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5. 某班环保小组的6名同学记录了自己家中一个月内丢弃废旧电池的数量，结果如下(单位：个)：7，5，6，4，8，6. 如果该班有45名学生，那么根据提供的数据，可估计该月全班同学各家总共丢弃废旧电池的数量约为(
A.180个
B.225个
C.270个
D.315个
C
)A.180个
B.225个
C.270个
D.315个
答案
C
解析
先计算6名同学家中丢弃废旧电池的平均数量，平均数为$(7 + 5 + 6 + 4 + 8 + 6)÷6 = 6$个。
因为该班有$45$名学生，那么估计该月全班同学各家总共丢弃废旧电池的数量约为$6×45 = 270$个。
因为该班有$45$名学生，那么估计该月全班同学各家总共丢弃废旧电池的数量约为$6×45 = 270$个。
6. 若反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $的图象经过点$(1,-2)$，则$ k $的值为
-2
.答案
-2
解析
将点$(1,-2)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$-2 = \frac{k}{1}$，解得$k = -2$。
7. 若关于$ x $的方程 $ x^{2} + (a - 1)x + a^{2} = 0 $的两根互为倒数，则$ a = $
-1
.答案
-1
解析
设方程两根为$x_1$，$x_2$，由韦达定理得$x_1x_2 = a^2$。
∵两根互为倒数，∴$x_1x_2 = 1$，即$a^2 = 1$，解得$a = ±1$。
方程有实根，判别式$\Delta = (a - 1)^2 - 4a^2 \geq 0$。
当$a = 1$时，$\Delta = 0 - 4 = -4 ＜ 0$，舍去；
当$a = -1$时，$\Delta = (-2)^2 - 4×1 = 0 \geq 0$，符合题意。
故$a = -1$。
∵两根互为倒数，∴$x_1x_2 = 1$，即$a^2 = 1$，解得$a = ±1$。
方程有实根，判别式$\Delta = (a - 1)^2 - 4a^2 \geq 0$。
当$a = 1$时，$\Delta = 0 - 4 = -4 ＜ 0$，舍去；
当$a = -1$时，$\Delta = (-2)^2 - 4×1 = 0 \geq 0$，符合题意。
故$a = -1$。
8. 将一元二次方程 $ (x + 1)(x + 2) = 0 $化成一般形式后的常数项是
2
.答案
【解析】：展开方程左边得$x^2 + 3x + 2 = 0$，一般形式为$x^2 + 3x + 2 = 0$，常数项是2。
【答案】：2
【答案】：2
解析
首先将方程左边展开，得到$(x + 1)(x + 2)=x^{2}+2x+x + 2=x^{2}+3x + 2$，原方程就化为$x^{2}+3x + 2 = 0$，所以一般形式后的常数项是$2$。
9. 先化简，再求代数式的值：$ ( \frac{2}{a + 1} + \frac{a + 2}{a^{2} - 1} ) ÷ \frac{a}{a + 1} $，其中 $ a = (-1)^{2 022} + \tan 60^{\circ} $.
答案
$\sqrt{3}$
解析
化简过程：
$\begin{aligned}&(\frac{2}{a + 1} + \frac{a + 2}{a^2 - 1}) ÷ \frac{a}{a + 1}\\=&[\frac{2}{a + 1} + \frac{a + 2}{(a + 1)(a - 1)}] × \frac{a + 1}{a}\\=&[\frac{2(a - 1) + (a + 2)}{(a + 1)(a - 1)}] × \frac{a + 1}{a}\\=&\frac{2a - 2 + a + 2}{(a + 1)(a - 1)} × \frac{a + 1}{a}\\=&\frac{3a}{(a + 1)(a - 1)} × \frac{a + 1}{a}\\=&\frac{3}{a - 1}\end{aligned}$
计算$a$的值：
$a = (-1)^{2022} + \tan 60° = 1 + \sqrt{3}$
代入求值：
$\frac{3}{a - 1} = \frac{3}{(1 + \sqrt{3}) - 1} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
$\begin{aligned}&(\frac{2}{a + 1} + \frac{a + 2}{a^2 - 1}) ÷ \frac{a}{a + 1}\\=&[\frac{2}{a + 1} + \frac{a + 2}{(a + 1)(a - 1)}] × \frac{a + 1}{a}\\=&[\frac{2(a - 1) + (a + 2)}{(a + 1)(a - 1)}] × \frac{a + 1}{a}\\=&\frac{2a - 2 + a + 2}{(a + 1)(a - 1)} × \frac{a + 1}{a}\\=&\frac{3a}{(a + 1)(a - 1)} × \frac{a + 1}{a}\\=&\frac{3}{a - 1}\end{aligned}$
计算$a$的值：
$a = (-1)^{2022} + \tan 60° = 1 + \sqrt{3}$
代入求值：
$\frac{3}{a - 1} = \frac{3}{(1 + \sqrt{3}) - 1} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
10. 已知关于$ x $的方程 $ (a - 1)x^{2} - (a + 1)x + 2 = 0 $.
（1）当$ a $取何值时，方程 $ (a - 1)x^{2} - (a + 1)x + 2 = 0 $有两个不相等的实数根？
（2）当整数$ a $取何值时，方程 $ (a - 1)x^{2} - (a + 1)x + 2 = 0 $的根都是正整数？
（1）当$ a $取何值时，方程 $ (a - 1)x^{2} - (a + 1)x + 2 = 0 $有两个不相等的实数根？
（2）当整数$ a $取何值时，方程 $ (a - 1)x^{2} - (a + 1)x + 2 = 0 $的根都是正整数？
答案
（1）方程有两个不相等的实数根，需满足：
① 二次项系数不为0：$a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$；
② 判别式$\Delta ＞ 0$：
$\Delta = [-(a + 1)]^2 - 4(a - 1) · 2 = (a + 1)^2 - 8(a - 1) = a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$，
$(a - 3)^2 ＞ 0 \implies a \neq 3$。
综上，$a \neq 1$且$a \neq 3$。
（2）分两种情况：
① 当$a = 1$时，方程为$-2x + 2 = 0$，解得$x = 1$，根为正整数，符合条件；
② 当$a \neq 1$时，方程为一元二次方程，因式分解得$[(a - 1)x - 2](x - 1) = 0$，
根为$x_1 = 1$，$x_2 = \frac{2}{a - 1}$。
要使根为正整数，则$\frac{2}{a - 1}$为正整数，$a - 1$为2的正因数，即$a - 1 = 1$或$2$，
解得$a = 2$或$a = 3$。
验证：$a = 2$时，$x_2 = 2$；$a = 3$时，$x_2 = 1$，均为正整数。
综上，整数$a$的值为1，2，3。
（1）$a \neq 1$且$a \neq 3$；
（2）1，2，3。
① 二次项系数不为0：$a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$；
② 判别式$\Delta ＞ 0$：
$\Delta = [-(a + 1)]^2 - 4(a - 1) · 2 = (a + 1)^2 - 8(a - 1) = a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$，
$(a - 3)^2 ＞ 0 \implies a \neq 3$。
综上，$a \neq 1$且$a \neq 3$。
（2）分两种情况：
① 当$a = 1$时，方程为$-2x + 2 = 0$，解得$x = 1$，根为正整数，符合条件；
② 当$a \neq 1$时，方程为一元二次方程，因式分解得$[(a - 1)x - 2](x - 1) = 0$，
根为$x_1 = 1$，$x_2 = \frac{2}{a - 1}$。
要使根为正整数，则$\frac{2}{a - 1}$为正整数，$a - 1$为2的正因数，即$a - 1 = 1$或$2$，
解得$a = 2$或$a = 3$。
验证：$a = 2$时，$x_2 = 2$；$a = 3$时，$x_2 = 1$，均为正整数。
综上，整数$a$的值为1，2，3。
（1）$a \neq 1$且$a \neq 3$；
（2）1，2，3。
