2}∠ α$。
(3) 因为$∠ AOB=∠ α$，$∠ BOC=∠ β$，
所以$∠ AOC=∠ α + ∠ β$。
因为$OM$平分$∠ AOC$，$ON$平分$∠ BOC$，
所以$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(∠ α + ∠ β)$，$∠ NOC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}∠ β$，
所以$∠ MON=\frac{1}{2}(∠ α + ∠ β) - \frac{1}{2}∠ β=\frac{1}{2}∠ α$。
(4) 从前三问的结果可总结规律：当OC在∠AOB外部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC时，∠MON的度数总等于∠AOB度数的一半，与∠BOC的大小无关。
【答案】
(1) $\boxed{45°}$；
(2) $\boxed{\frac{1}{2}∠ α}$；
(3) $\boxed{\frac{1}{2}∠ α}$；
(4) $\boxed{∠ MON=\frac{1}{2}∠ AOB}$（OC在∠AOB外部，OM平分∠AOC、ON平分∠BOC时，结果与∠BOC大小无关）。
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 角的和差计算
3. 规律归纳探究
【点评】
本题是角计算的经典题型，遵循从特殊到一般的探究逻辑，既考查了角平分线性质、角的和差计算等基础知识点，又锻炼了归纳总结的思维能力，掌握本题的解题方法可举一反三解决同类角计算问题。
【难度系数】
0.6
这是角的计算与规律探究类题目，解题思路统一：首先观察图形可得$∠ MON=∠ MOC-∠ NOC$，因此先求出$∠ AOC$的度数，再利用角平分线的性质，分别求出$∠ MOC$（$∠ AOC$的一半）和$∠ NOC$（$∠ BOC$的一半），最后作差即可得到$∠ MON$的度数。前三问从具体数值到字母参数，计算方法完全一致，最后通过前三问的结果归纳出通用规律即可。
【解析】
(1) 因为$∠ AOB=90°$，$∠ BOC=30°$，
所以$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=90°+30°=120°$。
因为$OM$平分$∠ AOC$，$ON$平分$∠ BOC$，
所以$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×120°=60°$，$∠ NOC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×30°=15°$，
所以$∠ MON=∠ MOC - ∠ NOC=60°-15°=45°$。
(2) 因为$∠ AOB=∠ α$，$∠ BOC=30°$，
所以$∠ AOC=∠ α + 30°$。
因为$OM$平分$∠ AOC$，$ON$平分$∠ BOC$，
所以$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(∠ α + 30°)$，$∠ NOC=\frac{1}{2}∠ BOC=15°$，
所以$∠ MON=\frac{1}{2}(∠ α + 30°) - 15°=\frac{1}{2}∠ α$。
(3) 因为$∠ AOB=∠ α$，$∠ BOC=∠ β$，
所以$∠ AOC=∠ α + ∠ β$。
因为$OM$平分$∠ AOC$，$ON$平分$∠ BOC$，
所以$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(∠ α + ∠ β)$，$∠ NOC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}∠ β$，
所以$∠ MON=\frac{1}{2}(∠ α + ∠ β) - \frac{1}{2}∠ β=\frac{1}{2}∠ α$。
(4) 从前三问的结果可总结规律：当OC在∠AOB外部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC时，∠MON的度数总等于∠AOB度数的一半，与∠BOC的大小无关。
【答案】
(1) $\boxed{45°}$；
(2) $\boxed{\frac{1}{2}∠ α}$；
(3) $\boxed{\frac{1}{2}∠ α}$；
(4) $\boxed{∠ MON=\frac{1}{2}∠ AOB}$（OC在∠AOB外部，OM平分∠AOC、ON平分∠BOC时，结果与∠BOC大小无关）。
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 角的和差计算
3. 规律归纳探究
【点评】
本题是角计算的经典题型，遵循从特殊到一般的探究逻辑，既考查了角平分线性质、角的和差计算等基础知识点，又锻炼了归纳总结的思维能力，掌握本题的解题方法可举一反三解决同类角计算问题。
【难度系数】
0.6
