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1. 锐角的余弦
如图,在直角三角形中,锐角A的与的比叫作∠A的余弦,记作$\cos A$,即$\cos A =$$=$.
如图,在直角三角形中,锐角A的与的比叫作∠A的余弦,记作$\cos A$,即$\cos A =$$=$.
答案
1. 邻边 斜边 $\dfrac{∠ A 的邻边}{斜边}$ $\dfrac{b}{c}$
解析
【分析】
本题考查锐角余弦的定义，解题时首先回忆直角三角形中锐角三角函数的相关概念：针对直角三角形中的某个锐角，不同边的比值对应不同的三角函数；其中余弦对应的是该角的邻边与斜边的比值，再结合题图中各边的标注，即可对应填入相应内容。
【解析】
观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，根据锐角余弦的定义：锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作$\cos A$。
其中∠A的邻边为$AC=b$，斜边为$AB=c$，因此$\cos A=\dfrac{∠A的邻边}{斜边}=\dfrac{b}{c}$。
【答案】
邻边 斜边 $\dfrac{∠ A 的邻边}{斜边}$ $\dfrac{b}{c}$
【知识点】
余弦的定义；锐角三角函数
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对锐角余弦定义的识记，掌握“余弦是锐角的邻边与斜边的比值”是解题的关键，是后续学习解直角三角形的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查锐角余弦的定义，解题时首先回忆直角三角形中锐角三角函数的相关概念：针对直角三角形中的某个锐角，不同边的比值对应不同的三角函数；其中余弦对应的是该角的邻边与斜边的比值，再结合题图中各边的标注，即可对应填入相应内容。
【解析】
观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，根据锐角余弦的定义：锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作$\cos A$。
其中∠A的邻边为$AC=b$，斜边为$AB=c$，因此$\cos A=\dfrac{∠A的邻边}{斜边}=\dfrac{b}{c}$。
【答案】
邻边 斜边 $\dfrac{∠ A 的邻边}{斜边}$ $\dfrac{b}{c}$
【知识点】
余弦的定义；锐角三角函数
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对锐角余弦定义的识记，掌握“余弦是锐角的邻边与斜边的比值”是解题的关键，是后续学习解直角三角形的基础。
【难度系数】
0.9
【例2】(2025 深圳月考)在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C=90°,∠ B=30°$,则 $\cos A$ 的值是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1$
A
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆直角三角形的内角性质：直角三角形的两个锐角之和为90°，我们可以先结合已知的∠B的度数求出∠A的度数，再根据特殊角的余弦三角函数值，即可求出cosA的结果，对应选项得到答案。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ $∠ A + ∠ B = 90°$（直角三角形两锐角互余）
又
∵ $∠ B=30°$
∴ $∠ A = 90° - 30° = 60°$
根据特殊角的三角函数值可得：$\cos A = \cos60° = \frac{1}{2}$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题关键是先求出∠A的度数，再牢记特殊角的三角函数值即可快速得出答案，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆直角三角形的内角性质：直角三角形的两个锐角之和为90°，我们可以先结合已知的∠B的度数求出∠A的度数，再根据特殊角的余弦三角函数值，即可求出cosA的结果，对应选项得到答案。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ $∠ A + ∠ B = 90°$（直角三角形两锐角互余）
又
∵ $∠ B=30°$
∴ $∠ A = 90° - 30° = 60°$
根据特殊角的三角函数值可得：$\cos A = \cos60° = \frac{1}{2}$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题关键是先求出∠A的度数，再牢记特殊角的三角函数值即可快速得出答案，难度较低。
【难度系数】
0.9
【例3】若$\sin(70° - α)=\cos50°$，则$α$的大小是（
A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
B
）A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
B
解析
【分析】
首先回忆互余两角的三角函数关系：一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值，即$\cosβ = \sin(90°-β)$。解题时我们可以先将等式右侧的$\cos50°$转化为正弦形式，由于等式两边都是锐角的正弦值，若正弦值相等则对应角度相等，据此列方程即可求出$α$的度数。
【解析】
根据互余两角的三角函数关系可得：
$\cos50° = \sin(90° - 50°) = \sin40°$
将其代入原等式得：
$\sin(70° - α) = \sin40°$
结合选项可知$70° - α$为锐角，因此两个正弦值相等时对应角度相等：
$70° - α = 40°$
解得：$α = 70° - 40° = 30°$
【答案】
B
【知识点】
互余角的三角函数转换、解一元一次方程
【点评】
本题考查锐角三角函数中互余角的转换应用，解题核心是熟练掌握正余弦的互余转换公式，通过等式变形列方程求解即可，整体思路直接，计算量小。
【难度系数】
0.8
首先回忆互余两角的三角函数关系：一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值，即$\cosβ = \sin(90°-β)$。解题时我们可以先将等式右侧的$\cos50°$转化为正弦形式，由于等式两边都是锐角的正弦值，若正弦值相等则对应角度相等，据此列方程即可求出$α$的度数。
【解析】
根据互余两角的三角函数关系可得：
$\cos50° = \sin(90° - 50°) = \sin40°$
将其代入原等式得：
$\sin(70° - α) = \sin40°$
结合选项可知$70° - α$为锐角，因此两个正弦值相等时对应角度相等：
$70° - α = 40°$
解得：$α = 70° - 40° = 30°$
【答案】
B
【知识点】
互余角的三角函数转换、解一元一次方程
【点评】
本题考查锐角三角函数中互余角的转换应用，解题核心是熟练掌握正余弦的互余转换公式，通过等式变形列方程求解即可，整体思路直接，计算量小。
【难度系数】
0.8
【变式】已知α为锐角，则$\sinα - \cos(90° - α)=$
0
.答案
0
解析
【分析】
解题时首先观察到式子中的α和90°-α是互余的两个角，我们可以先回忆互余两角的三角函数转换关系，将cos(90°-α)转化为关于α的三角函数，再代入原式化简计算就能得出结果。
【解析】
根据互余两角的三角函数性质：对于任意锐角α，都有$\cos(90° - α) = \sinα$。
将该关系代入原式计算：
$\sinα - \cos(90° - α) = \sinα - \sinα = 0$
【答案】
0
【知识点】
互余角的三角函数关系、代数式化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查互余两角三角函数转换公式的应用，牢记相关转换规则就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察到式子中的α和90°-α是互余的两个角，我们可以先回忆互余两角的三角函数转换关系，将cos(90°-α)转化为关于α的三角函数，再代入原式化简计算就能得出结果。
【解析】
根据互余两角的三角函数性质：对于任意锐角α，都有$\cos(90° - α) = \sinα$。
将该关系代入原式计算：
$\sinα - \cos(90° - α) = \sinα - \sinα = 0$
【答案】
0
【知识点】
互余角的三角函数关系、代数式化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查互余两角三角函数转换公式的应用，牢记相关转换规则就能快速解题。
【难度系数】
0.9
【例4】（1）$\sin 40° \approx$
（2）$\sin 68° 36' \approx$
（3）若$\sin α = 0.532\ 5$，则锐角$α \approx$
（4）若$\cos α = 0.769\ 5$，则锐角$α \approx$
0.642 8
，$\cos 73° \approx$0.292 4
（精确到0.000 1）；（2）$\sin 68° 36' \approx$
0.931 1
，$\cos 54° 6' \approx$0.586 4
（精确到0.000 1）；（3）若$\sin α = 0.532\ 5$，则锐角$α \approx$
$32°10'28''$
（精确到$1''$）；（4）若$\cos α = 0.769\ 5$，则锐角$α \approx$
$40°$
（精确到$1°$）。答案
(1) 0.642 8 0.292 4
(2) 0.931 1 0.586 4
(3) $32°10'28''$
(4) $40°$
(2) 0.931 1 0.586 4
(3) $32°10'28''$
(4) $40°$
解析
【分析】
本题考查利用科学计算器进行锐角三角函数的相关运算，解题思路如下：①若已知角度求正弦、余弦值：先将计算器调整为角度模式，直接输入对应角度（含度分秒的角度可通过度分秒转换或计算器的度分秒按键输入），再按下对应sin、cos按键得到结果，最后按要求对结果取近似值；②若已知三角函数值求锐角：使用计算器的反三角函数功能（先按shift/第二功能键，再按sin/cos键），输入三角函数值得到角度，再按要求换算单位、取近似值即可。
【解析】
（1）将计算器调至角度模式，输入40后按sin键，可得$\sin40°\approx0.642787···$，精确到0.0001为0.6428；输入73后按cos键，可得$\cos73°\approx0.292371···$，精确到0.0001为0.2924。
（2）先将$68°36'$换算为$68.6°$，输入后按sin键，可得$\sin68°36'\approx0.931087···$，精确到0.0001为0.9311；将$54°6'$换算为$54.1°$，输入后按cos键，可得$\cos54°6'\approx0.586426···$，精确到0.0001为0.5864。
（3）按下计算器第二功能键+sin键，输入数值0.5325，可得$α\approx32.17447°$，将小数部分换算为分：$0.17447°×60\approx10.4682'$，再将分的小数部分换算为秒：$0.4682'×60\approx28''$，故$α\approx32°10'28''$。
（4）按下计算器第二功能键+cos键，输入数值0.7695，可得$α\approx39.7°$，精确到$1°$为$40°$。
【答案】
(1) 0.642 8；0.292 4
(2) 0.931 1；0.586 4
(3) $32°10'28''$
(4) $40°$
【知识点】
计算器求三角函数值；已知三角函数值求锐角；度分秒换算
【点评】
本题属于三角函数基础运算题，核心是掌握科学计算器处理三角函数运算的操作流程，解题时要注意精确度要求，度分秒换算时需遵循60进制的规则，避免因操作或换算失误丢分。
【难度系数】
0.8
本题考查利用科学计算器进行锐角三角函数的相关运算，解题思路如下：①若已知角度求正弦、余弦值：先将计算器调整为角度模式，直接输入对应角度（含度分秒的角度可通过度分秒转换或计算器的度分秒按键输入），再按下对应sin、cos按键得到结果，最后按要求对结果取近似值；②若已知三角函数值求锐角：使用计算器的反三角函数功能（先按shift/第二功能键，再按sin/cos键），输入三角函数值得到角度，再按要求换算单位、取近似值即可。
【解析】
（1）将计算器调至角度模式，输入40后按sin键，可得$\sin40°\approx0.642787···$，精确到0.0001为0.6428；输入73后按cos键，可得$\cos73°\approx0.292371···$，精确到0.0001为0.2924。
（2）先将$68°36'$换算为$68.6°$，输入后按sin键，可得$\sin68°36'\approx0.931087···$，精确到0.0001为0.9311；将$54°6'$换算为$54.1°$，输入后按cos键，可得$\cos54°6'\approx0.586426···$，精确到0.0001为0.5864。
（3）按下计算器第二功能键+sin键，输入数值0.5325，可得$α\approx32.17447°$，将小数部分换算为分：$0.17447°×60\approx10.4682'$，再将分的小数部分换算为秒：$0.4682'×60\approx28''$，故$α\approx32°10'28''$。
（4）按下计算器第二功能键+cos键，输入数值0.7695，可得$α\approx39.7°$，精确到$1°$为$40°$。
【答案】
(1) 0.642 8；0.292 4
(2) 0.931 1；0.586 4
(3) $32°10'28''$
(4) $40°$
【知识点】
计算器求三角函数值；已知三角函数值求锐角；度分秒换算
【点评】
本题属于三角函数基础运算题，核心是掌握科学计算器处理三角函数运算的操作流程，解题时要注意精确度要求，度分秒换算时需遵循60进制的规则，避免因操作或换算失误丢分。
【难度系数】
0.8
【例1】如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=2$，求$\cos B$的值. 
答案
解:$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$∠ ACB=90°,AC=6,BC=2$,
$\therefore AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$,
$\therefore \cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{2}{2\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}.$
$\therefore AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$,
$\therefore \cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{2}{2\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}.$
解析
【分析】
要求$\cos B$的值，首先回忆锐角三角函数中余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。观察图形可知，$∠ B$的邻边是$BC$，长度已知为2，斜边$AB$未知，因此第一步先利用勾股定理求出斜边$AB$的长度，再将$BC$和$AB$的长度代入余弦定义式计算，最后把结果化为最简二次根式即可。
【解析】
解：$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=2$，
$\therefore$ 由勾股定理可得：$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，
根据余弦的定义：$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，
代入数值计算得：$\cos B=\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
勾股定理；锐角余弦的定义；二次根式化简
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题的关键是准确掌握锐角余弦的定义，区分清楚角的邻边和对边，计算斜边时要正确运用勾股定理，最终结果注意要化为最简二次根式，避免出现分母含根号的错误。
【难度系数】
0.8
要求$\cos B$的值，首先回忆锐角三角函数中余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。观察图形可知，$∠ B$的邻边是$BC$，长度已知为2，斜边$AB$未知，因此第一步先利用勾股定理求出斜边$AB$的长度，再将$BC$和$AB$的长度代入余弦定义式计算，最后把结果化为最简二次根式即可。
【解析】
解：$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=2$，
$\therefore$ 由勾股定理可得：$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，
根据余弦的定义：$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，
代入数值计算得：$\cos B=\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
勾股定理；锐角余弦的定义；二次根式化简
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题的关键是准确掌握锐角余弦的定义，区分清楚角的邻边和对边，计算斜边时要正确运用勾股定理，最终结果注意要化为最简二次根式，避免出现分母含根号的错误。
【难度系数】
0.8
1. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$AB=10$，则$\cos A=$（$\quad$）
A.$\dfrac{4}{3}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$
A.$\dfrac{4}{3}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$
答案
D
解析
【分析】
首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦值等于这个角的邻直角边与斜边的比值。解题时先确定Rt△ABC的斜边，再找到∠A的邻直角边，将对应边长代入比值公式计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，因此斜边为$AB=10$。
$∠ A$的邻直角边为$AC=8$，根据余弦的定义可得：
$\cos A=\dfrac{∠ A\mathrm{的邻直角边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
余弦的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础考查题，重点是区分直角三角形中锐角的对边、邻边和斜边，掌握余弦的定义就能快速解题，属于三角函数部分的常规基础题。
【难度系数】
0.8
首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦值等于这个角的邻直角边与斜边的比值。解题时先确定Rt△ABC的斜边，再找到∠A的邻直角边，将对应边长代入比值公式计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，因此斜边为$AB=10$。
$∠ A$的邻直角边为$AC=8$，根据余弦的定义可得：
$\cos A=\dfrac{∠ A\mathrm{的邻直角边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
余弦的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础考查题，重点是区分直角三角形中锐角的对边、邻边和斜边，掌握余弦的定义就能快速解题，属于三角函数部分的常规基础题。
【难度系数】
0.8
2. $\cos 60°$的倒数是（
A.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$-\dfrac{1}{2}$
C.$2$
D.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
C
）A.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$-\dfrac{1}{2}$
C.$2$
D.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
答案
2. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆特殊角60°的余弦值，再根据倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数）计算出该余弦值的倒数，最后匹配选项就能得到正确答案。
【解析】
第一步：根据特殊角的三角函数值，可得$\cos60°=\frac{1}{2}$；
第二步：根据倒数的定义，计算$\frac{1}{2}$的倒数：$1÷\frac{1}{2}=2$，因此$\cos60°$的倒数是2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值，倒数的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对常见特殊角三角函数值的记忆，只要能准确识记特殊角的三角函数值、区分倒数和相反数等易混概念，就能顺利得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆特殊角60°的余弦值，再根据倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数）计算出该余弦值的倒数，最后匹配选项就能得到正确答案。
【解析】
第一步：根据特殊角的三角函数值，可得$\cos60°=\frac{1}{2}$；
第二步：根据倒数的定义，计算$\frac{1}{2}$的倒数：$1÷\frac{1}{2}=2$，因此$\cos60°$的倒数是2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值，倒数的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对常见特殊角三角函数值的记忆，只要能准确识记特殊角的三角函数值、区分倒数和相反数等易混概念，就能顺利得分。
【难度系数】
0.9
