1. 对于函数 $ y = \frac{3}{x} $，下列判断正确的是()

A.图象经过点$(-1,3)$
B.图象在第二、四象限内
C.图象所在的每个象限内，$ y $随$ x $的增大而减小
D.不论$ x $为何值，总有$ y ＞ 0 $

C

A. 将点$(-1,3)$代入函数$y = \frac{3}{x}$中，得$y = \frac{3}{-1} = -3 \neq 3$，所以图象不经过点$(-1,3)$，故A选项错误；
B. 对于函数$y = \frac{3}{x}$，因为分子$3 ＞ 0$，所以其图象在第一、三象限内，不在第二、四象限内，故B选项错误；
C. 对于反比例函数$y = \frac{k}{x}$，当$k ＞ 0$时，在每个象限内，随着$x$的增大，$y$的值是减小的。因为本题中$k = 3 ＞ 0$，所以图象所在的每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，故C选项正确；
D. 对于函数$y = \frac{3}{x}$，当$x ＞ 0$时，$y ＞ 0$；但当$x ＜ 0$时，$y ＜ 0$。所以不论$x$为何值，并不总是有$y ＞ 0$，故D选项错误。

2. 若 $ 5k + 20 ＜ 0 $，则关于$ x $的一元二次方程 $ x^{2} + 4x - k = 0 $的根的情况是()

A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法判断

A

由$5k + 20 ＜ 0$，得$k＜-4$。方程$x^{2} + 4x - k = 0$的判别式$\Delta=4^2 - 4×1×(-k)=16 + 4k$。因为$k＜-4$，所以$4k＜-16$，则$\Delta=16 + 4k＜0$，方程没有实数根。

3. 在$ \triangle ABC $中，若 $ \left| \sin A - \frac{1}{2} \right| + ( \cos B - \frac{1}{2} )^{2} = 0 $，则$ \angle C $的度数是()

A.$ 30^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 90^{\circ} $

D

因为绝对值和平方数都是非负数，所以$\left| \sin A - \frac{1}{2} \right| = 0$且$( \cos B - \frac{1}{2} )^{2} = 0$。由此可得$\sin A = \frac{1}{2}$，$\cos B = \frac{1}{2}$。在$\triangle ABC$中，$\angle A$、$\angle B$为锐角，所以$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$。因为三角形内角和为$180^{\circ}$，所以$\angle C = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ}$。

4. 已知$ \alpha $为锐角，$ \sin (\alpha - 20^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $，则$ \alpha = $()

A.$ 20^{\circ} $
B.$ 40^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 80^{\circ} $

D

已知 $\sin(\alpha - 20°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$，且 $\alpha$ 为锐角。
根据三角函数值，$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$，因此 $\alpha - 20° = 60°$。
解得 $\alpha = 60° + 20° = 80°$。