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2.已知α为锐角，且$\sin(α - 10°)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则α的度数是（
A.$70°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$30°$
A
）A.$70°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$30°$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先回忆特殊角的三角函数值，已知正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，先对应到对应的特殊角度；再结合α是锐角的限定条件，确定$α-10°$的取值范围，排除不符合要求的角度，最后列等式计算α的度数即可。
【解析】
根据特殊角的三角函数值可得：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$\sin(α-10°)=\sin60°$。
已知α为锐角，即$0°＜α＜90°$，因此$α-10°$的取值范围为$-10°＜α-10°＜80°$。
在该取值范围内，正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的角只有$60°$，因此可得：
$α-10°=60°$
解得$α=60°+10°=70°$。
【答案】
A
【知识点】
1.特殊角的三角函数值 2.锐角的定义
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，结合角度范围排除干扰项即可快速得出结果，是三角函数部分的入门类题型。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆特殊角的三角函数值，已知正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，先对应到对应的特殊角度；再结合α是锐角的限定条件，确定$α-10°$的取值范围，排除不符合要求的角度，最后列等式计算α的度数即可。
【解析】
根据特殊角的三角函数值可得：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$\sin(α-10°)=\sin60°$。
已知α为锐角，即$0°＜α＜90°$，因此$α-10°$的取值范围为$-10°＜α-10°＜80°$。
在该取值范围内，正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的角只有$60°$，因此可得：
$α-10°=60°$
解得$α=60°+10°=70°$。
【答案】
A
【知识点】
1.特殊角的三角函数值 2.锐角的定义
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，结合角度范围排除干扰项即可快速得出结果，是三角函数部分的入门类题型。
【难度系数】
0.85
3. (2026 汉中二模)如图,在 $Rt△ ABC$ 中,点 D 是斜边 AC 的中点,连接 BD,若 $AB=8$, $BD=\dfrac{17}{2}$,则 $\sin C$ 的值为 (
A.$\dfrac{8}{17}$
B.$\dfrac{8}{15}$
C.$\dfrac{15}{17}$
D.$\dfrac{4}{17}$
A
)A.$\dfrac{8}{17}$
B.$\dfrac{8}{15}$
C.$\dfrac{15}{17}$
D.$\dfrac{4}{17}$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先题干给出直角三角形，且已知斜边中点和中线长度，首先想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可先求出斜边AC的长度；再回忆锐角正弦的定义，锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值，找到∠C的对边，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ABC=90°$，D是斜边AC的中点
∴ 根据直角三角形斜边中线的性质，可得$AC=2BD$
已知$BD=\dfrac{17}{2}$，代入得：$AC=2×\dfrac{17}{2}=17$
根据锐角正弦的定义，在直角三角形中，锐角的正弦值为对边与斜边的比值，因此：
$\sin C=\dfrac{∠C的对边}{斜边}=\dfrac{AB}{AC}$
将$AB=8$，$AC=17$代入得：$\sin C=\dfrac{8}{17}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查基础概念的直接应用，熟练掌握直角三角形的相关性质和锐角三角函数的定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先题干给出直角三角形，且已知斜边中点和中线长度，首先想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可先求出斜边AC的长度；再回忆锐角正弦的定义，锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值，找到∠C的对边，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ABC=90°$，D是斜边AC的中点
∴ 根据直角三角形斜边中线的性质，可得$AC=2BD$
已知$BD=\dfrac{17}{2}$，代入得：$AC=2×\dfrac{17}{2}=17$
根据锐角正弦的定义，在直角三角形中，锐角的正弦值为对边与斜边的比值，因此：
$\sin C=\dfrac{∠C的对边}{斜边}=\dfrac{AB}{AC}$
将$AB=8$，$AC=17$代入得：$\sin C=\dfrac{8}{17}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查基础概念的直接应用，熟练掌握直角三角形的相关性质和锐角三角函数的定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=4$，$AC=2\sqrt{2}$，$∠ C=90°$，则$∠ B$的大小为（
A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$
C
）A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
4. C
解析
【分析】
本题是直角三角形中已知两边求锐角的问题，解题思路如下：首先明确直角三角形中锐角三角函数的定义，结合已知条件，∠C为直角，要求∠B的度数，可先求出∠B的某个三角函数值，观察已知边：AC是∠B的对边，AB是斜边，因此选择正弦函数计算，再根据特殊角的三角函数值即可确定∠B的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦函数的定义：
$\sin B = \frac{∠ B的对边}{斜边} = \frac{AC}{AB}$
将$AB=4$，$AC=2\sqrt{2}$代入得：
$\sin B = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
又因为$∠ B$是锐角，且$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$∠ B=45°$。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，核心是熟练掌握锐角三角函数的定义和常见特殊角的三角函数值，能根据已知边的位置选择合适的三角函数进行计算即可求解。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中已知两边求锐角的问题，解题思路如下：首先明确直角三角形中锐角三角函数的定义，结合已知条件，∠C为直角，要求∠B的度数，可先求出∠B的某个三角函数值，观察已知边：AC是∠B的对边，AB是斜边，因此选择正弦函数计算，再根据特殊角的三角函数值即可确定∠B的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦函数的定义：
$\sin B = \frac{∠ B的对边}{斜边} = \frac{AC}{AB}$
将$AB=4$，$AC=2\sqrt{2}$代入得：
$\sin B = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
又因为$∠ B$是锐角，且$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$∠ B=45°$。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，核心是熟练掌握锐角三角函数的定义和常见特殊角的三角函数值，能根据已知边的位置选择合适的三角函数进行计算即可求解。
【难度系数】
0.8
5. 计算：
(1)$\sqrt{8} - 3\sin 30° + |1 - \sqrt{2}| + 2^{-1}$；
(2)$(π - 2026)^0 + |\sqrt{2} - 2| + 2\sin 45° - (\frac{1}{3})^{-1}$。
(1)$\sqrt{8} - 3\sin 30° + |1 - \sqrt{2}| + 2^{-1}$；
(2)$(π - 2026)^0 + |\sqrt{2} - 2| + 2\sin 45° - (\frac{1}{3})^{-1}$。
答案
5. 解:(1)原式=$2\sqrt{2}-3×\frac{1}{2}+\sqrt{2}-1+\frac{1}{2}=3\sqrt{2}-2$.
(2)原式=$1+2-\sqrt{2}+2×\frac{\sqrt{2}}{2}-3=1+2-\sqrt{2}+\sqrt{2}-3=0$.
(2)原式=$1+2-\sqrt{2}+2×\frac{\sqrt{2}}{2}-3=1+2-\sqrt{2}+\sqrt{2}-3=0$.
解析
【分析】
这两道题均属于实数混合运算类题目，解题思路如下：第一步先拆分原式中的每一项，分别完成专项计算：①化简二次根式为最简二次根式；②代入30°、45°的特殊角三角函数值；③判断绝对值内代数式的正负，根据绝对值的性质去绝对值符号；④按照零指数幂（非零数的0次幂为1）、负整数指数幂（$a^{-p}=\frac{1}{a^p},a≠0$）的规则计算幂运算；第二步将所有化简后的项合并，同类二次根式合并、常数项合并，最终得到计算结果。
【解析】
(1) 先分别计算每一项：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，
因为$\sqrt{2}＞1$，所以$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，
$2^{-1}=\frac{1}{2}$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{2}-3×\frac{1}{2}+\sqrt{2}-1+\frac{1}{2}\\&=(2\sqrt{2}+\sqrt{2})+(-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-1)\\&=3\sqrt{2}-2\end{aligned}$
(2) 先分别计算每一项：
因为$π-2026≠0$，所以$(π-2026)^0=1$，
因为$2＞\sqrt{2}$，所以$|\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2}$，
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$(\frac{1}{3})^{-1}=3$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=1+2-\sqrt{2}+2×\frac{\sqrt{2}}{2}-3\\&=1+2-\sqrt{2}+\sqrt{2}-3\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1)$\boldsymbol{3\sqrt{2}-2}$；(2)$\boldsymbol{0}$
【知识点】
实数的混合运算、特殊角的三角函数值、零指数与负整数指数幂
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心考查对各类基础运算规则的掌握熟练度，计算时需注意绝对值化简、幂运算的符号问题，牢记特殊角的三角函数值即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于实数混合运算类题目，解题思路如下：第一步先拆分原式中的每一项，分别完成专项计算：①化简二次根式为最简二次根式；②代入30°、45°的特殊角三角函数值；③判断绝对值内代数式的正负，根据绝对值的性质去绝对值符号；④按照零指数幂（非零数的0次幂为1）、负整数指数幂（$a^{-p}=\frac{1}{a^p},a≠0$）的规则计算幂运算；第二步将所有化简后的项合并，同类二次根式合并、常数项合并，最终得到计算结果。
【解析】
(1) 先分别计算每一项：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，
因为$\sqrt{2}＞1$，所以$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，
$2^{-1}=\frac{1}{2}$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{2}-3×\frac{1}{2}+\sqrt{2}-1+\frac{1}{2}\\&=(2\sqrt{2}+\sqrt{2})+(-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-1)\\&=3\sqrt{2}-2\end{aligned}$
(2) 先分别计算每一项：
因为$π-2026≠0$，所以$(π-2026)^0=1$，
因为$2＞\sqrt{2}$，所以$|\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2}$，
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$(\frac{1}{3})^{-1}=3$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=1+2-\sqrt{2}+2×\frac{\sqrt{2}}{2}-3\\&=1+2-\sqrt{2}+\sqrt{2}-3\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1)$\boldsymbol{3\sqrt{2}-2}$；(2)$\boldsymbol{0}$
【知识点】
实数的混合运算、特殊角的三角函数值、零指数与负整数指数幂
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心考查对各类基础运算规则的掌握熟练度，计算时需注意绝对值化简、幂运算的符号问题，牢记特殊角的三角函数值即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
6. 如图, 在$△ ABC$中, $∠ C = 90°$, $AB = 13$, $BC = 12$. 求$\sin B$的值. 
答案
6. 解:
∵∠C=90°,AB=13,BC=12,
∴AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$,
∴$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$.
∵∠C=90°,AB=13,BC=12,
∴AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$,
∴$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$.
解析
【分析】
要计算$\sin B$的值，首先明确锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。观察图形可知$∠ B$的对边是$AC$，斜边是$AB$，已知$AB=13$，$AC$长度未知，所以第一步先利用勾股定理，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中由已知的$AB$和$BC$的长度求出$AC$的长度，第二步再根据正弦的定义代入数值计算即可得到$\sin B$的值。
【解析】
解：$\because$在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=13$，$BC=12$，
$\therefore$根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$，
根据正弦的定义，$\sin B$是$∠ B$的对边$AC$与斜边$AB$的比值，即：
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$。
【答案】
$\frac{5}{13}$
【知识点】
勾股定理，正弦的定义
【点评】
本题属于基础计算题，核心是掌握直角三角形中勾股定理的用法以及锐角正弦的定义，只要牢记相关概念和定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.9
要计算$\sin B$的值，首先明确锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。观察图形可知$∠ B$的对边是$AC$，斜边是$AB$，已知$AB=13$，$AC$长度未知，所以第一步先利用勾股定理，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中由已知的$AB$和$BC$的长度求出$AC$的长度，第二步再根据正弦的定义代入数值计算即可得到$\sin B$的值。
【解析】
解：$\because$在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=13$，$BC=12$，
$\therefore$根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$，
根据正弦的定义，$\sin B$是$∠ B$的对边$AC$与斜边$AB$的比值，即：
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$。
【答案】
$\frac{5}{13}$
【知识点】
勾股定理，正弦的定义
【点评】
本题属于基础计算题，核心是掌握直角三角形中勾股定理的用法以及锐角正弦的定义，只要牢记相关概念和定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.9
7.如图,在正方形网格中有$△ ABC$,其中顶点A,B,C均在格点上,则$\sin∠ ABC$的值等于（
A.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\sqrt{10}$
B
）A.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\sqrt{10}$
答案
7. B
解析
【分析】
要求$\sin∠ ABC$的值，根据锐角三角函数的定义，需要先明确$∠ ABC$所在直角三角形的对边和斜边长度。我们可以先设每个小正方形的边长为1，第一步用勾股定理分别计算$△ ABC$三边的长度；第二步通过勾股定理的逆定理判断$△ ABC$是直角三角形，确定直角的位置；第三步根据正弦的定义，用$∠ ABC$的对边长度除以斜边长度，化简后即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 利用勾股定理计算各边长度：
$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
$AB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
2. 验证三角形形状：
$\because AC^2+BC^2=(\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2=2+18=20$，$AB^2=(2\sqrt{5})^2=20$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠ C=90°$，即$△ ABC$是直角三角形。
3. 计算$\sin∠ ABC$：
根据正弦的定义，在直角三角形中，锐角的正弦等于对边与斜边的比值，$∠ ABC$的对边是$AC$，斜边是$AB$，
$\therefore \sin∠ ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理及逆定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是网格背景下的锐角三角函数计算问题，解题的关键是利用勾股定理求出各边长度，结合逆定理判断直角三角形的形状，再结合三角函数定义求解，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
要求$\sin∠ ABC$的值，根据锐角三角函数的定义，需要先明确$∠ ABC$所在直角三角形的对边和斜边长度。我们可以先设每个小正方形的边长为1，第一步用勾股定理分别计算$△ ABC$三边的长度；第二步通过勾股定理的逆定理判断$△ ABC$是直角三角形，确定直角的位置；第三步根据正弦的定义，用$∠ ABC$的对边长度除以斜边长度，化简后即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 利用勾股定理计算各边长度：
$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
$AB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
2. 验证三角形形状：
$\because AC^2+BC^2=(\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2=2+18=20$，$AB^2=(2\sqrt{5})^2=20$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠ C=90°$，即$△ ABC$是直角三角形。
3. 计算$\sin∠ ABC$：
根据正弦的定义，在直角三角形中，锐角的正弦等于对边与斜边的比值，$∠ ABC$的对边是$AC$，斜边是$AB$，
$\therefore \sin∠ ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理及逆定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是网格背景下的锐角三角函数计算问题，解题的关键是利用勾股定理求出各边长度，结合逆定理判断直角三角形的形状，再结合三角函数定义求解，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
8. 已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，如果$∠ A$的正弦值为$\frac{2}{5}$，那么$∠ B$的正弦值为
$\frac{\sqrt{21}}{5}$
。答案
8. $\frac{\sqrt{21}}{5}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，结合直角三角形的条件和锐角正弦的定义，明确∠A的正弦是其对边与斜边的比值，可通过设参数的方式表示出这两条边的长度；第二步，利用勾股定理计算出直角三角形的第三条直角边的长度；第三步，再根据正弦的定义，找到∠B的对边与斜边的比值，化简后即可得到∠B的正弦值。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义可知：
$\sin A = \frac{∠A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{5}$
设$BC=2k$（$k＞0$），则$AB=5k$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(5k)^2 - (2k)^2} = \sqrt{25k^2 - 4k^2} = \sqrt{21}k$
再根据正弦的定义，$\sin B = \frac{∠B\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$，代入边长得：
$\sin B = \frac{\sqrt{21}k}{5k} = \frac{\sqrt{21}}{5}$
【答案】
$\frac{\sqrt{21}}{5}$
【知识点】
正弦的定义、勾股定理、直角三角形性质
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题，核心是对正弦定义的掌握，通过设参数表示边长的方法可以简化比值类计算，是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，结合直角三角形的条件和锐角正弦的定义，明确∠A的正弦是其对边与斜边的比值，可通过设参数的方式表示出这两条边的长度；第二步，利用勾股定理计算出直角三角形的第三条直角边的长度；第三步，再根据正弦的定义，找到∠B的对边与斜边的比值，化简后即可得到∠B的正弦值。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义可知：
$\sin A = \frac{∠A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{5}$
设$BC=2k$（$k＞0$），则$AB=5k$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(5k)^2 - (2k)^2} = \sqrt{25k^2 - 4k^2} = \sqrt{21}k$
再根据正弦的定义，$\sin B = \frac{∠B\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$，代入边长得：
$\sin B = \frac{\sqrt{21}k}{5k} = \frac{\sqrt{21}}{5}$
【答案】
$\frac{\sqrt{21}}{5}$
【知识点】
正弦的定义、勾股定理、直角三角形性质
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题，核心是对正弦定义的掌握，通过设参数表示边长的方法可以简化比值类计算，是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
9. 如图，菱形ABCD的边长为15，$\sin∠ BAC=\frac{3}{5}$，则对角线AC的长为
24
。答案
9. 24
解析
【分析】
解题时首先利用菱形的对角线互相垂直且平分的性质，连接BD交AC于点O，可得到直角三角形AOB，且AC=2AO。在Rt△AOB中，已知AB的边长和sin∠BAC的值，先求出BO的长度，再通过勾股定理计算AO的长度，最后乘以2即可得到AC的长。
【解析】
解：连接BD，交AC于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2AO。
在Rt△AOB中，AB=15，$\sin∠BAC=\frac{BO}{AB}=\frac{3}{5}$，
∴$BO=AB×\frac{3}{5}=15×\frac{3}{5}=9$。
由勾股定理得：$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12$，
∴$AC=2AO=2×12=24$。
【答案】
24
【知识点】
菱形的性质，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题属于基础计算类题型，解题的核心是借助菱形对角线的性质构造直角三角形，再结合三角函数和勾股定理计算线段长度，熟练掌握相关性质和定理就能快速解题。
【难度系数】
0.75
解题时首先利用菱形的对角线互相垂直且平分的性质，连接BD交AC于点O，可得到直角三角形AOB，且AC=2AO。在Rt△AOB中，已知AB的边长和sin∠BAC的值，先求出BO的长度，再通过勾股定理计算AO的长度，最后乘以2即可得到AC的长。
【解析】
解：连接BD，交AC于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2AO。
在Rt△AOB中，AB=15，$\sin∠BAC=\frac{BO}{AB}=\frac{3}{5}$，
∴$BO=AB×\frac{3}{5}=15×\frac{3}{5}=9$。
由勾股定理得：$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12$，
∴$AC=2AO=2×12=24$。
【答案】
24
【知识点】
菱形的性质，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题属于基础计算类题型，解题的核心是借助菱形对角线的性质构造直角三角形，再结合三角函数和勾股定理计算线段长度，熟练掌握相关性质和定理就能快速解题。
【难度系数】
0.75
10. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 45°$，$AC = 5$，$BC = 3$，求$\sin A$的值和$AB$的长。
答案
10. 解:过点 C 作 $CD⊥AB$ 于点 D,如图所示，
∴$∠BDC=∠ADC=90°$.
在 $Rt△BDC$ 中,$∵∠B=45°,BC=3$,
∴$BD=CD=BC·\sin 45°=3×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$,
∴$\sin A=\frac{CD}{AC}=\frac{3\sqrt{2}}{10}$.
在 $Rt△ADC$ 中,由勾股定理,得 $AD=\frac{\sqrt{82}}{2}$,
∴$AB=BD+AD=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{82}}{2}$.
解析
【分析】
要求$\sin A$和$AB$的长，已知$△ ABC$是斜三角形，无直接可用的直角，因此需构造直角三角形求解。可过点$C$作$CD⊥ AB$，将原三角形拆分为两个直角三角形：①先在$Rt△ BDC$中，利用已知的$∠ B=45°$和$BC=3$，求出$CD$、$BD$的长度；②$CD$是$Rt△ ADC$中$∠ A$的对边，结合已知$AC=5$，根据正弦的定义即可求出$\sin A$；③再在$Rt△ ADC$中用勾股定理求出$AD$的长度，$AB$的长为$BD$与$AD$的和，即可得解。
【解析】
过点$C$作$CD⊥AB$于点$D$，如图所示，
$\therefore ∠ BDC=∠ ADC=90°$。
在$Rt△ BDC$中，$\because ∠ B=45°$，$BC=3$，
$\therefore BD=CD=BC· \sin45°=3× \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
根据锐角三角函数的定义，在$Rt△ ADC$中，$\sin A=\frac{CD}{AC}$，代入数值得：
$\sin A=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{5}=\frac{3\sqrt{2}}{10}$。
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2}=\sqrt{25-\frac{9}{2}}=\frac{\sqrt{82}}{2}$，
$\therefore AB=BD+AD=\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{82}}{2}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{82}}{2}$。
【答案】
$\sin A=\frac{3\sqrt{2}}{10}$，$AB=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{82}}{2}$
【知识点】
锐角三角函数定义、勾股定理、解直角三角形
【点评】
本题解题的关键是通过作高构造直角三角形，将斜三角形的求解问题转化为直角三角形的计算问题，结合特殊角的三角函数值和勾股定理即可完成求解，属于解三角形的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
要求$\sin A$和$AB$的长，已知$△ ABC$是斜三角形，无直接可用的直角，因此需构造直角三角形求解。可过点$C$作$CD⊥ AB$，将原三角形拆分为两个直角三角形：①先在$Rt△ BDC$中，利用已知的$∠ B=45°$和$BC=3$，求出$CD$、$BD$的长度；②$CD$是$Rt△ ADC$中$∠ A$的对边，结合已知$AC=5$，根据正弦的定义即可求出$\sin A$；③再在$Rt△ ADC$中用勾股定理求出$AD$的长度，$AB$的长为$BD$与$AD$的和，即可得解。
【解析】
过点$C$作$CD⊥AB$于点$D$，如图所示，
$\therefore ∠ BDC=∠ ADC=90°$。
在$Rt△ BDC$中，$\because ∠ B=45°$，$BC=3$，
$\therefore BD=CD=BC· \sin45°=3× \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
根据锐角三角函数的定义，在$Rt△ ADC$中，$\sin A=\frac{CD}{AC}$，代入数值得：
$\sin A=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{5}=\frac{3\sqrt{2}}{10}$。
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2}=\sqrt{25-\frac{9}{2}}=\frac{\sqrt{82}}{2}$，
$\therefore AB=BD+AD=\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{82}}{2}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{82}}{2}$。
【答案】
$\sin A=\frac{3\sqrt{2}}{10}$，$AB=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{82}}{2}$
【知识点】
锐角三角函数定义、勾股定理、解直角三角形
【点评】
本题解题的关键是通过作高构造直角三角形，将斜三角形的求解问题转化为直角三角形的计算问题，结合特殊角的三角函数值和勾股定理即可完成求解，属于解三角形的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
