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16. (★★)先化简,再求值:$4x^2 -8xy^2 -2x^2 +3y^2x+1$,其中$x=-\dfrac{1}{2},y=2$.
答案
解：
先合并同类项化简原式：
$\begin{aligned}&4x^2 -8xy^2 -2x^2 +3y^2x +1\\=&(4x^2 - 2x^2) + (-8xy^2 + 3xy^2) + 1\\=&2x^2 -5xy^2 +1\end{aligned}$
将$x=-\dfrac{1}{2}$，$y=2$（此时$y^2=4$）代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-\dfrac{1}{2})^2 -5×(-\dfrac{1}{2})×4 +1\\&=2×\dfrac{1}{4} + 10 + 1\\&=\dfrac{1}{2} + 11\\&=\dfrac{23}{2}\end{aligned}$
先合并同类项化简原式：
$\begin{aligned}&4x^2 -8xy^2 -2x^2 +3y^2x +1\\=&(4x^2 - 2x^2) + (-8xy^2 + 3xy^2) + 1\\=&2x^2 -5xy^2 +1\end{aligned}$
将$x=-\dfrac{1}{2}$，$y=2$（此时$y^2=4$）代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-\dfrac{1}{2})^2 -5×(-\dfrac{1}{2})×4 +1\\&=2×\dfrac{1}{4} + 10 + 1\\&=\dfrac{1}{2} + 11\\&=\dfrac{23}{2}\end{aligned}$
解析
【分析】
遇到整式化简求值类题目，优先通过合并同类项简化原式，再代入数值计算，可减少运算量、降低出错概率。解题第一步先识别同类项：所含字母相同且相同字母指数也相同的项为同类项，本题中$4x^2$与$-2x^2$是同类项，$-8xy^2$与$3y^2x$是同类项，常数项1单独为一类；第二步合并同类项，合并时仅把系数相加减，字母和字母的指数保持不变；第三步将$x$、$y$的取值代入化简后的式子，按先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算，注意负数运算的符号处理。
【解析】
先合并同类项化简原式：
$\begin{aligned}&4x^2 -8xy^2 -2x^2 +3y^2x +1\\=&(4x^2 - 2x^2) + (-8xy^2 + 3xy^2) + 1\\=&2x^2 -5xy^2 +1\end{aligned}$
将$x=-\dfrac{1}{2}$，$y=2$代入化简后的式子，先计算$y^2=2^2=4$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-\dfrac{1}{2})^2 -5×(-\dfrac{1}{2})×4 +1\\&=2×\dfrac{1}{4} + 10 + 1\\&=\dfrac{1}{2} + 11\\&=\dfrac{23}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{23}{2}$
【知识点】
合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题是整式加减运算的常规题型，核心考查同类项的识别与合并规则，代入求值时需注意乘方运算的优先级和负数的符号处理，熟练掌握基础运算法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
遇到整式化简求值类题目，优先通过合并同类项简化原式，再代入数值计算，可减少运算量、降低出错概率。解题第一步先识别同类项：所含字母相同且相同字母指数也相同的项为同类项，本题中$4x^2$与$-2x^2$是同类项，$-8xy^2$与$3y^2x$是同类项，常数项1单独为一类；第二步合并同类项，合并时仅把系数相加减，字母和字母的指数保持不变；第三步将$x$、$y$的取值代入化简后的式子，按先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算，注意负数运算的符号处理。
【解析】
先合并同类项化简原式：
$\begin{aligned}&4x^2 -8xy^2 -2x^2 +3y^2x +1\\=&(4x^2 - 2x^2) + (-8xy^2 + 3xy^2) + 1\\=&2x^2 -5xy^2 +1\end{aligned}$
将$x=-\dfrac{1}{2}$，$y=2$代入化简后的式子，先计算$y^2=2^2=4$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-\dfrac{1}{2})^2 -5×(-\dfrac{1}{2})×4 +1\\&=2×\dfrac{1}{4} + 10 + 1\\&=\dfrac{1}{2} + 11\\&=\dfrac{23}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{23}{2}$
【知识点】
合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题是整式加减运算的常规题型，核心考查同类项的识别与合并规则，代入求值时需注意乘方运算的优先级和负数的符号处理，熟练掌握基础运算法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
17. (★★)阅读材料：
我们知道，$4x - 2x + x = (4 - 2 + 1)x = 3x$，我们把$(a + b)$看成一个整体，$4(a + b) - 2(a + b) + (a + b) = (4 - 2 + 1)(a + b) = 3(a + b)$，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。
尝试应用：
(1)把$(a - b)^2$看成一个整体，合并$5(a - b)^2 - 6(a - b)^2 + 2(a - b)^2$的结果是；
(2)(2023·常德)若$a^2 + 3a - 4 = 0$，则$2a^2 + 6a - 3 =$。
我们知道，$4x - 2x + x = (4 - 2 + 1)x = 3x$，我们把$(a + b)$看成一个整体，$4(a + b) - 2(a + b) + (a + b) = (4 - 2 + 1)(a + b) = 3(a + b)$，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。
尝试应用：
(1)把$(a - b)^2$看成一个整体，合并$5(a - b)^2 - 6(a - b)^2 + 2(a - b)^2$的结果是；
(2)(2023·常德)若$a^2 + 3a - 4 = 0$，则$2a^2 + 6a - 3 =$。
答案
(1) $\boldsymbol{(a-b)^2}$；(2) $\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
第(1)问：我们可以类比普通同类项的合并方法，把$(a-b)^2$看成一个整体，相当于合并同类项时的“字母部分”，只需将它的系数相加减，整体部分保持不变即可得到结果。
第(2)问：已知条件无法直接求出$a$的具体值，观察所求代数式的结构，发现$2a^2+6a$是$a^2+3a$的2倍，因此先从已知等式求出$a^2+3a$的值，再整体代入所求代数式计算即可。
【解析】
(1) 将$(a-b)^2$看作整体，合并同类项：
$5(a-b)^2 - 6(a-b)^2 + 2(a-b)^2=(5-6+2)(a-b)^2=(a-b)^2$
(2) 由$a^2 + 3a - 4 = 0$移项得：$a^2 + 3a = 4$
对所求代数式变形得：$2a^2 + 6a - 3=2(a^2 + 3a) - 3$
将$a^2 + 3a = 4$代入上式：
$2×4 - 3=8-3=5$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a-b)^2}$；(2) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
合并同类项；整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整体思想在整式运算和代数式求值中的应用，解题的核心是准确识别可作为整体的结构，灵活对代数式进行变形，能有效简化运算步骤，属于基础类运算题。
【难度系数】
0.8
第(1)问：我们可以类比普通同类项的合并方法，把$(a-b)^2$看成一个整体，相当于合并同类项时的“字母部分”，只需将它的系数相加减，整体部分保持不变即可得到结果。
第(2)问：已知条件无法直接求出$a$的具体值，观察所求代数式的结构，发现$2a^2+6a$是$a^2+3a$的2倍，因此先从已知等式求出$a^2+3a$的值，再整体代入所求代数式计算即可。
【解析】
(1) 将$(a-b)^2$看作整体，合并同类项：
$5(a-b)^2 - 6(a-b)^2 + 2(a-b)^2=(5-6+2)(a-b)^2=(a-b)^2$
(2) 由$a^2 + 3a - 4 = 0$移项得：$a^2 + 3a = 4$
对所求代数式变形得：$2a^2 + 6a - 3=2(a^2 + 3a) - 3$
将$a^2 + 3a = 4$代入上式：
$2×4 - 3=8-3=5$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a-b)^2}$；(2) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
合并同类项；整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整体思想在整式运算和代数式求值中的应用，解题的核心是准确识别可作为整体的结构，灵活对代数式进行变形，能有效简化运算步骤，属于基础类运算题。
【难度系数】
0.8
18. (★★★)有这样一道题目:“当$a=\frac{2}{3}$，$b=\frac{1}{2}$，$c=1$时，求$9a^2 -6abc +ac -5a^2 +6abc -4a^2 +c^2 -ac +c -2$的值.”但是，有的同学认为题目中给出的条件，有一些是多余的.你认为这样的看法有没有道理？如果有，多余的条件有哪些？请写出来，并说明理由.
答案
解：这样的看法有道理。
对原式合并同类项：
$\begin{aligned}&9a^2 -6abc +ac -5a^2 +6abc -4a^2 +c^2 -ac +c -2\\=&(9a^2 -5a^2 -4a^2)+(-6abc +6abc)+(ac -ac)+c^2 +c -2\\=&c^2 + c - 2\end{aligned}$
化简后的代数式中不含字母a和b，代数式的取值与a、b的大小无关，因此多余的条件是$a=\frac{2}{3}$，$b=\frac{1}{2}$。
对原式合并同类项：
$\begin{aligned}&9a^2 -6abc +ac -5a^2 +6abc -4a^2 +c^2 -ac +c -2\\=&(9a^2 -5a^2 -4a^2)+(-6abc +6abc)+(ac -ac)+c^2 +c -2\\=&c^2 + c - 2\end{aligned}$
化简后的代数式中不含字母a和b，代数式的取值与a、b的大小无关，因此多余的条件是$a=\frac{2}{3}$，$b=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
要判断题目给出的条件是否多余，核心思路是先对整式进行化简：首先找出原式中的同类项，再按照合并同类项的法则计算，观察化简后的代数式包含哪些字母，若化简结果中不含某个字母，说明代数式的值和该字母的取值无关，对应的已知条件就是多余的。
【解析】
解：这样的看法有道理，理由如下：
对原式合并同类项：
$\begin{aligned}&9a^2 -6abc +ac -5a^2 +6abc -4a^2 +c^2 -ac +c -2\\=&(9a^2 -5a^2 -4a^2)+(-6abc +6abc)+(ac -ac)+c^2 +c -2\\=&0+0+0+c^2 +c -2\\=&c^2 + c - 2\end{aligned}$
观察化简后的结果可知，代数式中仅含有字母c，不含字母a和b，说明代数式的取值与a、b的大小无关，因此题目中给出的$a=\frac{2}{3}$，$b=\frac{1}{2}$是多余的条件。
【答案】
这样的看法有道理，多余的条件是$a=\frac{2}{3}$，$b=\frac{1}{2}$，因为原式化简后为$c^2+c-2$，取值与a、b无关。
【知识点】
合并同类项，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题是整式加减的典型应用，解题的关键是熟练掌握合并同类项的法则，通过化简代数式判断其与字母的相关性，避免直接代入数值计算增加运算量。
【难度系数】
0.7
要判断题目给出的条件是否多余，核心思路是先对整式进行化简：首先找出原式中的同类项，再按照合并同类项的法则计算，观察化简后的代数式包含哪些字母，若化简结果中不含某个字母，说明代数式的值和该字母的取值无关，对应的已知条件就是多余的。
【解析】
解：这样的看法有道理，理由如下：
对原式合并同类项：
$\begin{aligned}&9a^2 -6abc +ac -5a^2 +6abc -4a^2 +c^2 -ac +c -2\\=&(9a^2 -5a^2 -4a^2)+(-6abc +6abc)+(ac -ac)+c^2 +c -2\\=&0+0+0+c^2 +c -2\\=&c^2 + c - 2\end{aligned}$
观察化简后的结果可知，代数式中仅含有字母c，不含字母a和b，说明代数式的取值与a、b的大小无关，因此题目中给出的$a=\frac{2}{3}$，$b=\frac{1}{2}$是多余的条件。
【答案】
这样的看法有道理，多余的条件是$a=\frac{2}{3}$，$b=\frac{1}{2}$，因为原式化简后为$c^2+c-2$，取值与a、b无关。
【知识点】
合并同类项，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题是整式加减的典型应用，解题的关键是熟练掌握合并同类项的法则，通过化简代数式判断其与字母的相关性，避免直接代入数值计算增加运算量。
【难度系数】
0.7
