3. (2025 泉州月考)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=4$,$AC=3$,则$\cos B=$ ()

A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{\sqrt{7}}{4}$
D.$\frac{3}{4}$

3. C

【分析】
要求$\cos B$的值，首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。本题中斜边$AB$已知为4，所以需要先求出$∠ B$的邻边$BC$的长度，结合直角三角形勾股定理即可算出$BC$，再代入余弦公式计算就能得到结果。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$
根据余弦的定义，$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$
代入数值得：$\cos B=\frac{\sqrt{7}}{4}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，余弦的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对锐角三角函数定义的理解和勾股定理的应用，解题时要注意准确区分锐角的对边和邻边，避免混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.7

4.用计算器计算：
(1)$\sin 62°20' \approx$(精确到0.0001)；
(2)若$\cos α = 0.966\ 9$，$α$为锐角，则$α \approx$(精确到$0.1°$)。

4.(1) 0.885 7 (2) 14.8°

【分析】
本题考查用计算器进行三角函数相关计算，解题思路如下：
(1) 求已知角度的正弦值：首先需将计算器调整为角度（DEG）模式，可先将角度中的分换算为度统一单位，再输入角度后按正弦功能键计算，最后按要求保留四位小数即可。
(2) 已知余弦值求锐角度数：保持计算器为角度模式，调用反余弦（cos⁻¹）功能，输入已知的余弦值计算对应角度，最后按要求保留一位小数即可。
【解析】
(1) 先将计算器切换为角度模式，把20'换算为度：$20' = \frac{20}{60}°\approx0.33333°$，因此$62°20'\approx62.33333°$，按计算器的sin键，得$\sin62°20'\approx\sin62.33333°\approx0.88573$，精确到0.0001为0.8857。
(2) 保持计算器为角度模式，按下反余弦（$\cos^{-1}$）功能键，输入数值0.9669，计算得$α\approx14.799°$，精确到0.1°为14.8°。
【答案】
(1) $\boxed{0.8857}$；(2) $\boxed{14.8°}$
【知识点】
1. 计算器求三角函数值 2. 反三角函数求锐角 3. 近似数取位
【点评】
本题属于基础操作类题目，核心是掌握计算器三角函数功能的使用方法，计算前务必确认计算器处于角度模式，避免因模式错误导致结果偏差，计算结果需严格按照题目要求的精度取近似值。
【难度系数】
0.8

5.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=\frac{36}{5}$,$AB=9$,求$\cos α,\cos β$的值.

解:$\because ∠ C=90°,AB=9,AC=\dfrac{36}{5}$,
$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\dfrac{27}{5}$,
$\therefore \cos α=\dfrac{\dfrac{36}{5}}{9}=\dfrac{4}{5},\cos β=\dfrac{\dfrac{27}{5}}{9}=\dfrac{3}{5}.$

【分析】
要求直角三角形中两个锐角的余弦值，首先明确锐角余弦的定义：锐角的余弦值等于该角的邻边与斜边的比值。本题已知斜边AB和直角边AC的长度，首先需要用勾股定理求出另一条直角边BC的长度，再分别确定角α、角β的邻边，将邻边除以斜边AB即可得到对应的余弦值。
【解析】
解：$\because ∠ C=90°,AB=9,AC=\dfrac{36}{5}$,
$\therefore$ 由勾股定理可得 $BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{9^2-(\dfrac{36}{5})^2}=\sqrt{\dfrac{729}{25}}=\dfrac{27}{5}$,
根据余弦的定义：
$\cos α=\dfrac{∠α的邻边}{斜边}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\dfrac{36}{5}}{9}=\dfrac{4}{5}$,
$\cos β=\dfrac{∠β的邻边}{斜边}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\dfrac{27}{5}}{9}=\dfrac{3}{5}$。
【答案】
$\cos α=\dfrac{4}{5}$，$\cos β=\dfrac{3}{5}$
【知识点】
勾股定理；余弦的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题，解题关键是牢记余弦的定义，准确对应锐角的邻边和斜边，计算时注意勾股定理的正确运用以及分数运算的准确性即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

6. 计算:
(1) $-2^2 + 2\cos 60° + (-3)^0 - (-\frac{1}{3})^{-1}$；
(2) $\sqrt{9} - (π - 3.14)^0 + (\frac{1}{4})^{-1} + |\sqrt{3}| - 2\cos 30°$。

(1) 原式$=-4+2× \dfrac{1}{2}+1-(-3)=-4+1+1+3=1.$
(2) 原式$=3-1+4+\sqrt{3}-2× \dfrac{\sqrt{3}}{2}=6.$

【分析】
这两道题属于实数混合运算类题目，解题思路如下：第一步先拆分原式的各个分项，按照运算优先级分别计算每个分项的值：①计算乘方、开方项，注意负号在乘方外时不要和底数一起平方；②代入特殊角的三角函数值，牢记30°、45°、60°对应的三角函数值；③计算零指数幂（非零数的0次幂等于1）、负整数指数幂（$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，$a≠0$）、绝对值（正数的绝对值是其本身）；第二步将所有分项的结果按照有理数加减法则合并计算即可得到最终结果。
【解析】
(1) 先计算各分项的值：
$-2^2=-4$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$(-3)^0=1$，$(-\frac{1}{3})^{-1}=\frac{1}{-\frac{1}{3}}=-3$
代入原式计算：
原式$=-4+2×\frac{1}{2}+1-(-3)$
$=-4+1+1+3$
$=1$
(2) 先计算各分项的值：
$\sqrt{9}=3$，$(π-3.14)^0=1$，$(\frac{1}{4})^{-1}=4$，$|\sqrt{3}|=\sqrt{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
代入原式计算：
原式$=3-1+4+\sqrt{3}-2×\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=3-1+4+\sqrt{3}-\sqrt{3}$
$=6$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{6}$
【知识点】
实数混合运算；特殊角的三角函数值；零指数与负整数指数幂
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考察对各类基础运算规则的掌握熟练度，计算时要注意区分乘方的符号、负指数幂的转化规则，记准特殊角的三角函数值，避免因概念混淆出现计算错误。
【难度系数】
0.8

7. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$都是锐角，且$\sin A=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos B=\dfrac{1}{2}$，则$△ ABC$的形状是 （）

A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形

7. C

【分析】
解题时首先结合已知条件“∠A、∠B都是锐角”，根据特殊锐角的三角函数值求出∠A和∠B的度数，再利用三角形内角和为180°计算出∠C的度数，最后根据三个内角的类型判断三角形的形状即可。
【解析】
∵ ∠A是锐角，$\sin A=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
∴ $∠ A=45°$
∵ ∠B是锐角，$\cos B=\dfrac{1}{2}$
∴ $∠ B=60°$
根据三角形内角和定理，$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-45°-60°=75°$
△ABC的三个内角均为锐角，因此△ABC是锐角三角形。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值；三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题是基础题型，重点考查对特殊角三角函数值的识记，结合三角形内角和定理即可判断三角形形状，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题的关键。
【难度系数】
0.8

8. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BD⊥ AC$于点$D$，$AB=10$，$\cos A=\frac{4}{5}$，求$BC$的长.

解:由已知得,$AC=AB=10.$
$\because BD⊥ AC,\therefore ∠ ADB=∠ BDC=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ABD$ 中 ,$\cos A=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4}{5}$,
$\therefore AD=8,DC=AC-AD=10-8=2$,
$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△BDC$ 中 ,$BC=\sqrt{BD^2+DC^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}.$

【分析】
首先根据等腰三角形两腰相等的性质，由AB=AC可直接得到AC的长度；已知BD垂直AC，可得△ABD和△BDC均为直角三角形，先在Rt△ABD中，利用余弦的定义（邻边与斜边的比）求出AD的长度，进而求出DC的长度；再用勾股定理求出BD的长度，最后在Rt△BDC中，再次利用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：由已知得，$AC=AB=10$。
$\because BD⊥ AC,\therefore ∠ ADB=∠ BDC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\cos A=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4}{5}$，
$\therefore AD=8,DC=AC-AD=10-8=2$，
$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$BC=\sqrt{BD^2+DC^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$。
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
等腰三角形性质、锐角三角函数定义、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，需要结合已知条件将问题拆解到两个直角三角形中分步求解，熟练掌握直角三角形的相关性质和定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7

9. 观察下列等式：
①$\sin 30°=\dfrac{1}{2},\cos 30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；
②$\sin 45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\cos 45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；
③$\sin 60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\cos 60°=\dfrac{1}{2}$.
根据上述规律，若$α$为锐角，则计算$\sin^2α + \sin^2(90°-α)=$.

9. 1

【分析】
解题时可以从两个角度思考：①规律验证角度：观察给出的3组特殊锐角的三角函数值，可选取特殊角代入待求式计算，验证结果；②公式推导角度：首先回忆互余锐角的三角函数性质：锐角α的余角90°-α的正弦值等于α的余弦值，即$\sin(90°-α)=\cosα$，再结合同角三角函数的基本关系$\sin^2α+\cos^2α=1$，即可直接推导结果。
【解析】
方法1（公式推导）：
根据互余两角的三角函数性质可知，对于任意锐角α，都有$\sin(90°-α)=\cosα$，
将其代入待求式可得：
$\sin^2α + \sin^2(90°-α)=\sin^2α + \cos^2α$
根据同角三角函数的基本关系，对任意锐角α都满足$\sin^2α+\cos^2α=1$，
因此原式结果为1。
方法2（特例验证）：
分别选取题目给出的特殊角验证：
当α=30°时，$\sin^230°+\sin^260°=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$；
当α=45°时，$\sin^245°+\sin^245°=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{2}{4}+\frac{2}{4}=1$；
当α=60°时，$\sin^260°+\sin^230°=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$；
由此可归纳得出，若α为锐角，$\sin^2α + \sin^2(90°-α)=1$。
【答案】
1
【知识点】
互余角的三角函数性质、同角三角函数平方关系、规律探究
【点评】
本题既可以通过观察特例归纳结论，也可以用三角函数的基础性质直接推导，重在考查对锐角三角函数核心基础性质的掌握，属于基础类规律探究题。
【难度系数】
0.9