1.如图，已知$a// b// c$，直线$m$分别交直线$a$，$b$，$c$于点$A$，$C$，$E$，直线$n$分别交直线$a$，$b$，$c$于点$B$，$D$，$F$。若$\frac{AC}{CE}=\frac{1}{2}$，则$\frac{BD}{DF}$等于（）


A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$1$

1. B

【分析】
解题时首先观察题干条件，已知三条直线a、b、c互相平行，且两条直线m、n分别被这三条平行线所截，符合平行线分线段成比例定理的适用场景。我们只需要找到两条被截直线上对应的线段比例，即可建立等式求解。首先确认AC和CE是直线m上被平行线截得的线段，与之对应的直线n上的线段是BD和DF，二者的比值相等，代入已知比值就能得到答案。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
∵ $a // b // c$，直线m、n分别被a、b、c所截，
∴ 对应线段成比例，即 $\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$，
又
∵ $\frac{AC}{CE}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{BD}{DF}=\frac{1}{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题是对平行线分线段成比例定理的直接考查，解题的关键是准确识别被平行线所截的两条直线，找准对应成比例的线段，熟练掌握定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85

2. (2025 常德期中)如图,在$△ ABC$中,$DE // BC$,$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{4}$,若$AB=8$,则$BD$的长为 ()

A.$\frac{8}{7}$
B.$\frac{16}{7}$
C.$\frac{24}{7}$
D.$\frac{32}{7}$

2. D

【分析】
首先看到题中给出$DE// BC$，可联想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，由此可得$AD$与$BD$的比等于$AE$与$EC$的比$3:4$。已知$AB$的总长为8，而$AB=AD+BD$，我们可以用设份数的方式，将$AD$设为$3k$，$BD$设为$4k$，结合总长列方程求出$k$的值，进而算出$BD$的长度。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore$ 根据平行线分线段成比例定理，得 $\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}=\frac{3}{4}$，
设 $AD=3k$，$BD=4k$（$k＞0$），
$\because AB=AD+BD=8$，
$\therefore 3k+4k=8$，
解得 $k=\frac{8}{7}$，
$\therefore BD=4k=4×\frac{8}{7}=\frac{32}{7}$。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例、比例线段计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查平行线分线段成比例的应用，解题的关键是准确找到对应线段的比例关系，结合线段和的关系通过设参数的方法求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.8

3.如图，已知$AB// CD// EF$，$AD=3$，$BC=4$，$DF=5$，则$CE$的长为（）

A.$6$
B.$\frac{20}{3}$
C.$7$
D.$\frac{27}{5}$

3. B

【分析】
看到题目给出三条互相平行的直线AB、CD、EF截两条直线，首先想到平行线分线段成比例定理，即两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。我们只需要找准已知线段AD、BC、DF和待求线段CE的对应比例关系，代入数值计算即可求出CE的长度。
【解析】
解：$\because AB// CD// EF$
根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{BC}{CE}=\frac{AD}{DF}$
将$AD=3$，$BC=4$，$DF=5$代入上式：
$\frac{4}{CE}=\frac{3}{5}$
交叉相乘得：$3CE=4×5=20$
解得：$CE=\frac{20}{3}$
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题是基础应用类题目，核心是熟练掌握平行线分线段成比例定理，解题的易错点是找错对应线段的比例关系，找准对应线段即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4. (2025合肥期末)五线谱是通用的一种记谱法，由等距离的五条平行横线组成，如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在横线上。若线段AB=7，则线段BC的长是（）

A.$\frac{7}{2}$
B.$\frac{2}{7}$
C.$\frac{7}{3}$
D.$\frac{3}{7}$

4. A

【分析】
首先提取题目关键信息：五线谱的五条横线为等间距的平行横线，直线l与平行横线交于A、B、C三点，已知AB=7，要求BC的长度。解题可运用平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，所得对应线段成比例。首先数出A、B两点间的间隔数和B、C两点间的间隔数，二者的间隔数之比等于对应线段AB与BC的长度比，代入AB的数值即可计算出BC的长度。
【解析】
解：
∵五线谱的五条平行横线间距相等，根据平行线分线段成比例定理，直线l被平行横线截得的线段长度之比等于对应间隔数之比。
观察图形可得：A、B之间有2个相等的间隔，B、C之间有1个相等的间隔，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{1}$，
将AB=7代入得：$\frac{7}{BC}=2$，
解得$BC=\frac{7}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题结合生活中的五线谱场景考查几何定理的实际应用，解题核心是抓住平行横线等距的特点，将线段长度关系转化为间隔数的比例关系，侧重考查对基础定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7

5. 如图,在△ODC中,点A,B分别在边CO,DO的延长线上,AB//CD,如果DO=6,AO:CO=1:2,那么BO的长为.

5. 3

【分析】
解题时首先根据AB//CD的条件，可推导得到两组内错角相等，结合对顶角相等即可证明△AOB与△COD相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的线段比例关系和DO的长度，代入计算即可求出BO的长度。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠AOB=∠COD（对顶角相等），
∴△AOB∽△COD（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$，
已知$AO:CO=1:2$，$DO=6$，代入比例式得：
$\frac{1}{2}=\frac{BO}{6}$，
解得$BO=3$。
【答案】
3
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题型，核心是通过平行线得到相等角证明三角形相似，再借助相似的比例性质求解线段长度，解题关键是准确识别相似三角形的对应边。
【难度系数】
0.8

6. (2025邵阳期中)如图，这是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线互相平行，则点P表示的数是。

6. 3

【分析】
解决这道题需要用到平行线分线段成比例的相关知识。首先观察图形：数轴与倾斜放置的直尺交于原点，两条虚线互相平行，此时原点、点P、直尺上P的对应点构成的小三角形，与原点、数轴上9的点、直尺上4的对应点构成的大三角形符合平行线分线段成比例的应用场景，两组对应边的比值相等，据此列比例式就能求出点P表示的数。
【解析】
设点P表示的数为$ x $。
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，可得数轴上的线段长度比等于直尺上对应线段的长度比：
$\frac{x}{9} = \frac{\mathrm{直尺上0到点P对应刻度的长度}}{\mathrm{直尺上0到刻度4的长度}}$
观察直尺刻度可知点P对应直尺上的刻度为$\frac{4}{3}$，代入得：
$\frac{x}{9}=\frac{\frac{4}{3}}{4}$
化简计算：
$\frac{x}{9}=\frac{1}{3}$
解得$ x=3 $
【答案】
3
【知识点】
平行线分线段成比例、数轴的认识
【点评】
本题是基础几何定理在实际作图场景中的应用，解题的核心是准确找到成比例的对应线段，结合数轴的定义进行计算，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

7.如图，D是$△ ABC$的边BC上一点，连接AD，过AD上的点E作$EF // DB$，交AB于点F，过点F作$FG // AC$，交BC于点G。已知$\frac{AE}{ED}=\frac{3}{2}$，$BG=4$，求CG的长。

7. 解:$\because EF// DB,\therefore \frac{AF}{FB}=\frac{AE}{ED}=\frac{3}{2}$.
$\because FG// AC,\therefore \frac{BG}{CG}=\frac{BF}{AF}=\frac{2}{3}$.
又$\because BG=4,\therefore CG=6$.

【分析】
解题时先观察已知条件中的两组平行线，结合平行线分线段成比例的性质思考：第一步由$EF// DB$，可得到$△ ABD$中$AF$与$FB$的比等于$AE$与$ED$的比；第二步由$FG// AC$，可得到$△ ABC$中$BG$与$CG$的比等于$BF$与$AF$的比；最后将已知的$BG$长度代入比例式，即可求出$CG$的长度。
【解析】
解：$\because EF// DB$，
$\therefore$ 根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例，可得$\frac{AF}{FB}=\frac{AE}{ED}=\frac{3}{2}$，
$\because FG// AC$，
同理可得$\frac{BG}{CG}=\frac{BF}{AF}=\frac{2}{3}$，
又$\because BG=4$，
$\therefore \frac{4}{CG}=\frac{2}{3}$，
解得$CG=4×\frac{3}{2}=6$。
【答案】
$\boxed{6}$
【知识点】
平行线分线段成比例；比例线段计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用平行线截三角形两边所得对应线段成比例的性质，通过两次比例转换建立已知线段和待求线段的关系，解题时注意对应线段的比例不要写反即可。
【难度系数】
0.8

8. (2025广东期中)如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，DE//BC，EF//AB，已知$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$，M是EF的中点，连接BM并延长交AC于点N，则$\frac{EN}{AC}=$。

8. $\frac{3}{20}$

【分析】
解题时可按以下步骤思考：1. 由已知的$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$，结合$DE// BC$，利用相似三角形性质可得$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$，建立$AE$和$AC$的关系；2. 由$EF// AB$、$DE// BC$可判定四边形$BDEF$是平行四边形，得$EF=BD$，结合$M$是$EF$中点可求出$EM$与$AB$的比值；3. 由$EF// AB$可证$△ NEM ∼ △ NAB$，得到$EN$与$AN$的比例关系，再结合$AN=AE+EN$和$AC$与$AE$的关系，即可求出$\frac{EN}{AC}$的比值。
【解析】
设$AD=x$，
$\because \frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$，$\therefore BD=3x$，$AB=AD+BD=4x$。
$\because DE// BC$，$\therefore △ ADE ∼ △ ABC$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$，即$AC=4AE$ ①。
$\because EF// AB$，$DE// BC$，$\therefore$ 四边形$BDEF$是平行四边形，
$\therefore EF=BD=3x$。
$\because M$是$EF$的中点，$\therefore EM=\frac{1}{2}EF=\frac{3x}{2}$。
$\because EF// AB$，$\therefore ∠ NEM=∠ A$，$∠ NME=∠ NBA$，
$\therefore △ NEM ∼ △ NAB$，
$\therefore \frac{EN}{AN}=\frac{EM}{AB}=\frac{\frac{3x}{2}}{4x}=\frac{3}{8}$。
又$\because AN=AE+EN$，$\therefore \frac{EN}{AE+EN}=\frac{3}{8}$，
交叉相乘得：$8EN=3AE+3EN$，整理得$5EN=3AE$，即$AE=\frac{5}{3}EN$ ②。
把②代入①得：$AC=4×\frac{5}{3}EN=\frac{20}{3}EN$，
$\therefore \frac{EN}{AC}=\frac{3}{20}$。
【答案】
$\frac{3}{20}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是典型的几何线段比例计算问题，解题核心是通过平行线构造相似三角形，结合平行四边形的性质建立多组线段的比例关系，再通过等量代换求出最终比值，需要学生具备一定的逻辑推导和等量代换能力。
【难度系数】
0.6