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【例3】(2025 娄底期末)一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感. 如图，若将AB抽象地看成一条线段，点P为线段AB的黄金分割点(AP＞PB)，下列各式正确的是 (
A. $\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$
B. $\frac{BP}{AB}=\frac{AP}{BP}$
C. $\frac{BP}{AB}=\frac{AB}{AP}$
D. $\frac{AP}{AB}=\frac{AP}{BP}$
规律总结 判断黄金分割的方法
(1)看比值:较短线段与较长线段的比值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
(2)看关系式:较长线段²=较短线段×整段线段.
A
)A. $\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$
B. $\frac{BP}{AB}=\frac{AP}{BP}$
C. $\frac{BP}{AB}=\frac{AB}{AP}$
D. $\frac{AP}{AB}=\frac{AP}{BP}$
规律总结 判断黄金分割的方法
(1)看比值:较短线段与较长线段的比值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
(2)看关系式:较长线段²=较短线段×整段线段.
答案
A
解析
【分析】
解决本题首先要明确黄金分割的定义，先结合题目条件判断出较长线段、较短线段和全线段：已知AP＞PB，因此AP是较长线段，PB是较短线段，AB是整条线段。再根据黄金分割的比例关系，对应比对各选项即可得到正确答案。
【解析】
∵点P为线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴根据黄金分割的定义，较长线段与全线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，即：
$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$，
对比各选项，只有A选项符合该比例关系。
也可通过黄金分割的乘积式验证：由$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$交叉相乘可得$AP^2=AB· BP$，符合黄金分割的关系式特征，其余选项变形后均不符合该特征。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割的定义
【点评】
本题是对黄金分割基本概念的考查，解题核心是准确区分黄金分割中的较长线段、较短线段，牢记对应的比例关系即可快速作答，难度较低。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确黄金分割的定义，先结合题目条件判断出较长线段、较短线段和全线段：已知AP＞PB，因此AP是较长线段，PB是较短线段，AB是整条线段。再根据黄金分割的比例关系，对应比对各选项即可得到正确答案。
【解析】
∵点P为线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴根据黄金分割的定义，较长线段与全线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，即：
$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$，
对比各选项，只有A选项符合该比例关系。
也可通过黄金分割的乘积式验证：由$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$交叉相乘可得$AP^2=AB· BP$，符合黄金分割的关系式特征，其余选项变形后均不符合该特征。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割的定义
【点评】
本题是对黄金分割基本概念的考查，解题核心是准确区分黄金分割中的较长线段、较短线段，牢记对应的比例关系即可快速作答，难度较低。
【难度系数】
0.8
【变式1】某校音乐社团购买了一种乐器，如图所示.乐器上的一根弦$AB=60\ \mathrm{cm}$，两个端点$A,B$固定在乐器面板上，支撑点$C$是靠近点$B$的黄金分割点，支撑点$D$是靠近点$A$的黄金分割点，则$C,D$之间的距离为（
A.$(30\sqrt{5}-30)\ \mathrm{cm}$
B.$(60\sqrt{5}-30)\ \mathrm{cm}$
C.$(100-30\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$
D.$(60\sqrt{5}-120)\ \mathrm{cm}$
D
）A.$(30\sqrt{5}-30)\ \mathrm{cm}$
B.$(60\sqrt{5}-30)\ \mathrm{cm}$
C.$(100-30\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$
D.$(60\sqrt{5}-120)\ \mathrm{cm}$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆黄金分割的定义：若点把线段分成两条线段，使较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则这个点就是线段的黄金分割点。首先根据支撑点C、D的位置，确定对应的较长线段分别是AC和BD，计算出AC、BD的长度；再观察线段的和差关系：AC与BD相加时，中间的CD部分被重复计算了一次，因此$AC+BD=AB+CD$，变形即可求出CD的长度。
【解析】
根据黄金分割的定义，黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
1. 计算AC的长度：
∵ 点C是靠近B的黄金分割点，AC为较长线段，
∴ $AC = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 60 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 30\sqrt{5} - 30$（cm）。
2. 计算BD的长度：
∵ 点D是靠近A的黄金分割点，BD为较长线段，
∴ $BD = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 30\sqrt{5} - 30$（cm）。
3. 推导CD的长度：
观察线段关系可得$AC + BD = AB + CD$，
∴ $CD = AC + BD - AB$
代入数值计算：
$CD = (30\sqrt{5}-30) + (30\sqrt{5}-30) - 60 = 60\sqrt{5} - 120$（cm）。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割的定义；线段的和差计算
【点评】
本题核心是黄金分割定义的实际应用，解题的关键是准确判断黄金分割点对应的较长线段，理清多条线段之间的和差关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要回忆黄金分割的定义：若点把线段分成两条线段，使较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则这个点就是线段的黄金分割点。首先根据支撑点C、D的位置，确定对应的较长线段分别是AC和BD，计算出AC、BD的长度；再观察线段的和差关系：AC与BD相加时，中间的CD部分被重复计算了一次，因此$AC+BD=AB+CD$，变形即可求出CD的长度。
【解析】
根据黄金分割的定义，黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
1. 计算AC的长度：
∵ 点C是靠近B的黄金分割点，AC为较长线段，
∴ $AC = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 60 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 30\sqrt{5} - 30$（cm）。
2. 计算BD的长度：
∵ 点D是靠近A的黄金分割点，BD为较长线段，
∴ $BD = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 30\sqrt{5} - 30$（cm）。
3. 推导CD的长度：
观察线段关系可得$AC + BD = AB + CD$，
∴ $CD = AC + BD - AB$
代入数值计算：
$CD = (30\sqrt{5}-30) + (30\sqrt{5}-30) - 60 = 60\sqrt{5} - 120$（cm）。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割的定义；线段的和差计算
【点评】
本题核心是黄金分割定义的实际应用，解题的关键是准确判断黄金分割点对应的较长线段，理清多条线段之间的和差关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
【变式2】如图，以长为2的线段AB为边，作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取一点F，使$PF=PD$。求证：点A是线段BF的黄金分割点。
答案
证明:在正方形 ABCD 中,AD=AB=2,∠BAD=90°.
∵P 为 AB 的中点,
∴AP=BP=1,
∴在 Rt△PAD 中,$PD=\sqrt{AP^2+AD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$.而 $PF=PD=\sqrt{5}$,
∴$AF=PF-PA=\sqrt{5}-1$,$BF=PF+BP=\sqrt{5}+1$,
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{BF}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∴点 A 是线段 BF 的黄金分割点。
∵P 为 AB 的中点,
∴AP=BP=1,
∴在 Rt△PAD 中,$PD=\sqrt{AP^2+AD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$.而 $PF=PD=\sqrt{5}$,
∴$AF=PF-PA=\sqrt{5}-1$,$BF=PF+BP=\sqrt{5}+1$,
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{BF}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∴点 A 是线段 BF 的黄金分割点。
解析
【分析】
要证明点A是BF的黄金分割点，首先明确黄金分割点的判定条件：若点将线段分为两部分，较长部分与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点为线段的黄金分割点。本题可先利用正方形的性质得到直角三角形PAD的边长，用勾股定理求出PD的长度，再结合$PF=PD$求出AF、BF的长度，最后验证对应线段的比值是否等于黄金比，即可完成证明。
【解析】
证明：在正方形ABCD中，$AD=AB=2$，$∠ BAD=90°$。
∵P为AB的中点，
∴$AP=BP=\frac{1}{2}AB=1$，
在$Rt△ PAD$中，由勾股定理得：
$PD=\sqrt{AP^2+AD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
∵$PF=PD$，
∴$PF=\sqrt{5}$，
∴$AF=PF-AP=\sqrt{5}-1$，$BF=PF+BP=\sqrt{5}+1$，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{AB}{BF}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
即$\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{BF}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割的定义，
∴点A是线段BF的黄金分割点。
【答案】
点A是线段BF的黄金分割点，证明成立。
【知识点】
黄金分割的判定，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，结合常见几何图形性质考查黄金分割的概念，解题关键是牢记黄金分割的判定标准，正确计算相关线段的长度，通过比值验证即可得到结论。
【难度系数】
0.7
要证明点A是BF的黄金分割点，首先明确黄金分割点的判定条件：若点将线段分为两部分，较长部分与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点为线段的黄金分割点。本题可先利用正方形的性质得到直角三角形PAD的边长，用勾股定理求出PD的长度，再结合$PF=PD$求出AF、BF的长度，最后验证对应线段的比值是否等于黄金比，即可完成证明。
【解析】
证明：在正方形ABCD中，$AD=AB=2$，$∠ BAD=90°$。
∵P为AB的中点，
∴$AP=BP=\frac{1}{2}AB=1$，
在$Rt△ PAD$中，由勾股定理得：
$PD=\sqrt{AP^2+AD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
∵$PF=PD$，
∴$PF=\sqrt{5}$，
∴$AF=PF-AP=\sqrt{5}-1$，$BF=PF+BP=\sqrt{5}+1$，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{AB}{BF}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
即$\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{BF}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割的定义，
∴点A是线段BF的黄金分割点。
【答案】
点A是线段BF的黄金分割点，证明成立。
【知识点】
黄金分割的判定，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，结合常见几何图形性质考查黄金分割的概念，解题关键是牢记黄金分割的判定标准，正确计算相关线段的长度，通过比值验证即可得到结论。
【难度系数】
0.7
1. 下列四组线段是成比例的线段的是（
A.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm
B.2 cm,3 cm,4 cm,6 cm
C.5 cm,6 cm,7 cm,8 cm
D.7 cm,8 cm,9 cm,10 cm
B
）A.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm
B.2 cm,3 cm,4 cm,6 cm
C.5 cm,6 cm,7 cm,8 cm
D.7 cm,8 cm,9 cm,10 cm
答案
B
解析
【分析】要判断四组线段是否为成比例线段，首先回忆成比例线段的判定方法：先将每组四条线段按长度从小到大排序，若最长线段与最短线段的乘积等于中间两条线段的乘积，则这四条线段是成比例线段，反之则不是。接下来对每个选项按这个方法逐一验证即可。
【解析】判断成比例线段的常用方法：将四条线段按从小到大排序后，验证最长线段长度×最短线段长度=中间两条线段长度的乘积，等式成立则为成比例线段。
A选项：线段排序为1cm，2cm，3cm，4cm，$1×4=4$，$2×3=6$，$4≠6$，不是成比例线段；
B选项：线段排序为2cm，3cm，4cm，6cm，$2×6=12$，$3×4=12$，$12=12$，是成比例线段；
C选项：线段排序为5cm，6cm，7cm，8cm，$5×8=40$，$6×7=42$，$40≠42$，不是成比例线段；
D选项：线段排序为7cm，8cm，9cm，10cm，$7×10=70$，$8×9=72$，$70≠72$，不是成比例线段。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】1. 成比例线段的判定 2. 比例的基本性质
【点评】本题是基础类题型，核心考查成比例线段的判定方法，使用乘积法验证可以快速高效得出结论，需要熟练掌握该判定技巧。
【难度系数】0.9
【解析】判断成比例线段的常用方法：将四条线段按从小到大排序后，验证最长线段长度×最短线段长度=中间两条线段长度的乘积，等式成立则为成比例线段。
A选项：线段排序为1cm，2cm，3cm，4cm，$1×4=4$，$2×3=6$，$4≠6$，不是成比例线段；
B选项：线段排序为2cm，3cm，4cm，6cm，$2×6=12$，$3×4=12$，$12=12$，是成比例线段；
C选项：线段排序为5cm，6cm，7cm，8cm，$5×8=40$，$6×7=42$，$40≠42$，不是成比例线段；
D选项：线段排序为7cm，8cm，9cm，10cm，$7×10=70$，$8×9=72$，$70≠72$，不是成比例线段。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】1. 成比例线段的判定 2. 比例的基本性质
【点评】本题是基础类题型，核心考查成比例线段的判定方法，使用乘积法验证可以快速高效得出结论，需要熟练掌握该判定技巧。
【难度系数】0.9
2. 在比例尺是1：2 000 000的地图上，量得甲、乙两城相距12.5 cm，一辆汽车以80 km/h的速度匀速行驶，从甲城开往乙城需要的时间是（
A.2.35 h
B.3.5 h
C.3.25 h
D.3.125 h
D
）A.2.35 h
B.3.5 h
C.3.25 h
D.3.125 h
答案
D
解析
【分析】
解题时首先明确比例尺的定义：比例尺=图上距离:实际距离，第一步先根据比例尺公式求出甲、乙两城的实际距离，注意要将实际距离的单位从厘米换算为千米，和速度单位统一；第二步根据行程问题中“时间=路程÷速度”的公式，代入数值计算即可得到行驶时间，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：① 计算甲乙两城的实际距离
设甲乙两城的实际距离为$x$cm，根据比例尺公式可得：
$\frac{1}{2000000}=\frac{12.5}{x}$
解得：$x=12.5×2000000=25000000\ \mathrm{cm}$
② 单位换算
因为$1\ \mathrm{km}=100000\ \mathrm{cm}$，所以$25000000\ \mathrm{cm}=250\ \mathrm{km}$
③ 计算行驶时间
根据$时间=路程÷速度$，代入数据得：
$t=250÷80=3.125\ \mathrm{h}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
比例尺的应用，行程问题计算，长度单位换算
【点评】
本题属于基础综合题，结合了比例尺和行程问题两个板块的知识，解题关键是准确完成单位换算，正确运用对应公式计算，主要考察学生对基础知识点的应用和计算能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确比例尺的定义：比例尺=图上距离:实际距离，第一步先根据比例尺公式求出甲、乙两城的实际距离，注意要将实际距离的单位从厘米换算为千米，和速度单位统一；第二步根据行程问题中“时间=路程÷速度”的公式，代入数值计算即可得到行驶时间，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：① 计算甲乙两城的实际距离
设甲乙两城的实际距离为$x$cm，根据比例尺公式可得：
$\frac{1}{2000000}=\frac{12.5}{x}$
解得：$x=12.5×2000000=25000000\ \mathrm{cm}$
② 单位换算
因为$1\ \mathrm{km}=100000\ \mathrm{cm}$，所以$25000000\ \mathrm{cm}=250\ \mathrm{km}$
③ 计算行驶时间
根据$时间=路程÷速度$，代入数据得：
$t=250÷80=3.125\ \mathrm{h}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
比例尺的应用，行程问题计算，长度单位换算
【点评】
本题属于基础综合题，结合了比例尺和行程问题两个板块的知识，解题关键是准确完成单位换算，正确运用对应公式计算，主要考察学生对基础知识点的应用和计算能力。
【难度系数】
0.8
3. (2025金华期末)如图,点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP),AB=2,则AP的长为 (
A.$\sqrt{5}+1$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$3-\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}-2$
B
)A.$\sqrt{5}+1$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$3-\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}-2$
答案
B
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的定义：若一个点把线段分成两条线段，使较长线段与全线段的比等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，这个点就是线段的黄金分割点。本题已知点P是线段AB的黄金分割点且AP＞BP，说明AP是较长线段，因此只需用黄金比乘以AB的总长度，即可求出AP的长。
【解析】
∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，
∴AP是较长线段，满足$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，
又
∵AB=2，
∴$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2=\sqrt{5}-1$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
黄金分割的概念；线段长度计算
【点评】
本题考查黄金分割的基本应用，解题的关键是明确黄金分割中较长线段与整条线段的比例关系，熟记黄金比的取值即可快速解题，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
首先回忆黄金分割的定义：若一个点把线段分成两条线段，使较长线段与全线段的比等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，这个点就是线段的黄金分割点。本题已知点P是线段AB的黄金分割点且AP＞BP，说明AP是较长线段，因此只需用黄金比乘以AB的总长度，即可求出AP的长。
【解析】
∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，
∴AP是较长线段，满足$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，
又
∵AB=2，
∴$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2=\sqrt{5}-1$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
黄金分割的概念；线段长度计算
【点评】
本题考查黄金分割的基本应用，解题的关键是明确黄金分割中较长线段与整条线段的比例关系，熟记黄金比的取值即可快速解题，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
4.已知线段$AB=2.5\ \mathrm{m}$,线段$CD=400\ \mathrm{cm}$,则线段$AB$与线段$CD$的比为
5:8
.答案
5:8
解析
【分析】
要求两条线段的比，首先要明确线段的比的定义：两条线段长度的比值叫做两条线段的比，计算前必须先统一两条线段的长度单位，否则单位不同得到的比值没有意义。本题中AB的单位是m，CD的单位是cm，所以第一步先将两个线段的单位换算为一致，再将两个长度作比，最后化简为最简整数比即可。
【解析】
首先统一长度单位：
∵$1\ \mathrm{m}=100\ \mathrm{cm}$，
∴$AB=2.5\ \mathrm{m}=2.5×100\ \mathrm{cm}=250\ \mathrm{cm}$。
已知$CD=400\ \mathrm{cm}$，则线段AB与CD的比为：
$AB:CD=250\ \mathrm{cm}:400\ \mathrm{cm}=250:400$，
将比的前项和后项同时除以最大公因数50，化简得$5:8$。
【答案】
$5:8$
【知识点】
线段的比、长度单位换算
【点评】
本题属于基础题，核心易错点是计算前忽略统一单位，直接将数值作比得到错误结果，计算时先统一单位再化简比即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
要求两条线段的比，首先要明确线段的比的定义：两条线段长度的比值叫做两条线段的比，计算前必须先统一两条线段的长度单位，否则单位不同得到的比值没有意义。本题中AB的单位是m，CD的单位是cm，所以第一步先将两个线段的单位换算为一致，再将两个长度作比，最后化简为最简整数比即可。
【解析】
首先统一长度单位：
∵$1\ \mathrm{m}=100\ \mathrm{cm}$，
∴$AB=2.5\ \mathrm{m}=2.5×100\ \mathrm{cm}=250\ \mathrm{cm}$。
已知$CD=400\ \mathrm{cm}$，则线段AB与CD的比为：
$AB:CD=250\ \mathrm{cm}:400\ \mathrm{cm}=250:400$，
将比的前项和后项同时除以最大公因数50，化简得$5:8$。
【答案】
$5:8$
【知识点】
线段的比、长度单位换算
【点评】
本题属于基础题，核心易错点是计算前忽略统一单位，直接将数值作比得到错误结果，计算时先统一单位再化简比即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
