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1.线段的比
一般地,如果两条线段AB,A'B'的长度分别为m,n,那么把它们的长度的比$\frac{m}{n}$叫作这两条线段AB与A'B'的________,记作$\frac{AB}{A'B'}=\_\_\_\_\_\_$.
2.成比例的线段
在四条线段中,如果其中两条线段的比________另外两条线段的比,那么这四条线段叫作成比例的线段.
3.黄金分割比
将一条线段AB分成不相等的两部分,使较短线段BC与较长线段AC的比等于较长线段AC与原线段AB的比,即使得$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AB}$成立,此时称线段AB被点C______,点C叫作线段AB的________,较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比,并且黄金分割比的数值为________(约等于________).
一般地,如果两条线段AB,A'B'的长度分别为m,n,那么把它们的长度的比$\frac{m}{n}$叫作这两条线段AB与A'B'的________,记作$\frac{AB}{A'B'}=\_\_\_\_\_\_$.
2.成比例的线段
在四条线段中,如果其中两条线段的比________另外两条线段的比,那么这四条线段叫作成比例的线段.
3.黄金分割比
将一条线段AB分成不相等的两部分,使较短线段BC与较长线段AC的比等于较长线段AC与原线段AB的比,即使得$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AB}$成立,此时称线段AB被点C______,点C叫作线段AB的________,较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比,并且黄金分割比的数值为________(约等于________).
答案
1. 比 $\frac{m}{n}$
2. 等于
3. 黄金分割 黄金分割点 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 0.618
2. 等于
3. 黄金分割 黄金分割点 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 0.618
解析
【分析】
本题为线段比例相关的基础概念填空题，解题核心是准确回忆对应概念的定义内容：
1. 第一题考查线段的比的定义，直接对应线段比的概念描述填空即可；
2. 第二题考查成比例线段的判定定义，抓住成比例线段的核心是两组线段的比值相等；
3. 第三题考查黄金分割的相关概念，依次回忆黄金分割的定义、黄金分割点的名称、黄金分割比的准确值和近似值即可完成填空。
【解析】
1. 根据线段的比的定义：两条线段长度的比叫做这两条线段的比，若AB、A'B'的长度分别为m、n，则$\frac{AB}{A'B'}=\frac{m}{n}$，因此两个空依次填比、$\frac{m}{n}$。
2. 根据成比例线段的定义：四条线段中，若其中两条线段的比等于另外两条线段的比，这四条线段叫作成比例线段，因此填等于。
3. 根据黄金分割的定义：满足$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AB}$时，称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，黄金分割比的准确值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，近似值约为0.618，因此四个空依次填黄金分割、黄金分割点、$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$、0.618。
【答案】
1. 比；$\frac{m}{n}$
2. 等于
3. 黄金分割；黄金分割点；$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；0.618
【知识点】
线段的比；成比例线段；黄金分割
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考察对线段比例相关核心概念的掌握情况，这些概念是后续学习相似图形相关内容的基础，需要准确记忆。
【难度系数】
0.9
本题为线段比例相关的基础概念填空题，解题核心是准确回忆对应概念的定义内容：
1. 第一题考查线段的比的定义，直接对应线段比的概念描述填空即可；
2. 第二题考查成比例线段的判定定义，抓住成比例线段的核心是两组线段的比值相等；
3. 第三题考查黄金分割的相关概念，依次回忆黄金分割的定义、黄金分割点的名称、黄金分割比的准确值和近似值即可完成填空。
【解析】
1. 根据线段的比的定义：两条线段长度的比叫做这两条线段的比，若AB、A'B'的长度分别为m、n，则$\frac{AB}{A'B'}=\frac{m}{n}$，因此两个空依次填比、$\frac{m}{n}$。
2. 根据成比例线段的定义：四条线段中，若其中两条线段的比等于另外两条线段的比，这四条线段叫作成比例线段，因此填等于。
3. 根据黄金分割的定义：满足$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AB}$时，称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，黄金分割比的准确值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，近似值约为0.618，因此四个空依次填黄金分割、黄金分割点、$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$、0.618。
【答案】
1. 比；$\frac{m}{n}$
2. 等于
3. 黄金分割；黄金分割点；$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；0.618
【知识点】
线段的比；成比例线段；黄金分割
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考察对线段比例相关核心概念的掌握情况，这些概念是后续学习相似图形相关内容的基础，需要准确记忆。
【难度系数】
0.9
【例1】若线段$a=20\ \mathrm{mm}, b=8\ \mathrm{cm}$，则$\frac{a}{b}=$（
A.$\frac{1}{4}$
B.4
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{5}{2}$
A
）A.$\frac{1}{4}$
B.4
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{5}{2}$
答案
A
解析
【分析】
计算两条线段的比值时，首先要保证两条线段的单位统一，单位不同时不能直接计算比值。本题中线段a的单位是mm，线段b的单位是cm，因此第一步需要先将二者的单位换算为一致，再代入数值化简计算就能得到正确结果。
【解析】
先进行单位换算：
∵$1\mathrm{cm}=10\mathrm{mm}$，
∴$b=8\mathrm{cm}=8×10=80\mathrm{mm}$。
已知$a=20\mathrm{mm}$，代入求比值：
$\frac{a}{b}=\frac{20\mathrm{mm}}{80\mathrm{mm}}=\frac{1}{4}$。
（也可将a换算为cm单位计算：$a=20\mathrm{mm}=2\mathrm{cm}$，则$\frac{a}{b}=\frac{2\mathrm{cm}}{8\mathrm{cm}}=\frac{1}{4}$，结果一致。
【答案】
A
【知识点】
线段的比、长度单位换算
【点评】
本题是基础类计算题，核心考查线段比的计算规则，易错点是忽略两条线段的单位差异，直接代入数值计算导致出错，只要牢记计算线段比前先统一单位的要求，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.7
计算两条线段的比值时，首先要保证两条线段的单位统一，单位不同时不能直接计算比值。本题中线段a的单位是mm，线段b的单位是cm，因此第一步需要先将二者的单位换算为一致，再代入数值化简计算就能得到正确结果。
【解析】
先进行单位换算：
∵$1\mathrm{cm}=10\mathrm{mm}$，
∴$b=8\mathrm{cm}=8×10=80\mathrm{mm}$。
已知$a=20\mathrm{mm}$，代入求比值：
$\frac{a}{b}=\frac{20\mathrm{mm}}{80\mathrm{mm}}=\frac{1}{4}$。
（也可将a换算为cm单位计算：$a=20\mathrm{mm}=2\mathrm{cm}$，则$\frac{a}{b}=\frac{2\mathrm{cm}}{8\mathrm{cm}}=\frac{1}{4}$，结果一致。
【答案】
A
【知识点】
线段的比、长度单位换算
【点评】
本题是基础类计算题，核心考查线段比的计算规则，易错点是忽略两条线段的单位差异，直接代入数值计算导致出错，只要牢记计算线段比前先统一单位的要求，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.7
【例2】已知线段a,b,c,d是成比例的线段，其中$a=4,b=5,c=10$，求线段d的长。
答案
解:已知 a,b,c,d 是成比例的线段，根据定义，得 ad=bc，代入 a=4,b=5,c=10,解得 $d=\frac{25}{2}$。
解析
【分析】
解题时首先要明确成比例线段的定义：若四条线段a,b,c,d是成比例线段，其比例关系是按给定顺序确定的，即$a:b=c:d$。接下来利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，将比例式转化为乘积式，再代入已知的a、b、c的数值，即可求出d的值。解题需注意不能随意调换四条线段的顺序，否则会得到错误结果。
【解析】
解：
∵ 线段a,b,c,d是成比例的线段
∴ 根据成比例线段的定义可得：$a:b = c:d$
根据比例的基本性质（内项积等于外项积），得：$ad = bc$
将$a=4,b=5,c=10$代入上式：
$4d = 5×10$
即$4d = 50$
解得：$d=\frac{25}{2}$
【答案】
$\frac{25}{2}$
【知识点】
成比例线段的定义；比例的基本性质
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的核心是牢记成比例线段的顺序性，正确运用比例的基本性质计算即可，注意不要混淆线段的排列顺序。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确成比例线段的定义：若四条线段a,b,c,d是成比例线段，其比例关系是按给定顺序确定的，即$a:b=c:d$。接下来利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，将比例式转化为乘积式，再代入已知的a、b、c的数值，即可求出d的值。解题需注意不能随意调换四条线段的顺序，否则会得到错误结果。
【解析】
解：
∵ 线段a,b,c,d是成比例的线段
∴ 根据成比例线段的定义可得：$a:b = c:d$
根据比例的基本性质（内项积等于外项积），得：$ad = bc$
将$a=4,b=5,c=10$代入上式：
$4d = 5×10$
即$4d = 50$
解得：$d=\frac{25}{2}$
【答案】
$\frac{25}{2}$
【知识点】
成比例线段的定义；比例的基本性质
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的核心是牢记成比例线段的顺序性，正确运用比例的基本性质计算即可，注意不要混淆线段的排列顺序。
【难度系数】
0.8
【变式1】(2025 池州期中)下面四组线段中，成比例的是（
A.$a=2,b=3,c=4,d=5$
B.$a=1,b=2,c=2,d=4$
C.$a=4,b=6,c=8,d=10$
D.$a=\sqrt{2},b=\sqrt{3},c=3,d=\sqrt{3}$
B
）A.$a=2,b=3,c=4,d=5$
B.$a=1,b=2,c=2,d=4$
C.$a=4,b=6,c=8,d=10$
D.$a=\sqrt{2},b=\sqrt{3},c=3,d=\sqrt{3}$
答案
B
解析
【分析】
要判断四组线段是否成比例，首先回忆成比例线段的判断方法：先将四条线段按从小到大的顺序排列，若最长线段与最短线段的乘积等于中间两条线段的乘积，则这四条线段成比例（原理是比例的基本性质：若$a:b=c:d$，则$ad=bc$）。接下来我们对每个选项依次用该方法验证即可。
【解析】
首先明确判断规则：将四条线段从小到大排序后，若最短×最长 = 中间两数乘积，则四条线段成比例。
选项A：线段排序为$2,3,4,5$，计算得$2×5=10$，$3×4=12$，$10≠12$，不成比例；
选项B：线段排序为$1,2,2,4$，计算得$1×4=4$，$2×2=4$，乘积相等，满足$1:2=2:4$，成比例；
选项C：线段排序为$4,6,8,10$，计算得$4×10=40$，$6×8=48$，$40≠48$，不成比例；
选项D：线段排序为$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{3},3$，计算得$\sqrt{2}×3=3\sqrt{2}$，$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，$3\sqrt{2}≠3$，不成比例。
综上，只有B选项的线段成比例。
【答案】
B
【知识点】
1.成比例线段的定义
2.比例的基本性质
【点评】
本题考查成比例线段的判断，使用乘积相等的方法验证比直接计算比值更简便，判断前注意先将线段按大小顺序排列，避免因顺序错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8
要判断四组线段是否成比例，首先回忆成比例线段的判断方法：先将四条线段按从小到大的顺序排列，若最长线段与最短线段的乘积等于中间两条线段的乘积，则这四条线段成比例（原理是比例的基本性质：若$a:b=c:d$，则$ad=bc$）。接下来我们对每个选项依次用该方法验证即可。
【解析】
首先明确判断规则：将四条线段从小到大排序后，若最短×最长 = 中间两数乘积，则四条线段成比例。
选项A：线段排序为$2,3,4,5$，计算得$2×5=10$，$3×4=12$，$10≠12$，不成比例；
选项B：线段排序为$1,2,2,4$，计算得$1×4=4$，$2×2=4$，乘积相等，满足$1:2=2:4$，成比例；
选项C：线段排序为$4,6,8,10$，计算得$4×10=40$，$6×8=48$，$40≠48$，不成比例；
选项D：线段排序为$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{3},3$，计算得$\sqrt{2}×3=3\sqrt{2}$，$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，$3\sqrt{2}≠3$，不成比例。
综上，只有B选项的线段成比例。
【答案】
B
【知识点】
1.成比例线段的定义
2.比例的基本性质
【点评】
本题考查成比例线段的判断，使用乘积相等的方法验证比直接计算比值更简便，判断前注意先将线段按大小顺序排列，避免因顺序错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8
【变式2】如图，在$△ ABC$中，$AB=12\ \mathrm{cm}$，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上，$AE=6\ \mathrm{cm}$，$EC=4\ \mathrm{cm}$，且$\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}$。
(1)求$DB$的长；
(2)试说明线段$AD$，$DB$，$AE$，$EC$是不是成比例的线段。
(1)求$DB$的长；
(2)试说明线段$AD$，$DB$，$AE$，$EC$是不是成比例的线段。
答案
解:(1)设 $DB=x$ cm.$\because \frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC},\therefore \frac{12}{x}=\frac{6+4}{4}$,解得 $x=4.8,\therefore AD=4.8$ cm.
(2)$\because \frac{AD}{DB}=\frac{12-4.8}{4.8}=\frac{3}{2},\frac{AE}{EC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\therefore \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，
∴线段 AD,DB,AE,EC 是成比例的线段。
(2)$\because \frac{AD}{DB}=\frac{12-4.8}{4.8}=\frac{3}{2},\frac{AE}{EC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\therefore \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，
∴线段 AD,DB,AE,EC 是成比例的线段。
解析
【分析】
(1) 要求DB的长度，题目已经给出比例关系$\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}$，我们先通过$AC=AE+EC$算出AC的总长度，再把已知的AB、AC、EC的数值代入比例式，解比例方程就能得到DB的长度。
(2) 判断四条线段是否成比例，根据成比例线段的定义，只要验证$\frac{AD}{DB}$和$\frac{AE}{EC}$的比值是否相等即可：先通过$AD=AB-DB$算出AD的长度，再分别计算两个比值，若比值相等则这四条线段是成比例线段。
【解析】
(1) 设$DB=x\ \mathrm{cm}$。
首先计算AC的长度：$AC=AE+EC=6+4=10\ \mathrm{cm}$，
根据题意$\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}$，代入已知量得：
$\frac{12}{x}=\frac{10}{4}$
交叉相乘得$10x=48$，解得$x=4.8$，即$DB=4.8\ \mathrm{cm}$。
(2) 先计算AD的长度：$AD=AB-DB=12-4.8=7.2\ \mathrm{cm}$，
分别计算两个比值：
$\frac{AD}{DB}=\frac{7.2}{4.8}=\frac{3}{2}$，$\frac{AE}{EC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，
可得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，因此线段AD，DB，AE，EC是成比例的线段。
【答案】
(1) $DB$的长为$4.8\ \mathrm{cm}$；
(2) 线段$AD$，$DB$，$AE$，$EC$是成比例的线段。
【知识点】
比例方程求解、成比例线段判定
【点评】
本题是比例线段相关的基础题，解题核心是准确代入已知条件列比例式，再通过计算比值判断线段是否成比例，计算时注意细心即可避免错误。
【难度系数】
0.8
(1) 要求DB的长度，题目已经给出比例关系$\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}$，我们先通过$AC=AE+EC$算出AC的总长度，再把已知的AB、AC、EC的数值代入比例式，解比例方程就能得到DB的长度。
(2) 判断四条线段是否成比例，根据成比例线段的定义，只要验证$\frac{AD}{DB}$和$\frac{AE}{EC}$的比值是否相等即可：先通过$AD=AB-DB$算出AD的长度，再分别计算两个比值，若比值相等则这四条线段是成比例线段。
【解析】
(1) 设$DB=x\ \mathrm{cm}$。
首先计算AC的长度：$AC=AE+EC=6+4=10\ \mathrm{cm}$，
根据题意$\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}$，代入已知量得：
$\frac{12}{x}=\frac{10}{4}$
交叉相乘得$10x=48$，解得$x=4.8$，即$DB=4.8\ \mathrm{cm}$。
(2) 先计算AD的长度：$AD=AB-DB=12-4.8=7.2\ \mathrm{cm}$，
分别计算两个比值：
$\frac{AD}{DB}=\frac{7.2}{4.8}=\frac{3}{2}$，$\frac{AE}{EC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，
可得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，因此线段AD，DB，AE，EC是成比例的线段。
【答案】
(1) $DB$的长为$4.8\ \mathrm{cm}$；
(2) 线段$AD$，$DB$，$AE$，$EC$是成比例的线段。
【知识点】
比例方程求解、成比例线段判定
【点评】
本题是比例线段相关的基础题，解题核心是准确代入已知条件列比例式，再通过计算比值判断线段是否成比例，计算时注意细心即可避免错误。
【难度系数】
0.8
