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教材梳理，厘清必备知识
1. 两条直线被一组平行线所截的特性
两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.
2. 平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段
3. 平行线分线段成比例的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段
教材梳理，厘清必备知识
1. 两条直线被一组平行线所截的特性
两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.
2. 平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段
成比例
（基本事实）.3. 平行线分线段成比例的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段
成比例
.答案
1. 相等
2. 成比例
3. 成比例
2. 成比例
3. 成比例
解析
【分析】
本题为基础概念识记题，主要考查平行线分线段成比例相关的教材原文结论，解题时直接回忆对应知识点填写即可：第2空对应平行线分线段成比例的基本事实，第3空对应平行线分线段成比例的推论，均为教材明确给出的结论，无需推导计算。
【解析】
2. 根据平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，因此该空填“成比例”；
3. 根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，因此该空填“成比例”。
【答案】
2. 成比例；3. 成比例
【知识点】
平行线分线段成比例基本事实、平行线分线段成比例推论
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对平行线分线段成比例相关核心结论的掌握，牢记教材中的基本事实和推论即可快速作答，是后续运用相关知识解决几何计算、证明题的基础。
【难度系数】
0.9
本题为基础概念识记题，主要考查平行线分线段成比例相关的教材原文结论，解题时直接回忆对应知识点填写即可：第2空对应平行线分线段成比例的基本事实，第3空对应平行线分线段成比例的推论，均为教材明确给出的结论，无需推导计算。
【解析】
2. 根据平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，因此该空填“成比例”；
3. 根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，因此该空填“成比例”。
【答案】
2. 成比例；3. 成比例
【知识点】
平行线分线段成比例基本事实、平行线分线段成比例推论
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对平行线分线段成比例相关核心结论的掌握，牢记教材中的基本事实和推论即可快速作答，是后续运用相关知识解决几何计算、证明题的基础。
【难度系数】
0.9
【例1】(2025哈尔滨期末)如图，$AB// CD// EF$，$AF$与$BE$相交于点$G$，且$AG=2$，$GD=1$，$DF=5$，那么$\frac{BC}{CE}$的值为（
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$2$
D.$\frac{3}{5}$
D
）A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$2$
D.$\frac{3}{5}$
答案
例1. D
解析
【分析】
观察图形可知三条直线$AB、CD、EF$互相平行，截直线$BE$和$AF$，符合平行线分线段成比例定理的应用条件。解题时首先找到与所求$\frac{BC}{CE}$对应的线段比例关系$\frac{BC}{CE}=\frac{AD}{DF}$，先计算出$AD$的长度，再代入数值即可求出结果。
【解析】
解：$\because AB// CD// EF$
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{BC}{CE}=\frac{AD}{DF}$
又$\because AD=AG+GD=2+1=3$，$DF=5$
$\therefore \frac{BC}{CE}=\frac{3}{5}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，找准对应线段的比例关系，避免对应线段混淆即可正确求解。
【难度系数】
0.8
观察图形可知三条直线$AB、CD、EF$互相平行，截直线$BE$和$AF$，符合平行线分线段成比例定理的应用条件。解题时首先找到与所求$\frac{BC}{CE}$对应的线段比例关系$\frac{BC}{CE}=\frac{AD}{DF}$，先计算出$AD$的长度，再代入数值即可求出结果。
【解析】
解：$\because AB// CD// EF$
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{BC}{CE}=\frac{AD}{DF}$
又$\because AD=AG+GD=2+1=3$，$DF=5$
$\therefore \frac{BC}{CE}=\frac{3}{5}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，找准对应线段的比例关系，避免对应线段混淆即可正确求解。
【难度系数】
0.8
【变式1】(2025衡阳期中)如图，AB//CD//EF，若AC=5，CE=10，DF=8，则BD的长为（
A.7
B.6
C.5
D.4
D
）A.7
B.6
C.5
D.4
答案
变式1. D
解析
【分析】
题目给出三条互相平行的直线AB、CD、EF截两条直线，符合平行线分线段成比例定理的适用条件。解题时首先根据定理确定对应成比例的线段，再将已知线段长度代入比例式，通过解比例式即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵$AB// CD// EF$，根据平行线分线段成比例定理，可得对应线段成比例：
$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$
将$AC=5$，$CE=10$，$DF=8$代入上式：
$\frac{5}{10}=\frac{BD}{8}$
化简求解得：$BD=\frac{5×8}{10}=4$
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例，解比例方程
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用，核心是准确匹配对应线段，避免因对应线段混淆出错，属于基础题型，熟练掌握定理内容即可快速求解。
【难度系数】
0.8
题目给出三条互相平行的直线AB、CD、EF截两条直线，符合平行线分线段成比例定理的适用条件。解题时首先根据定理确定对应成比例的线段，再将已知线段长度代入比例式，通过解比例式即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵$AB// CD// EF$，根据平行线分线段成比例定理，可得对应线段成比例：
$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$
将$AC=5$，$CE=10$，$DF=8$代入上式：
$\frac{5}{10}=\frac{BD}{8}$
化简求解得：$BD=\frac{5×8}{10}=4$
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例，解比例方程
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用，核心是准确匹配对应线段，避免因对应线段混淆出错，属于基础题型，熟练掌握定理内容即可快速求解。
【难度系数】
0.8
【变式2】如图，已知直线$a// b// c$，直线$m$分别与直线$a,b,c$交于点$A,B,C$，直线$n$分别与直线$a,b,c$交于点$D,E,F$。若$DE=6,EF=8$，则$\frac{BC}{AC}$的值为（
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{7}$
D.$\frac{4}{7}$
D
）A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{7}$
D.$\frac{4}{7}$
答案
变式2. D
解析
【分析】
首先观察到题目给出了三条互相平行的直线截两条直线的图形，符合平行线分线段成比例定理的使用条件。解题思路如下：1. 先明确所求比例$\frac{BC}{AC}$对应的截线m上的线段关系，找到直线n上与之对应的线段比例关系；2. 先计算直线n上总线段DF的长度；3. 代入平行线分线段成比例的结论，化简计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 直线$a// b// c$，直线m、n分别被a、b、c所截
根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}$
已知$DE=6$，$EF=8$
∴ $DF=DE+EF=6+8=14$
代入得：$\frac{BC}{AC}=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例；比例化简计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用考题，解题的核心是准确找到成比例的对应线段，避免因对应线段匹配错误导致计算失误，熟练掌握定理内容就能快速作答。
【难度系数】
0.7
首先观察到题目给出了三条互相平行的直线截两条直线的图形，符合平行线分线段成比例定理的使用条件。解题思路如下：1. 先明确所求比例$\frac{BC}{AC}$对应的截线m上的线段关系，找到直线n上与之对应的线段比例关系；2. 先计算直线n上总线段DF的长度；3. 代入平行线分线段成比例的结论，化简计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 直线$a// b// c$，直线m、n分别被a、b、c所截
根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}$
已知$DE=6$，$EF=8$
∴ $DF=DE+EF=6+8=14$
代入得：$\frac{BC}{AC}=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例；比例化简计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用考题，解题的核心是准确找到成比例的对应线段，避免因对应线段匹配错误导致计算失误，熟练掌握定理内容就能快速作答。
【难度系数】
0.7
【例2】(2025娄底期中)如图，在△ABC中，D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点，DE//BC,EF//AB,则下列结论正确的是（
A.$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{AC}$
B.$\frac{AD}{AB}=\frac{CF}{BC}$
C.$\frac{AD}{AB}=\frac{BF}{BC}$
D.$\frac{AD}{BD}=\frac{CF}{BF}$
方法技巧（1）在定理和推论中，比例式中涉及的线段都在两条被截的直线上，而不是在平行线上的线段。
（2）基本事实和推论中的“对应”是指两条线段在图形中的位置关系是一致的，如$\frac{上}{下}=\frac{上}{下},\frac{上}{全}=\frac{上}{全}$……
C
）A.$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{AC}$
B.$\frac{AD}{AB}=\frac{CF}{BC}$
C.$\frac{AD}{AB}=\frac{BF}{BC}$
D.$\frac{AD}{BD}=\frac{CF}{BF}$
方法技巧（1）在定理和推论中，比例式中涉及的线段都在两条被截的直线上，而不是在平行线上的线段。
（2）基本事实和推论中的“对应”是指两条线段在图形中的位置关系是一致的，如$\frac{上}{下}=\frac{上}{下},\frac{上}{全}=\frac{上}{全}$……
答案
例2. C
解析
【分析】
解题时首先根据题中给出的两组平行线，先判定四边形BDEF为平行四边形，得到对边相等的关系；再结合平行线分线段成比例的基本事实，按照“上比下等于上比下、上比全等于上比全”的对应规律，逐个判断选项中的比例式是否成立，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 由$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，因此选项A中$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{AC}$不成立，A错误。
2. 由$EF// AB$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{CF}{BC}=\frac{CE}{AC}=\frac{EF}{AB}$，$\frac{BF}{CF}=\frac{AE}{EC}$。
3. 因为$DE// BC$，$EF// AB$，所以四边形BDEF是平行四边形，因此$DE=BF$。
将$DE=BF$代入$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，可得$\frac{AD}{AB}=\frac{BF}{BC}$，故C正确。
4. 验证剩余选项：
B选项：$\frac{AD}{AB}=\frac{BF}{BC}≠\frac{CF}{BC}$，B错误；
D选项：$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}=\frac{BF}{CF}≠\frac{CF}{BF}$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题型，解题的核心是准确把握比例式中线段的对应关系，结合平行四边形的性质进行等量替换即可快速判断，要注意避免因线段对应混淆出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据题中给出的两组平行线，先判定四边形BDEF为平行四边形，得到对边相等的关系；再结合平行线分线段成比例的基本事实，按照“上比下等于上比下、上比全等于上比全”的对应规律，逐个判断选项中的比例式是否成立，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 由$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，因此选项A中$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{AC}$不成立，A错误。
2. 由$EF// AB$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{CF}{BC}=\frac{CE}{AC}=\frac{EF}{AB}$，$\frac{BF}{CF}=\frac{AE}{EC}$。
3. 因为$DE// BC$，$EF// AB$，所以四边形BDEF是平行四边形，因此$DE=BF$。
将$DE=BF$代入$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，可得$\frac{AD}{AB}=\frac{BF}{BC}$，故C正确。
4. 验证剩余选项：
B选项：$\frac{AD}{AB}=\frac{BF}{BC}≠\frac{CF}{BC}$，B错误；
D选项：$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}=\frac{BF}{CF}≠\frac{CF}{BF}$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题型，解题的核心是准确把握比例式中线段的对应关系，结合平行四边形的性质进行等量替换即可快速判断，要注意避免因线段对应混淆出错。
【难度系数】
0.7
【变式1】如图，在$△ ABC$中，已知$DE// BC$，若$AD=3$，$DB=6$，$AE=2$，则$AC$的长是
（
A.4
B.9
C.6
D.8
（
C
）A.4
B.9
C.6
D.8
答案
变式1. C
解析
【分析】
首先观察图形，已知DE平行于BC，可联想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。我们可以先根据这个定理列出比例式求出EC的长度，再结合AC=AE+EC即可求出AC的长。
【解析】
解：
∵$DE// BC$
∴根据平行线分线段成比例的推论，可得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$
将$AD=3$，$DB=6$，$AE=2$代入上式：
$\frac{3}{6}=\frac{2}{EC}$
解得$EC=4$
∴$AC=AE+EC=2+4=6$
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确找到成比例的对应线段，结合平行线分线段成比例的性质列等式计算即可。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，已知DE平行于BC，可联想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。我们可以先根据这个定理列出比例式求出EC的长度，再结合AC=AE+EC即可求出AC的长。
【解析】
解：
∵$DE// BC$
∴根据平行线分线段成比例的推论，可得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$
将$AD=3$，$DB=6$，$AE=2$代入上式：
$\frac{3}{6}=\frac{2}{EC}$
解得$EC=4$
∴$AC=AE+EC=2+4=6$
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确找到成比例的对应线段，结合平行线分线段成比例的性质列等式计算即可。
【难度系数】
0.8
【变式2】如图，AB//CD，AC与BD相交于点O. 若AO=3，BO=6，CO=2，则BD的长为（
A.4
B.10
C.11
D.12
B
）A.4
B.10
C.11
D.12
答案
变式2. B
解析
【分析】
解题时先观察图形，已知AB//CD，结合相交线的对顶角相等、平行线的内错角相等，可判定△AOB与△COD相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段长度求出OD的长，最后BD的长度为BO与OD之和，即可求出结果。
【解析】
解：
∵AB//CD
∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等）
又
∵∠AOB=∠COD（对顶角相等）
∴△AOB∽△COD（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$
将AO=3，BO=6，CO=2代入得：
$\frac{3}{2}=\frac{6}{DO}$
解得：$DO=4$
∴$BD=BO+DO=6+4=10$
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定与性质；线段和差计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题的核心是通过平行线推出三角形相似，再利用相似的对应边成比例求解未知线段，掌握相似三角形的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形，已知AB//CD，结合相交线的对顶角相等、平行线的内错角相等，可判定△AOB与△COD相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段长度求出OD的长，最后BD的长度为BO与OD之和，即可求出结果。
【解析】
解：
∵AB//CD
∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等）
又
∵∠AOB=∠COD（对顶角相等）
∴△AOB∽△COD（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$
将AO=3，BO=6，CO=2代入得：
$\frac{3}{2}=\frac{6}{DO}$
解得：$DO=4$
∴$BD=BO+DO=6+4=10$
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定与性质；线段和差计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题的核心是通过平行线推出三角形相似，再利用相似的对应边成比例求解未知线段，掌握相似三角形的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
