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5. (2025甘肃期中)已知$x,y,m,n$是成比例的线段，其中$x=2,y=1,m=6$，则线段$n$的长是
3
。答案
3
解析
【分析】
解决这道题首先要明确成比例线段的定义：若四条线段按顺序a,b,c,d成比例，则满足a:b = c:d（即$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$）。本题已知x,y,m,n是成比例的线段，我们可以先根据定义列出对应比例式，再代入已知的x、y、m的数值，通过解方程求出n的长度，解题时注意四条线段的顺序不能随意调换，避免列错比例式。
【解析】
解：
∵x,y,m,n是成比例的线段
∴根据成比例线段的定义可得：$\frac{x}{y}=\frac{m}{n}$
将x=2，y=1，m=6代入上述比例式，得：
$\frac{2}{1}=\frac{6}{n}$
交叉相乘可得：$2n = 6×1$
解得：$n=3$
【答案】
3
【知识点】
成比例线段的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对成比例线段概念的理解，解题的关键是准确把握四条成比例线段的排列顺序，避免因比例式列错导致失分。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确成比例线段的定义：若四条线段按顺序a,b,c,d成比例，则满足a:b = c:d（即$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$）。本题已知x,y,m,n是成比例的线段，我们可以先根据定义列出对应比例式，再代入已知的x、y、m的数值，通过解方程求出n的长度，解题时注意四条线段的顺序不能随意调换，避免列错比例式。
【解析】
解：
∵x,y,m,n是成比例的线段
∴根据成比例线段的定义可得：$\frac{x}{y}=\frac{m}{n}$
将x=2，y=1，m=6代入上述比例式，得：
$\frac{2}{1}=\frac{6}{n}$
交叉相乘可得：$2n = 6×1$
解得：$n=3$
【答案】
3
【知识点】
成比例线段的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对成比例线段概念的理解，解题的关键是准确把握四条成比例线段的排列顺序，避免因比例式列错导致失分。
【难度系数】
0.9
6. 如图,有矩形ABCD和矩形A'B'C'D',AB=8 cm,BC=12 cm,A'B'=4 cm,B'C'=6 cm.
(1)求$\frac{A'B'}{AB}$和$\frac{B'C'}{BC}$的值;
(2)线段A'B',AB,B'C',BC是成比例的线段吗?
(1)求$\frac{A'B'}{AB}$和$\frac{B'C'}{BC}$的值;
(2)线段A'B',AB,B'C',BC是成比例的线段吗?
答案
解:(1)$\frac{A'B'}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$,$\frac{B'C'}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
(2)$\because \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$,
∴线段 A'B',AB,B'C',BC 是成比例的线段。
(2)$\because \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$,
∴线段 A'B',AB,B'C',BC 是成比例的线段。
解析
【分析】
(1) 求两条线段的比值，只需将两条线段的长度代入比值表达式，化简为最简分数即可。(2) 判断四条线段是否为成比例线段，依据成比例线段的定义：若四条线段a、b、c、d满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则这四条线段是成比例线段，因此只需验证第(1)问算出的两个比值是否相等即可。
【解析】
解：(1) 由题意得$AB=8\mathrm{cm}$，$A'B'=4\mathrm{cm}$，$BC=12\mathrm{cm}$，$B'C'=6\mathrm{cm}$，
代入得：$\frac{A'B'}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
(2) $\because \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$，
$\therefore$ 线段$A'B'$，$AB$，$B'C'$，$BC$是成比例的线段。
【答案】
(1) $\frac{A'B'}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$；
(2) 线段$A'B'$，$AB$，$B'C'$，$BC$是成比例的线段。
【知识点】
线段比值计算；成比例线段的定义
【点评】
本题为基础题型，重点考查成比例线段的基础概念，解题时只需代入数值计算对比即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
(1) 求两条线段的比值，只需将两条线段的长度代入比值表达式，化简为最简分数即可。(2) 判断四条线段是否为成比例线段，依据成比例线段的定义：若四条线段a、b、c、d满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则这四条线段是成比例线段，因此只需验证第(1)问算出的两个比值是否相等即可。
【解析】
解：(1) 由题意得$AB=8\mathrm{cm}$，$A'B'=4\mathrm{cm}$，$BC=12\mathrm{cm}$，$B'C'=6\mathrm{cm}$，
代入得：$\frac{A'B'}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
(2) $\because \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$，
$\therefore$ 线段$A'B'$，$AB$，$B'C'$，$BC$是成比例的线段。
【答案】
(1) $\frac{A'B'}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$；
(2) 线段$A'B'$，$AB$，$B'C'$，$BC$是成比例的线段。
【知识点】
线段比值计算；成比例线段的定义
【点评】
本题为基础题型，重点考查成比例线段的基础概念，解题时只需代入数值计算对比即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
7. 如果$△ ABC$的三边$a,b,c$满足$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}$，且三角形的周长是12 cm，那么$△ ABC$的形状是（
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
C
）A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
答案
C
解析
【分析】
遇到连等式的问题，我们通常采用设参数k的方法，将三边a、b、c都用含k的代数式表示。再结合三角形周长为12cm的条件，代入求出参数k的值，进而得到三边的具体长度，最后利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可。
【解析】
解：设$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=k$，可得：
$a=3k-4$，$b=2k-3$，$c=4k-8$
已知三角形周长为12cm，即$a+b+c=12$，代入得：
$3k-4+2k-3+4k-8=12$
合并同类项得：$9k-15=12$
解得：$k=3$
将$k=3$代入，得三边长分别为：
$a=3×3-4=5\mathrm{cm}$，$b=2×3-3=3\mathrm{cm}$，$c=4×3-8=4\mathrm{cm}$
验证三边关系：$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，满足勾股定理的逆定理，因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
比例的性质；勾股定理逆定理；三角形周长计算
【点评】
本题是三角形形状判断的基础题，解题的核心是通过设参数的方法将连比式转化为代数式表示三边长，再结合勾股定理逆定理进行判断，这类题型是比例性质和三角形知识结合的常考题型。
【难度系数】
0.7
遇到连等式的问题，我们通常采用设参数k的方法，将三边a、b、c都用含k的代数式表示。再结合三角形周长为12cm的条件，代入求出参数k的值，进而得到三边的具体长度，最后利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可。
【解析】
解：设$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=k$，可得：
$a=3k-4$，$b=2k-3$，$c=4k-8$
已知三角形周长为12cm，即$a+b+c=12$，代入得：
$3k-4+2k-3+4k-8=12$
合并同类项得：$9k-15=12$
解得：$k=3$
将$k=3$代入，得三边长分别为：
$a=3×3-4=5\mathrm{cm}$，$b=2×3-3=3\mathrm{cm}$，$c=4×3-8=4\mathrm{cm}$
验证三边关系：$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，满足勾股定理的逆定理，因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
比例的性质；勾股定理逆定理；三角形周长计算
【点评】
本题是三角形形状判断的基础题，解题的核心是通过设参数的方法将连比式转化为代数式表示三边长，再结合勾股定理逆定理进行判断，这类题型是比例性质和三角形知识结合的常考题型。
【难度系数】
0.7
8.如图，某品牌汽车为了打造更加精美的外观，将汽车的倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置(靠近车头)，如果车头与倒车镜的水平距离为2 m，则该车车身总长为
$3+\sqrt{5}$
m. 答案
$3+\sqrt{5}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，这个比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（黄金比）。首先设车身总长为$x$ m，已知倒车镜在靠近车头的黄金分割点，说明车尾到倒车镜的距离是较长段，车头到倒车镜的2m是较短段，根据“较长段长度=总长×黄金比”列方程，再通过解方程、分母有理化求出总长即可。
【解析】
设该车车身总长为$x$ m。
因为倒车镜在靠近车头的黄金分割点，所以车尾到倒车镜的距离为较长段，根据黄金分割的性质，较长段与总长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，可得：
$\frac{x-2}{x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
交叉相乘得：$2(x-2)=(\sqrt{5}-1)x$
展开左边：$2x - 4 = \sqrt{5}x - x$
移项合并同类项：$3x - \sqrt{5}x = 4$，即$x(3-\sqrt{5})=4$
系数化为1并进行分母有理化：
$x=\frac{4}{3-\sqrt{5}}=\frac{4(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=\frac{4(3+\sqrt{5})}{9-5}=3+\sqrt{5}$
【答案】
$3+\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割；二次根式运算
【点评】
本题是黄金分割在实际生活中的应用，解题核心是明确黄金分割点的位置对应的线段比例关系，计算时要正确进行分母有理化，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先回忆黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，这个比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（黄金比）。首先设车身总长为$x$ m，已知倒车镜在靠近车头的黄金分割点，说明车尾到倒车镜的距离是较长段，车头到倒车镜的2m是较短段，根据“较长段长度=总长×黄金比”列方程，再通过解方程、分母有理化求出总长即可。
【解析】
设该车车身总长为$x$ m。
因为倒车镜在靠近车头的黄金分割点，所以车尾到倒车镜的距离为较长段，根据黄金分割的性质，较长段与总长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，可得：
$\frac{x-2}{x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
交叉相乘得：$2(x-2)=(\sqrt{5}-1)x$
展开左边：$2x - 4 = \sqrt{5}x - x$
移项合并同类项：$3x - \sqrt{5}x = 4$，即$x(3-\sqrt{5})=4$
系数化为1并进行分母有理化：
$x=\frac{4}{3-\sqrt{5}}=\frac{4(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=\frac{4(3+\sqrt{5})}{9-5}=3+\sqrt{5}$
【答案】
$3+\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割；二次根式运算
【点评】
本题是黄金分割在实际生活中的应用，解题核心是明确黄金分割点的位置对应的线段比例关系，计算时要正确进行分母有理化，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
9. 邻边比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫作“黄金矩形”，“黄金矩形”给我们以协调、匀称的美感. 如图，若要将一张边长为2的正方形纸片ABCD剪出一个以AB为边的“黄金矩形”ABMN，小松同学的作法如下：
①作AB的垂直平分线分别交AB，CD于点E，F；
②连接AF，作∠BAF的平分线，交BC于点M；
③过点M作MN⊥AD于点N，矩形ABMN即为所求.
(1)根据上述作图过程，补全图形；
(2)小松证明四边形ABMN是“黄金矩形”的思路如下：过点M作MP⊥AF于点P，连接MF，设BM=x.
根据角平分线的性质，可知MP=BM=x.
根据条件，可求得AF的长度为
在$\mathrm{Rt}△ MPF$和$\mathrm{Rt}△ CMF$中，由勾股定理可得$MP^2 + PF^2 = MF^2 = MC^2 + CF^2$.
由此可列关于$x$的方程为
所以$\frac{BM}{AB} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故矩形ABMN是“黄金矩形”.
将上述证明过程补充完整.
①作AB的垂直平分线分别交AB，CD于点E，F；
②连接AF，作∠BAF的平分线，交BC于点M；
③过点M作MN⊥AD于点N，矩形ABMN即为所求.
(1)根据上述作图过程，补全图形；
(2)小松证明四边形ABMN是“黄金矩形”的思路如下：过点M作MP⊥AF于点P，连接MF，设BM=x.
根据角平分线的性质，可知MP=BM=x.
根据条件，可求得AF的长度为
$\sqrt{5}$
，AP的长度为2
.在$\mathrm{Rt}△ MPF$和$\mathrm{Rt}△ CMF$中，由勾股定理可得$MP^2 + PF^2 = MF^2 = MC^2 + CF^2$.
由此可列关于$x$的方程为
$x^2 + (\sqrt{5}-2)^2=(2-x)^2+1^2$
，解得$BM=x=$$\sqrt{5}-1$
.所以$\frac{BM}{AB} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故矩形ABMN是“黄金矩形”.
将上述证明过程补充完整.
答案
(1) 补全的图形如图
(2) $\sqrt{5}$ 2 $x^2 + (\sqrt{5}-2)^2=(2-x)^2+1^2$ $\sqrt{5}-1$
解析
【分析】
本题分为作图和计算两部分。(1)补图需严格按照题目给出的作法操作：先作∠BAF的角平分线交BC于M，再过M作AD的垂线，垂足为N即可。(2)计算部分先结合正方形性质和勾股定理求AF的长度；再利用角平分线的性质可证△ABM和△APM全等，得到AP=AB；然后分别表示出Rt△MPF和Rt△CMF各边的长度，代入勾股定理所列的等式即可得到关于x的方程，解方程得到BM的长度即可验证黄金矩形的结论。
【解析】
(1) 按照作法补全图形：作∠BAF的平分线交BC于点M，过M作MN⊥AD于点N，即可得到所求图形。
(2) 已知正方形ABCD边长为2，计算过程如下：
① 求AF的长度：
∵EF是AB的垂直平分线，
∴F是CD的中点，$DF=\frac{1}{2}CD=1$，
在$\mathrm{Rt}△ADF$中，$AD=2$，$DF=1$，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
② 求AP的长度：
∵AM平分∠BAF，$∠ B=∠ APM=90°$，$AM=AM$，
∴$△ ABM≌△ APM$（AAS），
∴$AP=AB=2$。
③ 列关于x的方程：
$PF=AF-AP=\sqrt{5}-2$，$MC=BC-BM=2-x$，$CF=1$，
代入$MP^2 + PF^2 = MC^2 + CF^2$，得方程：
$x^2 + (\sqrt{5}-2)^2=(2-x)^2+1^2$。
④ 解方程求x：
展开等式得$x^2 + 5 -4\sqrt{5} +4 = 4 -4x +x^2 +1$，
消去$x^2$整理得$9-4\sqrt{5}=5-4x$，解得$x=\sqrt{5}-1$。
【答案】
(1) 补全的图形如图
(2) $\sqrt{5}$；$2$；$x^2 + (\sqrt{5}-2)^2=(2-x)^2+1^2$；$\sqrt{5}-1$
【知识点】
角平分线的性质，勾股定理，一元一次方程的解法
【点评】
本题以新定义“黄金矩形”为背景，结合基本作图、几何性质与方程思想考查综合解题能力，解题过程中需熟练运用全等、勾股定理等知识建立等量关系，能较好地锻炼几何推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
本题分为作图和计算两部分。(1)补图需严格按照题目给出的作法操作：先作∠BAF的角平分线交BC于M，再过M作AD的垂线，垂足为N即可。(2)计算部分先结合正方形性质和勾股定理求AF的长度；再利用角平分线的性质可证△ABM和△APM全等，得到AP=AB；然后分别表示出Rt△MPF和Rt△CMF各边的长度，代入勾股定理所列的等式即可得到关于x的方程，解方程得到BM的长度即可验证黄金矩形的结论。
【解析】
(1) 按照作法补全图形：作∠BAF的平分线交BC于点M，过M作MN⊥AD于点N，即可得到所求图形。
(2) 已知正方形ABCD边长为2，计算过程如下：
① 求AF的长度：
∵EF是AB的垂直平分线，
∴F是CD的中点，$DF=\frac{1}{2}CD=1$，
在$\mathrm{Rt}△ADF$中，$AD=2$，$DF=1$，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
② 求AP的长度：
∵AM平分∠BAF，$∠ B=∠ APM=90°$，$AM=AM$，
∴$△ ABM≌△ APM$（AAS），
∴$AP=AB=2$。
③ 列关于x的方程：
$PF=AF-AP=\sqrt{5}-2$，$MC=BC-BM=2-x$，$CF=1$，
代入$MP^2 + PF^2 = MC^2 + CF^2$，得方程：
$x^2 + (\sqrt{5}-2)^2=(2-x)^2+1^2$。
④ 解方程求x：
展开等式得$x^2 + 5 -4\sqrt{5} +4 = 4 -4x +x^2 +1$，
消去$x^2$整理得$9-4\sqrt{5}=5-4x$，解得$x=\sqrt{5}-1$。
【答案】
(1) 补全的图形如图
(2) $\sqrt{5}$；$2$；$x^2 + (\sqrt{5}-2)^2=(2-x)^2+1^2$；$\sqrt{5}-1$
【知识点】
角平分线的性质，勾股定理，一元一次方程的解法
【点评】
本题以新定义“黄金矩形”为背景，结合基本作图、几何性质与方程思想考查综合解题能力，解题过程中需熟练运用全等、勾股定理等知识建立等量关系，能较好地锻炼几何推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
