【变式2】已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{4}{5}(b+d≠0)$，则$\frac{a+c}{b+d}$的值为（）

A.$-\frac{4}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$-\frac{5}{4}$
D.$\frac{5}{4}$

B

【分析】
遇到多个比值相等的求解题，有两种常用思路：①直接利用等比性质求解，需注意等比性质的使用前提是所有分母的和不为0，本题已经给出$b+d≠0$，满足使用条件；②采用设k法，将a、c分别用含b、d的式子表示，代入所求代数式约分计算即可。
【解析】
方法一（等比性质法）：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{4}{5}$，且$b+d≠0$，根据等比性质：若$\frac{m}{n}=\frac{p}{q}=k$（$n+q≠0$），则$\frac{m+p}{n+q}=k$，可得$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{4}{5}$。
方法二（设k法）：
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k=\frac{4}{5}$，则$a=\frac{4}{5}b$，$c=\frac{4}{5}d$。
将其代入$\frac{a+c}{b+d}$得：
$\frac{a+c}{b+d}=\frac{\frac{4}{5}b+\frac{4}{5}d}{b+d}=\frac{\frac{4}{5}(b+d)}{b+d}=\frac{4}{5}$（$b+d≠0$，可直接约分）。
【答案】
B
【知识点】
等比性质；比例求值
【点评】
本题是比例性质的基础应用题目，两种解题方法都是比例相关问题的常用技巧，需注意使用等比性质时要满足分母之和不为0的前提条件，本题已经给出该条件，可直接代入性质快速求解。
【难度系数】
0.85

1.已知$a=0.8,b=4,c=10,d=2$,则下列式子一定正确的是（）

A.$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
B.$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$
C.$\frac{a}{b}=\frac{d}{c}$
D.$\frac{d}{c}=\frac{b}{a}$

1. C

【分析】
本题是判断比例式是否成立的题目，解题思路清晰：已知a、b、c、d四个数的具体数值，只需将数值分别代入每个选项的左右两边，计算出两边的结果，若两边结果相等则该比例式成立，反之则不成立，最终选出正确选项即可。
【解析】
已知$a=0.8,b=4,c=10,d=2$，逐个验证选项：
选项A：左边$\frac{a}{b}=\frac{0.8}{4}=0.2$，右边$\frac{c}{d}=\frac{10}{2}=5$，$0.2≠5$，故A错误；
选项B：左边$\frac{a}{c}=\frac{0.8}{10}=0.08$，右边$\frac{b}{d}=\frac{4}{2}=2$，$0.08≠2$，故B错误；
选项C：左边$\frac{a}{b}=\frac{0.8}{4}=0.2$，右边$\frac{d}{c}=\frac{2}{10}=0.2$，两边结果相等，故C正确；
选项D：左边$\frac{d}{c}=\frac{2}{10}=0.2$，右边$\frac{b}{a}=\frac{4}{0.8}=5$，$0.2≠5$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 比例式的判定
2. 有理数的除法运算
【点评】
本题属于基础题型，考查比例式的正误判断，直接代入数值计算验证的方法简便不易出错，计算时细心即可拿到分数。
【难度系数】
0.9

2. (2025 石家庄模拟)已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{5}(a≠0,b≠0)$,下列等式中变形不正确的是 ()

A.$5a=2b$
B.$\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$
C.$2a=5b$
D.$\frac{b}{a}=\frac{5}{2}$

2. C

【分析】
本题考查比例的变形判断，解题有两种常用思路：①利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，对已知等式直接变形后和各选项对比；②采用设参数法，将a、b用同一个参数表示后代入选项验证，最终找出变形错误的选项即可。
【解析】
利用比例的基本性质求解：
已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{5}$（$a≠0,b≠0$），根据比例的基本性质交叉相乘可得：$5a=2b$。
选项A：$5a=2b$与推导结果一致，变形正确，不符合题意；
选项B：对$5a=2b$两边同时除以$5b$（$b≠0$），可得$\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$，变形正确，不符合题意；
选项C：$2a=5b$与推导得到的$5a=2b$不符，变形错误，符合题意；
选项D：对$5a=2b$两边同时除以$2a$（$a≠0$），可得$\frac{b}{a}=\frac{5}{2}$，变形正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质、等式的基本性质
【点评】
本题属于比例性质的基础考查题，易错点是交叉相乘时混淆比例的内项和外项，做题时只要牢记比例交叉相乘的对应关系就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

3. (2025 莆田模拟)已知实数$a,b$满足$a=2b$，则$\frac{2a+b}{b}$的值为（）

A.5
B.3
C.2
D.1

3. A

【分析】
本题已知a与b的倍数关系，求分式的值，解题思路如下：首先观察所求分式同时包含a、b两个变量，而已知a=2b，因此可通过代入法，将a用含b的式子替换，把分式中的变量统一为b；再对分子合并同类项，结合分式有意义的条件（分母b≠0）约分即可算出结果。
【解析】
解：
∵ $a=2b$，且分式分母为$b$，因此$b≠0$，
将$a=2b$代入$\frac{2a+b}{b}$可得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2×2b + b}{b}\\&=\frac{4b + b}{b}\\&=\frac{5b}{b}\\&=5\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
代数式求值；代入消元法；分式化简
【点评】
本题是基础题型，考查代数式求值的常规方法，熟练掌握代入替换变量、分式化简的基本运算即可快速求解。
【难度系数】
0.9

4. (2025上海模拟)如果$3x - y = 0$，那么$\frac{x}{y}=$

4. $\frac{1}{3}$

【分析】
解题时先从已知等式入手，利用等式的性质对等式变形，用含x的式子表示y，再代入所求分式，结合分式分母不为0的隐含条件约分计算，即可得到结果。
【解析】
已知$3x - y = 0$，移项可得$y = 3x$。
因为所求式子$\frac{x}{y}$是分式，所以分母$y ≠ 0$，由此可得$3x ≠ 0$，即$x ≠ 0$。
将$y = 3x$代入$\frac{x}{y}$得：
$\frac{x}{y} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
等式的性质、分式有意义的条件、分式化简求值
【点评】
本题为基础题型，核心考查等式的变形规则与分式的运算要求，解题时注意不要遗漏分式分母不为0的隐含前提即可顺利解答。
【难度系数】
0.9

5. (2025无锡模拟)已知$4x - 5y = 0$，$(x + y):(x - y) = \_\_\_\_\_\_$。

5. 9 : 1

【分析】
解题核心是先从已知等式推导x与y的数量关系，再代入待求比例式化简消元得到结果。思考步骤：第一步对已知等式移项变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；第二步将变形后的式子代入比例式，合并同类项后约去公共未知数，即可得到最简比值。
【解析】
解：由$4x - 5y = 0$移项可得：
$4x = 5y$，即$x = \frac{5}{4}y$（$y≠0$，否则比例无意义）
将$x = \frac{5}{4}y$代入$(x + y):(x - y)$得：
$\begin{aligned}(x + y):(x - y) &= (\frac{5}{4}y + y):(\frac{5}{4}y - y) \\&= \frac{9}{4}y : \frac{1}{4}y \\&= 9:1\end{aligned}$
【答案】
$9:1$
【知识点】
等式基本性质，比例计算，代数式化简
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是通过已知等式建立两个未知数的数量关系，运用代入消元的思路化简比例式即可求解，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.85

6. 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{3}{5}$，则$\frac{a+c}{b+d}=$，$\frac{a+2c-3e}{b+2d-3f}=$。

6. $\frac{3}{5}$ $\frac{3}{5}$

【分析】
本题考查比例的相关性质，可通过两种思路解题：一是利用等比性质，若多个比值相等，在分母和不为0的前提下，分子的线性组合之和与对应分母的线性组合之和的比值等于原比值；二是设参数法，将每个比例的分子、分母用含参数的形式表示，代入所求式子约分即可得到结果。求解$\frac{a+c}{b+d}$时，观察到是两个相等比例的分子相加、分母相加，直接符合等比性质的应用条件；求解$\frac{a+2c-3e}{b+2d-3f}$时，可先将原比例变形为$\frac{a}{b}=\frac{2c}{2d}=\frac{-3e}{-3f}=\frac{3}{5}$，再应用等比性质，也可直接用参数代入计算。
【解析】
方法一：利用等比性质求解
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{3}{5}$，题目隐含所求式子分母不为0的条件：
1. 根据等比性质：若$\frac{m}{n}=\frac{p}{q}=k$，且$n+q≠0$，则$\frac{m+p}{n+q}=k$，因此$\frac{a+c}{b+d}=\frac{3}{5}$。
2. 先将原比例变形为$\frac{a}{b}=\frac{2c}{2d}=\frac{-3e}{-3f}=\frac{3}{5}$，再根据等比性质，分子相加、分母相加后比值不变，因此$\frac{a+2c-3e}{b+2d-3f}=\frac{3}{5}$。
方法二：设参数法求解
设$a=3k$，$b=5k$，$c=3m$，$d=5m$，$e=3n$，$f=5n$（$k、m、n$均不为0，且保证所求式子分母不为0）：
1. $\frac{a+c}{b+d}=\frac{3k+3m}{5k+5m}=\frac{3(k+m)}{5(k+m)}=\frac{3}{5}$（$k+m≠0$）。
2. $\frac{a+2c-3e}{b+2d-3f}=\frac{3k+2×3m - 3×3n}{5k+2×5m - 3×5n}=\frac{3(k+2m-3n)}{5(k+2m-3n)}=\frac{3}{5}$（$k+2m-3n≠0$）。
【答案】
$\frac{3}{5}$；$\frac{3}{5}$
【知识点】
等比性质，比例的基本性质
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，无论是直接应用等比性质还是采用通用的设参数法都能顺利解答，掌握参数法可以解决所有同类型的比例求值问题。
【难度系数】
0.8

7.已知$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，求$\frac{a}{a-b}-\frac{ab-b^2}{ab}$的值.

7. 解:$\because \frac{a}{b}=\frac{1}{2},\therefore$ 设$a=x,b=2x(x≠0)$，
则原式$=\frac{x}{x-2x}-\frac{x· 2x-(2x)^2}{x· 2x}=\frac{x}{-x}-\frac{-2x^2}{2x^2}=-1+1=0$.

【分析】
本题是已知比例关系求分式值的题型，解题思路如下：首先根据已知的$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$的比例关系，采用参数法设元，将$a$、$b$用同一个含非零参数的代数式表示，避免通分化简的复杂计算；再将设出的$a$、$b$代入所求分式，分别对两个分式进行约分化简，最后计算得出结果即可。
【解析】
解：$\because \frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，$\therefore$ 设$a=x$，$b=2x(x≠0)$，
将$a=x$，$b=2x$代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x}{x-2x}-\frac{x· 2x-(2x)^2}{x· 2x}\\&=\frac{x}{-x}-\frac{2x^2-4x^2}{2x^2}\\&=-1-\frac{-2x^2}{2x^2}\\&=-1 - (-1)\\&=0\end{aligned}$
【答案】
$0$
【知识点】
分式化简求值，比例性质应用，参数法解题
【点评】
本题属于分式求值的基础题型，利用参数法处理比例关系是解题的核心技巧，该方法能有效降低分式化简的计算量，解题时需注意所设参数不能为0，避免出现分母为0的情况。
【难度系数】
0.8

8. 已知$\frac{2a}{b+c+d}=\frac{2b}{a+c+d}=\frac{2c}{a+b+d}=\frac{2d}{a+b+c}=k$，求$k$的值.

8. 解:$\because \frac{2a}{b+c+d}=\frac{2b}{a+c+d}=\frac{2c}{a+b+d}=\frac{2d}{a+b+c}=k$，
$\therefore$ 当$a+b+c+d≠0$时,由等比性质可得$\frac{2(a+b+c+d)}{3(a+b+c+d)}=k$，
$\therefore k=\frac{2}{3}$，
当$a+b+c+d=0$时,$b+c+d=-a$，
则$k=\frac{2a}{b+c+d}=\frac{2a}{-a}=-2$.
综上所述,$k$的值为$\frac{2}{3}$或$-2$.

【分析】
遇到连等的比例式求比值k的问题，首先回忆等比性质的使用规则：使用等比性质时，必须保证所有分母的和不为0，因此本题需要分两种情况讨论：①当四个字母的和$a+b+c+d≠0$时，可直接运用等比性质计算k的值；②当$a+b+c+d=0$时，等比性质不适用，此时可将三个字母的和用第四个字母表示，代入原式计算k的值即可。
【解析】
解：$\because \frac{2a}{b+c+d}=\frac{2b}{a+c+d}=\frac{2c}{a+b+d}=\frac{2d}{a+b+c}=k$
①当$a+b+c+d≠0$时，根据等比性质可得：
$k=\frac{2a+2b+2c+2d}{(b+c+d)+(a+c+d)+(a+b+d)+(a+b+c)}=\frac{2(a+b+c+d)}{3(a+b+c+d)}=\frac{2}{3}$
②当$a+b+c+d=0$时，可得$b+c+d=-a$，将其代入$\frac{2a}{b+c+d}=k$得：
$k=\frac{2a}{-a}=-2$（此时$a≠0$，否则分母为0，无意义）
综上所述，k的值为$\frac{2}{3}$或$-2$。
【答案】
$\frac{2}{3}$或$-2$
【知识点】
等比性质，分类讨论思想，比例的基本性质
【点评】
本题是比例性质应用的典型题型，易错点是忽略等比性质的使用前提（分母之和不为0），未对$a+b+c+d$是否为0进行分类讨论，从而出现漏解的情况。解题时需注意考虑全面，避免思维定势。
【难度系数】
0.6